混凝土受力本構(gòu)關(guān)系及展望

朱志永 金輝

1武漢平煤武鋼聯(lián)合焦化公司（430082）2河南建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院（450003）

混凝土受力本構(gòu)關(guān)系及展望

朱志永1金輝2

1武漢平煤武鋼聯(lián)合焦化公司（430082）2河南建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院（450003）

通過混凝土本構(gòu)模型的研究與分析，將混凝土本構(gòu)模型分為以下幾類，根據(jù)其特點(diǎn)和作用解決工程中的相應(yīng)問題，并將這些理論結(jié)合微觀觀察與分析作出對(duì)于未來的展望。

彈性本構(gòu)模型；塑性本構(gòu)模型；內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間本構(gòu)模型；斷裂力學(xué)本構(gòu)模型；損傷力學(xué)本構(gòu)模型

1 混凝土本構(gòu)模型

混凝土是土木工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用極為廣泛的材料,在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)依靠經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行設(shè)計(jì)與分析。近幾十年來,隨著電子計(jì)算機(jī)的普及,混凝土非線性有限元分析得到了很大發(fā)展,有關(guān)混凝土的本構(gòu)關(guān)系得到了廣泛而深入的研究?；炷帘緲?gòu)模型主要分為以下幾類：彈性本構(gòu)模型、彈塑性本構(gòu)模型、內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間本構(gòu)模型、斷裂力學(xué)本構(gòu)模型、損傷本構(gòu)模型以及各種模型組合而成的模型。

1.1 彈性本構(gòu)模型

彈性力學(xué)模型是最早出現(xiàn)的材料本構(gòu)模型也是最簡(jiǎn)單的本構(gòu)模型，在早期解決工程問題中起到了重要的作用。直至現(xiàn)在，較多的結(jié)構(gòu)分析程序仍是采用的彈性模型。其典型特點(diǎn)是：除去外力變形恢復(fù)到初始狀態(tài)，變形可逆，不產(chǎn)生能量耗散。彈性模型又分為線彈性模型和非線性彈性模型。

1）線彈性本構(gòu)模型

線彈性模型中，應(yīng)力張量分量σij與應(yīng)變張量分量εkl之間滿足線性關(guān)系，即廣義虎克定律：

式中，Cijkl是四階彈性剛度張量的分量，在最一般的情況下包括81個(gè)材料常數(shù)。如果材料是正交各向異性的，獨(dú)立的材料常數(shù)可減少至9個(gè)，如果材料是各向同性的，材料常數(shù)減少為兩個(gè)，可用彈性模量E和波松比ν來表示，此時(shí)，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系可表達(dá)為：

線彈性虎克定律表達(dá)簡(jiǎn)單，材料參數(shù)容易從簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)測(cè)定，在混凝土結(jié)構(gòu)分析中一直很有吸引力，尤其是在混凝土處于較低的應(yīng)力狀態(tài)（開裂以前）可以取得滿足工程要求的計(jì)算結(jié)果，但在高應(yīng)力狀態(tài)下誤差較大。

2）非線彈性本構(gòu)模型

超過線彈性變形階段的混凝土在進(jìn)一步受力過程中會(huì)產(chǎn)生明顯的不可逆變形，但如果僅考慮單調(diào)加載可以采用非線性彈性模型，因此將非線性彈性模型應(yīng)用于混凝土只是一種近似。應(yīng)力應(yīng)變的非線性關(guān)系能較為精確的描述混凝土峰值應(yīng)力前的變形特性，且計(jì)算簡(jiǎn)單。這種模型又分為三種：

1）Cauchy非線彈性模型

這是最簡(jiǎn)單的一種非線性彈性模型，是對(duì)線彈性模型的改進(jìn)。該模型假定應(yīng)力只依賴于應(yīng)變，應(yīng)變也只依賴于應(yīng)力，與變化路徑無關(guān)，各向同性情況下全量形式的應(yīng)力－應(yīng)變表達(dá)式為：

該模型只是一種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，尤其適合于比例加載情況,但不嚴(yán)格滿足熱力學(xué)基本定律，不同加載路徑下得不到統(tǒng)一的應(yīng)變能表達(dá)式，因此應(yīng)力應(yīng)變之間不存在功共軛關(guān)系。復(fù)雜加載條件下誤差較大。

2）Hyperelastic非線彈性模型

該模型滿足質(zhì)量守恒定律，不僅能描述混凝土力－位移的非線性而且能描述混凝土的膨脹、應(yīng)力引起的各向異性。Cauchy非線性彈性模型及Hyperelastic非線彈性模型在有限元模擬中可采用不斷變化的割線模量。較為著名的混凝土非線性彈性本構(gòu)模型如Cedolin et al.模型,Kotsovos et al.模型,Ottosen模型等都是屬于此類采用全量型本構(gòu)模型。

3）Hypoelastic非線彈性模型

該模型認(rèn)為材料的力學(xué)性能不僅與現(xiàn)時(shí)應(yīng)力及應(yīng)變狀態(tài)有關(guān)，而且還與達(dá)到此狀態(tài)的變化路徑有關(guān)，為反映路徑相關(guān)性，一般采用增量形式表達(dá)應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系：

由于應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系采用增量形式表達(dá)，因此在有限元模擬中可采用不斷變化的切線模量，屬于此類的非線性彈性本構(gòu)模型有著名的Darwin和Pecknold構(gòu)本構(gòu)模型（1977）以及Elwi和Murray模型（1979）。

彈性模型最大的缺點(diǎn)是：不能考慮加載過程中的不可逆變形,不能處理卸載以及循環(huán)加卸載情況。我國(guó)現(xiàn)行混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范所采取的方法是：進(jìn)行結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算采用線彈性模型，而對(duì)于特別重要的或受力狀況特殊的大型桿系結(jié)構(gòu)和二維、三維結(jié)構(gòu)必要時(shí)尚應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)整體或其部分進(jìn)行受力全過程的非線性分析，而該非線性所采用的就是非線性彈性本構(gòu)模型。

作為彈性模型的重要輔助控制部分，破壞準(zhǔn)則是必不可少的。破壞準(zhǔn)則可以理解為彈性材料的應(yīng)力狀態(tài)上限，當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)超出應(yīng)力空間的破壞面時(shí)，混凝土失效并退出工作。上世紀(jì)60年代以來，各國(guó)學(xué)者在混凝土多軸強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)研究基礎(chǔ)上提出了多種破壞準(zhǔn)則，破壞面由3～5個(gè)材料參數(shù)控制，代表性的有：Bresler-Pister準(zhǔn)則、Reimann準(zhǔn)則、Ottosen準(zhǔn)則、Hsieh-Ting-Chen準(zhǔn)則、Willam-Warnke準(zhǔn)則、Kotsovos準(zhǔn)則、Podgorski準(zhǔn)則、過鎮(zhèn)海準(zhǔn)則等。

1.2 塑性本構(gòu)模型

以屈服函數(shù)為基礎(chǔ)的塑性理論在解決金屬類晶體延性材料問題方面取得了很大的成就。經(jīng)典彈塑性理論主要指塑性增量理論（全量塑性理論僅能用于簡(jiǎn)單加載情況，隨著數(shù)值方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)已很少采用）是描述材料在塑性狀態(tài)應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽恐g關(guān)系的本構(gòu)理論，在實(shí)際數(shù)值方法中一般按加載過程積分獲得整個(gè)加載歷史的力－變形響應(yīng)。塑性本構(gòu)理論包括如下必不可少的組成部分：屈服準(zhǔn)則、塑性流動(dòng)準(zhǔn)則（可以時(shí)相關(guān)聯(lián)或非相關(guān)聯(lián)的）、塑性強(qiáng)化準(zhǔn)則以及加載－卸載準(zhǔn)則。對(duì)某一特定的工程材料，采用不同的屈服函數(shù)及相應(yīng)的塑性勢(shì)函數(shù)可以產(chǎn)生不同的塑性模型。

塑性理論經(jīng)過數(shù)百年的發(fā)展，在各國(guó)學(xué)者不懈的努力下已經(jīng)發(fā)展成為一套完整的理論體系，在數(shù)學(xué)表達(dá)上是嚴(yán)格的,不僅能合理用于各種金屬材料，而且經(jīng)過修正可以廣泛適用于巖土及混凝土材料。傳統(tǒng)塑性理論的很多基本假設(shè)，如靜水壓力不影響屈服、體積變化是彈性的、剪應(yīng)力不引起塑性體積變化、塑性應(yīng)變?cè)隽颗c屈服面正交等是不適用于巖土、混凝土類材料的，塑性理論應(yīng)用于摩阻類材料必須突破這些限制。廣義塑性理論成為解決這類問題的理論依據(jù)。

塑性理論用于混凝土最大也是最明顯的缺點(diǎn)就是不能很好地處理峰值應(yīng)力后的軟化問題。這是因?yàn)榘凑誅rucker公設(shè)，以定義在應(yīng)力空間中的屈服函數(shù)為基礎(chǔ)的塑性模型只能處理穩(wěn)定材料（穩(wěn)定材料）問題，而按照Il’yushin公設(shè)，定義在應(yīng)變空間的塑性模型則可以處理軟化問題，但缺乏應(yīng)變空間屈服函數(shù)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得不到廣泛的應(yīng)用。而與損傷理論結(jié)合的塑性理論可通過損傷理論很好地解決軟化問題，這也是文章的主要任務(wù)。

較為著名的針對(duì)于混凝土的塑性模型主要有：Chen-Chen模型、Han-Chen模型、Chen模型、Fardis-Chen模型、Klinsinski-Mroz模型、Dvorkin模型、Read-Hegemier，Onateet al.模型、Pietruszczak et al.模型、Ohtani-Chen模型等。

1.3 內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間本構(gòu)模型

內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論是一種基于不可逆熱力學(xué)框架的材料本構(gòu)理論，由Valanis于1971年提出，我國(guó)學(xué)者范鏡泓為該理論的推廣做了大量的工作，具體研究了多種材料的本構(gòu)模型，并對(duì)材料的本構(gòu)不變性給予了數(shù)學(xué)證明。該理論的基本假設(shè)為：塑性和粘塑性等耗散材料內(nèi)的任一點(diǎn)的現(xiàn)時(shí)應(yīng)力狀態(tài)是該點(diǎn)鄰域內(nèi)整個(gè)變形和溫度歷史的泛函，且該歷史是用一個(gè)取決于變形中的材料特性和變形程度的內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間標(biāo)度Z來度量的。

Valanis于1978年對(duì)該理論提出了一種新的定義，由于引起偏應(yīng)變和體應(yīng)變的機(jī)制不同，因此采用不同的內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間來度量，各向同性情況下有：

式中：μ0和K分別代表剪切彈性模量和體積彈性模量，k0，k1是系數(shù),當(dāng)k0=k1=1時(shí),dηij，dθ分別為塑性偏應(yīng)變分量與塑性體應(yīng)變分量的增量，dζD為塑性應(yīng)變空間的歐幾里得模型，dζH是塑性體積應(yīng)變的絕對(duì)值。ζ為廣義內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間量度，它通過一些反映材料性質(zhì)變化及耦合效應(yīng)的函數(shù)Rij以最后確定內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間標(biāo)度ZD和ZH。Rij是ζD和ζH以及其率的函數(shù),R01和R10表示偏斜響應(yīng)與體積響應(yīng)的耦合效應(yīng)。

當(dāng)用于各向異性耗散材料時(shí),內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間量度ζD，ζH可統(tǒng)一表達(dá)為：

此時(shí)的內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間標(biāo)度表達(dá)為：

Qijkl（Z）是Z的函數(shù)，，為不可逆應(yīng)變?cè)隽?。于是，由本?gòu)方程形式不變性，并仿照線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系，可得到各向同性情況下的本構(gòu)方程為：

μ （ZD），K （ZH）分別為偏量張量空間和球量張量空間的核函數(shù)，且其初值μ0=μ(0)，K0=K(0)分別為初始剪切彈性模量和初始體積彈性模量，Sij為偏應(yīng)力張量，eij為偏應(yīng)變張量，σkk為體積應(yīng)力，εkk為體積應(yīng)變。

而各向異性情況下的本構(gòu)方程可根據(jù)粘彈性力學(xué)基本公式表達(dá)為：

內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論是以不可逆熱力學(xué)為基礎(chǔ)，理論基礎(chǔ)比較深厚,優(yōu)點(diǎn)是擺脫了屈服面的約束,在實(shí)際問題的計(jì)算中能用一個(gè)統(tǒng)一的公式描述全過程。根據(jù)本構(gòu)方程形式不變性定律可利用已有理論的公式形式來給出本構(gòu)方程,現(xiàn)在常用的是粘彈性公式形式,但并不局限于粘彈性公式形式。

內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論是模仿Biot的線性粘彈性理論建立在Onsager不可逆熱力學(xué)的基礎(chǔ)之上,Onsager原理只在偏離平衡態(tài)不遠(yuǎn)時(shí)才能適用，對(duì)于有限彈塑性變形，內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論的適用性還需進(jìn)一步討論。它對(duì)已知實(shí)驗(yàn)的解釋程度，如何確定反映物質(zhì)響應(yīng)的積分核函數(shù)及物質(zhì)所特有的內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間,如何向大變形、大溫度方向推廣，以及如何進(jìn)行有效的數(shù)值計(jì)算等問題，都需進(jìn)一步研究。

最早把內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論用于混凝土的是Bazant，Bazant的理論不涉及不可逆熱力學(xué),而是直接采用內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間的概念,用試湊法和參數(shù)優(yōu)化法得到參數(shù)值,他的模型能較好地模擬混凝土的性能,但是模型參數(shù)過多,而且一些參數(shù)有耦聯(lián)關(guān)系,一些參數(shù)缺乏物理意義,使用起來過于繁瑣。

1.4 斷裂力學(xué)本構(gòu)模型

為正確地反映混凝土內(nèi)部裂縫的開展規(guī)律，正確選擇一個(gè)建立在斷裂力學(xué)理論上的開裂模型是至關(guān)重要的。嚴(yán)格來說，斷裂力學(xué)不是一種材料的本構(gòu)模型,但是斷裂理論與應(yīng)力－應(yīng)變空間彈塑性理論的組合彈塑性斷裂本構(gòu)模型在預(yù)測(cè)一些典型的混凝土結(jié)構(gòu)工作性能和強(qiáng)度方面發(fā)揮了重要作用。

斷裂力學(xué)基本理論基于脆性材料假定建立Griffith斷裂準(zhǔn)則，并根據(jù)裂縫尖端應(yīng)力和位移以確定該裂縫是繼續(xù)擴(kuò)展還是閉合。如果裂縫周圍的材料不存在應(yīng)力殘余,則認(rèn)為該材料是線彈性的，可以采用線彈性斷裂力學(xué)以描述裂縫和材料的變形。然而，裂縫周圍區(qū)域材料往往會(huì)發(fā)生比較明顯的塑性變形，此時(shí)線彈性斷裂力學(xué)理論不適用。為此，學(xué)者們提出了非線性斷裂力學(xué)。目前，盡管大范圍屈服或非線性斷裂力學(xué)方法已經(jīng)得到有力的開發(fā)和應(yīng)用，但線彈性斷裂力學(xué)由于應(yīng)用簡(jiǎn)便、預(yù)測(cè)結(jié)果偏于保守的特點(diǎn)，仍在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。1961年，Kaplan首先將斷裂力學(xué)引入混凝土中，其主要研究帶裂縫的混凝土體的強(qiáng)度和裂縫的傳播規(guī)律,從力學(xué)側(cè)面研究宏觀的斷裂現(xiàn)象，包括宏觀裂縫的形成、擴(kuò)展、失穩(wěn)開裂、傳播以及止裂等。它著眼于混凝土體裂縫前緣附近的位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、能量釋放率G來研究帶裂縫的構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性，分析裂縫擴(kuò)展穩(wěn)定性、擴(kuò)展規(guī)律性，以建立宏觀裂縫起裂、裂紋的穩(wěn)定擴(kuò)展和失穩(wěn)擴(kuò)展的判據(jù)，判斷裂縫是否穩(wěn)定，進(jìn)而探討如何控制和防止結(jié)構(gòu)斷裂破壞的措施。

Y.Zaitsev和Nemat-Nasser等結(jié)合局部平均概念，在局部意義上利用斷裂力學(xué)基本理論對(duì)混凝土材料進(jìn)行了分析，其結(jié)果表明，對(duì)于混凝土、巖石等準(zhǔn)脆性材料，斷裂力學(xué)模型能夠給出可以接受的結(jié)果。

但由于混凝土材料的微裂縫在受荷之前即存在，而且其大小、方向、出現(xiàn)的位置及裂縫分布具有隨機(jī)性；只有當(dāng)裂縫尖端前的材料中存在均勻應(yīng)力場(chǎng)時(shí),斷裂力學(xué)理論才能應(yīng)用于裂縫的演化分析，然而,在混凝土材料中上述情況幾乎不可能存在；在有限元分析過程中，每一荷載增量步甚至迭代步中的裂縫擴(kuò)展都需要改變網(wǎng)格拓?fù)洳⒅匦聞澐志W(wǎng)格，這些因素大大限制了斷裂力學(xué)理論在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用。

1.5 損傷力學(xué)本構(gòu)模型

工程結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在荷載（如靜載或動(dòng)載）和環(huán)境（如溫度、氧化、腐蝕等）作用下力學(xué)性能漸進(jìn)劣化，這個(gè)過程即為損傷積累的過程。在微觀上體現(xiàn)為內(nèi)部微缺陷、微裂紋的形成及進(jìn)一步發(fā)展，從而導(dǎo)致材料中宏觀裂縫的出現(xiàn)，并使結(jié)構(gòu)構(gòu)件最終失效。以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與不可逆熱力學(xué)為基礎(chǔ)的連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)把連續(xù)介質(zhì)的微缺陷理解為連續(xù)的“損傷場(chǎng)”變量，并假定損傷的能量耗散過程滿足不可逆熱力學(xué)定律，利用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的“唯象學(xué)”方法研究微缺陷（損傷）的發(fā)展及其對(duì)材料力學(xué)性質(zhì)的影響。損傷理論的研究重點(diǎn)是：定義合理的損傷變量；建立材料損傷本構(gòu)方程；探討損傷的演化規(guī)律；尋求測(cè)量損傷程度的方法；預(yù)估結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的剩余壽命。

損傷理論的研究始于1958年Kachanov提出“連續(xù)性因子”的概念來描述金屬的蠕變斷裂。由于該模型簡(jiǎn)單直觀、物理意義明確，此后的眾多損傷模型都在不同程度上借鑒了他的損傷理論思想。1963年Rabotnov又引入了“損傷因子”的概念研究金屬的蠕變本構(gòu)方程，建立了損傷理論的雛形。在受損材料中，從細(xì)觀上對(duì)缺陷形式和損傷機(jī)制進(jìn)行分析以確定有效面積是很困難的，為間接測(cè)定損傷，1971年Lemaitre提出了應(yīng)變等價(jià)原理，并引入了有效應(yīng)力的概念，成為將損傷變量引入材料應(yīng)力－應(yīng)變本構(gòu)方程的橋梁。1977年Janson和Hult首次提出了“連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)”的概念，從此損傷力學(xué)在各國(guó)學(xué)者的努力下迅速發(fā)展，其中Lemaitre、Chaboche、Janson、Hult、Leckie-Hayhurst、Krajicinovic、Sidoroff、村上澄男等學(xué)者的研究工作為損傷理論的形成和發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。與此平行，Rice-Tracey、Gurson等學(xué)者從材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，研究材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)變化的物理與力學(xué)過程，發(fā)展了材料細(xì)觀損傷力學(xué)。

在混凝土的損傷研究和實(shí)踐中，大量學(xué)者針對(duì)具體工程情況提出了各種不同的損傷本構(gòu)模型，但是由于適用條件的特殊性及所建立模型的復(fù)雜化，很少有一種能夠有明確的物理意義、簡(jiǎn)單的表達(dá)、便于工程師接受的一般損傷本構(gòu)關(guān)系式?；趯?duì)損傷本構(gòu)模型的思考,作者試圖以已有研究為基礎(chǔ)，致力于建立能夠反映混凝土破壞機(jī)理的一般損傷本構(gòu)模型。

上述各種混凝土材料本構(gòu)模型及其相互之間的交叉關(guān)系如下圖所示。

圖1 混凝土材料本構(gòu)模型交叉關(guān)系圖

2 有關(guān)混凝土本構(gòu)關(guān)系的展望

在混凝土的非線性有線元分析中，需要精度足夠而又計(jì)算方便的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式，這一直是眾多研究者們重視的課題之一，這方面雖然已經(jīng)有了很大的進(jìn)展,但需要研究的問題仍然還有很多?？梢灶A(yù)見今后對(duì)混凝土本構(gòu)關(guān)系的研究,會(huì)在多層次、多角度進(jìn)行。從實(shí)用分析的角度看,非線彈性模型、彈塑性模型已日趨成熟,并易于同通用的有限元程序匹配,因而還會(huì)更廣泛的推廣和應(yīng)用,并有希望編入有關(guān)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的規(guī)范中去,但在確定參數(shù)、改善精度方面還有相當(dāng)?shù)难芯抗ぷ饕?。為了適應(yīng)混凝土的復(fù)雜加載和破壞的特點(diǎn)，將多種模式組合，如塑性斷裂、粘彈塑性、塑性損傷、內(nèi)時(shí)塑性、內(nèi)時(shí)損傷等這些交叉理論將會(huì)得到進(jìn)一步研究。此外,有關(guān)動(dòng)力分析的本構(gòu)關(guān)系，基于隨機(jī)因素的本構(gòu)關(guān)系值得進(jìn)一步的探討。從試驗(yàn)研究來看,在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變測(cè)得的數(shù)據(jù)還不夠多。試驗(yàn)方法也有待改進(jìn),特別是在不改變受力與變形條件的現(xiàn)代非機(jī)械、非破損的測(cè)量方法還期待有所突破。從破壞機(jī)理來看,斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)的應(yīng)用研究有很好的前景。這些理論結(jié)合微觀的觀察與分析來進(jìn)行的研究，會(huì)在未來的十年中得到很大的發(fā)展。