“牛吃草”問(wèn)題的規(guī)律教學(xué)思考

蔡青

“牛吃草”問(wèn)題也叫“牛頓問(wèn)題”，因由牛頓提出而得名，其實(shí)質(zhì)就是“消長(zhǎng)”問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題以前屬于奧數(shù)內(nèi)容，在現(xiàn)在的小學(xué)、初中考題中卻屢屢出現(xiàn)。這類(lèi)題目的難點(diǎn)在于草每天都在不斷生長(zhǎng)，草的數(shù)量都在不斷變化，而解題的關(guān)鍵就是在變化的數(shù)量中找出不變的規(guī)律。因此，如果不能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，并利用規(guī)律來(lái)分析問(wèn)題，解決起來(lái)就會(huì)棘手。

一、“牛吃草”問(wèn)題的基本規(guī)律

“牛吃草”問(wèn)題是指那些一方面在生長(zhǎng)，另一方面又同時(shí)在消耗的事物作為研究對(duì)象的問(wèn)題，所以也把它叫“消長(zhǎng)”問(wèn)題。這類(lèi)事物有很多，如：森林每年都在生長(zhǎng)樹(shù)木，人類(lèi)每年砍伐消耗樹(shù)木；漏水的船在不停地進(jìn)水，為了不使船沉沒(méi)，人們不停地往外排水；地球的資源每年都在增長(zhǎng)，人類(lèi)每年都要消耗資源。我們只是把“牛吃草”作為這類(lèi)事物的代表進(jìn)行研究。牛吃的草分為兩部分，一部分是原有的草，另一部分是在吃的過(guò)程中生長(zhǎng)的草。這是牛吃草問(wèn)題的基本模型，也是解決這種問(wèn)題最核心的規(guī)律。這里我們用四個(gè)基本公式來(lái)分析這種模型所包含的數(shù)量關(guān)系。

（1）草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)-相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù)）；

分析：假設(shè)草每天的生長(zhǎng)速度是一定的，牛吃草吃的是兩部分的草，即原來(lái)已經(jīng)有的草和吃的過(guò)程中長(zhǎng)出的草，吃的天數(shù)越多，總草量就越多，而多就多在多吃的幾天里生長(zhǎng)的草。所以將吃的天數(shù)多的總草量減去吃的天數(shù)少的總草量除以多吃的天數(shù)就是每天生長(zhǎng)的草，即草的生長(zhǎng)速度。

（2）原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù)；

分析：原有的草量就是從吃的總草量中減去吃的過(guò)程中生長(zhǎng)的草。

（3）吃的天數(shù)=原有草量÷（牛吃草速度-草的生長(zhǎng)速度）；

分析：吃的天數(shù)由原有草量除以牛吃草速度與草生長(zhǎng)速度形成的速度差得到。有點(diǎn)像追及問(wèn)題里面的“追及時(shí)間=路程差÷速度差”。

（4）牛吃草的速度=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。

分析：牛吃草的速度可以分成兩部分，一部分用來(lái)抵消草的生長(zhǎng)速度，另一部分則是消耗原有草量的速度，即“原有草量÷吃的天數(shù)”。

二、“牛吃草”問(wèn)題及其變式分析

上面四個(gè)公式是算術(shù)方法解決牛吃草問(wèn)題的基礎(chǔ)。接下來(lái)我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)演示用以上規(guī)律及公式解決問(wèn)題。

例1. 牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃20天，或者供給15頭牛吃，可以吃10天。如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？

分析：設(shè)1頭牛1天吃的草為“1” ，由條件可知，前后兩次青草的總量相差為10×20-15×10=50。這是第一次比第二次多的那20-10=10天生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每天生長(zhǎng)的青草為50÷10=5。

接下來(lái)無(wú)論是通過(guò)10頭牛吃20天還是15頭牛吃10天，都可算出原來(lái)的草量，即從總草量中減去生長(zhǎng)的草。所以原有草量為 10×20-5×20=100，或15×10-5×10=100。

最后求吃的天數(shù)，25頭牛每天就要吃25個(gè)單位的草，每天只生長(zhǎng)5個(gè)單位的草，僅夠5頭牛吃，所以另外那25-5=20頭牛就每天要吃原有的草20個(gè)單位，這樣原有的100個(gè)單位的草只能吃100÷20=5天。

算術(shù)解法：

解：草的生長(zhǎng)速度：（10×20-15×10）÷（20-10）= 5

原有草量： 10×20-5×20=100

吃的天數(shù)：100÷（25-5）=5（天）

方程解法：

解：設(shè)每天生長(zhǎng)草量為X，原有草量為Y，需要Z天吃完，

Y+20X=20×10 （1）

Y+10X=15×10 （2）

Y+ ZX=25Z （3）

由（1）（2）得 X=5 Y=100

代入（3）得 Z=5

答：供給25頭牛吃，可以吃5天。

從以上算術(shù)解法和方程解法不難發(fā)現(xiàn)，它們都反映了一個(gè)共同點(diǎn)：牛吃草吃的是兩部分的草，即原有的草和生長(zhǎng)的草，方程法就是直接用“原有的草+生長(zhǎng)的草=吃的草”這個(gè)等量關(guān)系列出三元一次方程組解題。所以，無(wú)論算術(shù)還是方程解法，抓住“原有的草+生長(zhǎng)的草=吃的草”這個(gè)規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

例2.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，為使人類(lèi)有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？

分析：此題看上去不是牛吃草，而是人類(lèi)消耗地球資源，但實(shí)質(zhì)一樣，人看作牛，地球資源就是草。把1億人1年消耗的資源看作“1”，地球最多能養(yǎng)活的人數(shù)就是地球資源增長(zhǎng)速度，即草的生長(zhǎng)速度，只有人類(lèi)數(shù)量（即人類(lèi)消耗地球資源的速度）不大于地球資源增長(zhǎng)速度時(shí)，地球才能養(yǎng)活人類(lèi)，否則地球資源將會(huì)枯竭，人類(lèi)面臨資源危機(jī)。所以此題相當(dāng)于只求草的生長(zhǎng)速度。80億人生活300年消耗的資源總量比100億人100年消耗的資源總量多80×300-100×100=14000，多就多在多生活的300-100=200年里地球增長(zhǎng)的資源，所以地球每年新增資源為14000÷200=70，即最多可養(yǎng)活70億人。

當(dāng)然，牛吃草問(wèn)題絕不是僅限于這種類(lèi)型，還有一些較復(fù)雜的情況，但無(wú)論面對(duì)什么樣的情況，只要我們利用好這個(gè)規(guī)律，相信都能得到解決。

例3.在一片牧場(chǎng)里，放養(yǎng)22頭牛，吃33畝草，54天可以吃完：放養(yǎng)17頭牛，吃28畝草，84天可以吃完，請(qǐng)問(wèn)放入多少頭牛，吃40畝草，24天可以吃完？（假定這片牧場(chǎng)每畝中的原草量相同，且每天草的生長(zhǎng)量相等。）

與前面例題最大的不同是牧草的面積不同了，這樣每種情況原有草量不同，每天草的增長(zhǎng)量也不同，似乎算術(shù)方法不好突破。但如果進(jìn)行一種假設(shè)，把三種情況的面積求最小公倍數(shù)，將三種情況的面積按最小公倍數(shù)換算出對(duì)應(yīng)的牛的數(shù)量，也就是將三種面積換算成同一個(gè)面積，相當(dāng)于經(jīng)典題型中的“同一片草地”，再按經(jīng)典題型解法即可解決。

例4. 有快、中、慢三輛車(chē)同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕路上的一個(gè)騎車(chē)人。這三輛車(chē)分別用6小時(shí)、10小時(shí)、12小時(shí)追上騎車(chē)人?，F(xiàn)在知道快車(chē)每小時(shí)走24千米，中速車(chē)每小時(shí)走20千米，那么，慢速車(chē)每小時(shí)走多少千米？

此題將騎車(chē)人的速度看作草的生長(zhǎng)速度，將原來(lái)距離看作原有草量，將快、中、慢三輛車(chē)的車(chē)速看作三種情況下牛的頭數(shù)，再對(duì)應(yīng)時(shí)間，問(wèn)題迎刃而解。

例5. 兩位頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級(jí)梯級(jí)，女孩可走24級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩走了2分鐘到達(dá)另一端，女孩走了3分鐘到達(dá)另一端。問(wèn)：該扶梯共多少級(jí)？

將男孩看作數(shù)量較多的牛，女孩看作數(shù)量較少的牛，電動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)看作原有牧草，扶梯速度看作草的生長(zhǎng)速度。男孩走了2分鐘（120秒）到達(dá)另一端，走了（120÷20）×27=162（級(jí)），女孩走了3分鐘（180秒）到達(dá)另一端，走了（180÷20）×24=216（級(jí)）。這里男孩走的162級(jí)，女孩走的216級(jí)都包含兩個(gè)部分，即扶梯長(zhǎng)度和扶梯自動(dòng)走的長(zhǎng)度，216-162=54級(jí)是女孩多走3-2=1分鐘時(shí)間里自動(dòng)扶梯多走的長(zhǎng)度，這樣可求出電動(dòng)扶梯每分鐘走的級(jí)數(shù)，即54÷1=54級(jí)，再通過(guò)男孩或女孩的速度可求出扶梯長(zhǎng)度。此題相當(dāng)于求原有的草量。

例6. 一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛，吃了6天后賣(mài)掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完，這群牛原來(lái)有多少頭？

此題條件部分是牛吃草問(wèn)題經(jīng)典題型的布局，只是問(wèn)題別出花樣：6天后賣(mài)掉4頭，只要按沒(méi)有賣(mài)掉進(jìn)行假設(shè)，問(wèn)題即可解決。

設(shè)草的生長(zhǎng)速度為X，原來(lái)草量為Y，原來(lái)有Z頭牛，可得方程組：

Y+30X=17×30

Y+24X=19×24

Y+8X=6Z+2（Z-4）

解得： X=9 Y=240 Z=40

答：原來(lái)有40頭牛。

綜上所述，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于牛吃草問(wèn)題，無(wú)論算術(shù)解法還是方程解法，都要遵循牛吃草問(wèn)題的根本規(guī)律，即：原來(lái)的草+生長(zhǎng)的草=吃的草。

利用這個(gè)規(guī)律，算術(shù)法利用四個(gè)基本公式，先求出草的生長(zhǎng)速度，以此為突破口，進(jìn)而逐步求出原來(lái)的草，牛的頭數(shù)或吃的天數(shù)。而求吃的天數(shù)有點(diǎn)類(lèi)似于行程問(wèn)題里面的追及問(wèn)題，原有草量相當(dāng)于路程差，牛吃草的速度與草生長(zhǎng)的速度之差相當(dāng)于速度差，兩者相除便是時(shí)間，這正是消長(zhǎng)問(wèn)題的本質(zhì)。方程解法則完全以基本規(guī)律為列方程的依據(jù)，將要求的量都設(shè)為未知數(shù)列成方程組，思路更直接。

當(dāng)然，牛吃草問(wèn)題出現(xiàn)的變式可以說(shuō)是五花八門(mén)，千變?nèi)f化，有時(shí)甚至讓我們看不出誰(shuí)是“?！保氖恰安荨?，什么是“草的生長(zhǎng)速度”，什么是“牛的吃草速度”。但是，只要我們頭腦中能夠清晰存在著牛吃草問(wèn)題的這個(gè)基本規(guī)律，看清題目的本質(zhì)，熟練運(yùn)用其規(guī)律，相信都會(huì)輕松突破。

（作者單位：武漢市新洲區(qū)汪集街馮鋪小學(xué)）