電/磁特性參數(shù)對多鐵性層合柱諧振斷裂行為的影響

郭運坤， 靳 瑩， 張瑞芝， 張 俊， 李永東

(1. 裝甲兵工程學院機械工程系， 北京 100072； 2. 中南大學數(shù)學統(tǒng)計學院， 湖南 長沙 410083)

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電/磁特性參數(shù)對多鐵性層合柱諧振斷裂行為的影響

郭運坤1， 靳 瑩1， 張瑞芝2， 張 俊1， 李永東1

(1. 裝甲兵工程學院機械工程系， 北京 100072； 2. 中南大學數(shù)學統(tǒng)計學院， 湖南 長沙 410083)

針對多鐵性復合材料諧振斷裂力學問題，建立了諧振條件下多鐵性層合柱動態(tài)斷裂力學模型，然后應用分離變量法、無窮級數(shù)法、奇異積分方程和Lobatto-Chebyshev配點法研究了其諧振斷裂行為，最后分析了壓電系數(shù)、壓磁系數(shù)、介電常數(shù)以及磁導率對應力強度因子(Stress Intensity Factor, SIF)一階共振行為的影響。結果表明：在上述電/磁特性參數(shù)中，影響多鐵性層合柱共振斷裂行為的只有壓電材料中的電特性參數(shù)和壓磁材料中的磁特性參數(shù)。研究結果為多鐵性智能器件的防斷裂的優(yōu)化設計提供了參考。

簡諧振動； 動態(tài)斷裂； 壓電/壓磁材料； 應力強度因子

多鐵性智能器件(如傳感器、浮能器和表聲波器件等)大都在振動條件下工作，如：無損檢測中的機電振動由機電換能器產(chǎn)生；頻率超過200 kHz的超聲檢測通常使用壓電換能器。與靜態(tài)情況相比，振動條件下的多鐵性復合材料更易于在界面或者內部產(chǎn)生損傷破壞，尤其當振動頻率接近固有頻率時。因此，研究振動條件下多鐵性復合材料的斷裂行為對智能器件的設計和應用是一項重要的基礎理論工作，具有與靜態(tài)斷裂力學問題相區(qū)別的特殊工程意義。盡管由界面裂紋引起的靜態(tài)斷裂問題在近年得到了廣泛研究[1-2]，但關于界面裂紋引起的共振斷裂問題鮮有報道。

基于此，筆者通過建立諧振條件下多鐵性層合柱界面裂紋模型，應用分離變量法、無窮級數(shù)法、Lobatto-Chebyshev配點法和奇異積分方程對其諧振斷裂問題進行研究，用應力強度因子(Stress Intensity Factor, SIF)作為評判斷裂的參數(shù)，并利用 Mathematics軟件進行編程和數(shù)值運算，主要分析了壓電系數(shù)、壓磁系數(shù)、介電常數(shù)以及磁導率對應力強度因子一階共振行為的影響。

1 模型建立

圖1為多鐵性層合柱模型及笛卡爾直角坐標系。其中：內部為彈性層，中間為壓磁層，外部為壓電層，圓柱外表面半徑由內向外分別為r1、r2和r3；坐標系的原點O與多鐵性層合柱橫截面的中心重合，x軸正方向通過裂紋中心，y軸垂直向上，z軸方向與x、y軸滿足右手螺旋法則；壓電層和壓磁層之間的界面上存在一條中心角為2α的裂紋；假設壓電層的外表面自由，壓電層和壓磁層均沿z軸極化，整個圓柱處于軸向的諧振之中，振動頻率為ω。

圖1 多鐵性層合柱模型及笛卡爾直角坐標系

忽略電磁感應的影響，則廣義位移關系式可寫成

w(r,θ,t)=w(r,θ)e-iωt，
φ(r,θ,t)=φ(r,θ)e-iωt，
φ(r,θ,t)=φ(r,θ)e-iωt。

(1)

式中：t為時間；e-iωt為時間因素(為簡化公式推導與書寫，下文將其省略)。

多鐵性層合柱沿著z軸極化且具有橫觀各向同性。軸向剪切作用下3層材料的本構方程為

,

(2)

在諧振條件下，需要考慮多鐵性復合材料的阻尼，一個比較科學且方便的方法是在剪切模量上乘以一個復數(shù)[3]，即

(3)

式中：Gj為考慮阻尼的第j層剪切模量；ηj為第j層材料耗散系數(shù)。

當多鐵性層合柱受到軸向穩(wěn)定的簡諧振動時，裂紋面保持閉合，可看作電磁可通。因此，內外表面及裂紋面的邊界條件可表示為

(4)

(5)

w1(r1,θ)=w2(r1,θ)，
φ1(r1,θ)=φ2(r1,θ)，
φ1(r1,θ)=φ2(r1,θ)；

(6)

(7)

φ3(r2,θ)=φ2(r2,θ),
φ3(r2,θ)=φ2(r2,θ);

(8)

(9)

(10)

電位移散度方程、磁感應強度散度方程和運動方程分別為

(11)

(12)

(13)

式中：ρj為第j層材料的密度。

2 斷裂分析

2.1 廣義位移與廣義應力求解

把本構方程代入式(11)-(13)中，可得耦合偏微分方程為

(14)

引入2個輔助函數(shù)[4]

(15)

對式(14)解耦，可得

(16)

(17)

假設[5]

(18)

則式(16)可轉化為

(19)

(20)

將式(20)代入式(1)中，得到廣義應力表達式為

(21)

式中：

2.2 邊界條件求解

邊界條件(9)、(10)不能直接求解，為此引入位錯密度函數(shù)

(22)

式(22)滿足單值條件[6]

(23)

式中：g(s)為一個奇函數(shù)。

將式 (20)、(21)代入邊界條件(4)-(8)，并考慮式(22),可得一系列代數(shù)方程

(24)

式中：Ω為邊界條件代數(shù)方程系數(shù)矩陣；

F=(1，0，0，0，0，0，0，0，0，
0，0，0，0，0，0)T。

求解式 (24)，可得到系數(shù)表達式為

(25)

2.3 應力強度因子求解

將式(25) 代入式(21)中，得到裂紋面應力表達式為

(26)

式中：

(27)

由式(27)可知：隨著n的增大，Q(n)存在極限值

(28)

式中：q為與幾何和物理常數(shù)有關的系數(shù)。在式(26)中的Q(n)上加減q，則裂紋面應力轉化為

(29)

令ξ=cosθ，ζ=coss，則式(29)的標準形式為[5]

(30)

將式(30)代入式(10), 得到裂紋面等效載荷方程為

(31)

式(31)為標準柯西奇異積分方程。式中：

利用Lobatto-Chebyshev配點法[7]對式(31)進行離散求解，可得

(32)

(33)

所研究多鐵性層合柱裂紋模型屬于Ⅲ裂紋，因此選應力強度因子SIF作為斷裂參數(shù)[5]

(34)

由于剪切模量取成復數(shù)，因此Mathematics軟件計算得到無量綱核函數(shù)與應力強度因子也為復數(shù)，下文對它們取模進行數(shù)據(jù)分析。

3 數(shù)值計算和參數(shù)分析

假設彈性層為聚乙烯，壓磁層為CoFe2O4, 而壓電層為BaTiO3。表 1 為具體材料系數(shù)取值。

表1 材料系數(shù)取值

3.1 核函數(shù)收斂性判別

圖2 不同諧振頻率下核函數(shù)收斂性曲線

3.2 參數(shù)分析

采用控制變量法研究了電/磁特性參數(shù)對多鐵性層合柱諧振斷裂行為的影響。其中：幾何參數(shù)r3-r2=r2-r1=5 mm，r1=5 mm；阻尼系數(shù)η1=η2=η3=0.05;電/磁系數(shù)參數(shù)縮放倍數(shù)依次為0.7、0.8、1.0、1.2、1.3和0.7、1.0、1.3。

圖3 壓電系數(shù)對SIF一階共振行為影響曲線

圖4 壓磁系數(shù)對SIF一階共振行為影響曲線

圖5 介電常數(shù)對SIF一階共振行為影響曲線

圖6 磁導率對SIF一階共振行為影響曲線

圖7 磁導率與介電常數(shù)系數(shù)對SIF一階共振行為影響曲線

4 結論

通過多鐵性層合柱諧振斷裂力學行為分析可知：影響其共振斷裂行為的有壓電材料的壓電系數(shù)和介電常數(shù)以及壓磁材料中的壓磁系數(shù)和磁導率；而彈性材料的介電常數(shù)及磁導率、壓電材料的磁導率和壓磁材料的介電常數(shù)的改變不會對共振斷裂行為產(chǎn)生影響。上述結論可為多鐵性智能器件防斷裂優(yōu)化設計提供理論參考。

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[2] LI Y D,FENG F X,ZHAO H.Multiple interfacial cracks in a bi-layered multiferroic composite under magnetostriction or electrostriction[J].Engineering fracture mechanics,2012,90:65-75.

[3] GUO Y K,LI Y D,PAN J W.Effects of complex modulus and residual stress on the vibration induced resonant fracture behavior of a multiferroic cylindrical structure[J].Engineering fracture mechanics,2017,171(1):98-109.

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[7] THEOCARIS P S,IOAKIMIDIS N I.Numerical integration me-thods for the solution of singular integral equations[J].Quarterly of applied mathematics,1977,35(1):173-183.

(責任編輯: 尚菲菲)

Effects of Electrical and Magnetic Characteristic Parameters on Resonant Fracture Behavior of a Multiferroic Cylindrical Structure

GUO Yun-kun1, JIN Ying1, ZHANG Rui-zhi2, ZHANG Jun1, LI Yong-dong1

(1. Department of Mechanical Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China；2. Institute of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China)

In order to study the resonant fracture mechanics behavior of multiferroic composite material, a mechanical model is established for the dynamic fracture problem of a multiferroic cylindrical structure subjected to simple harmonic vibration. The resonant fracture behavior is studied by the combined me-thods of variable separation, infinite series, singular integral equation and Lobatto-Chebyshev collocation, and the effects of piezoelectric, piezomagnetic, dielectric coefficients and magnetic conductivity on the first order resonance behavior of Stress Intensity Factor (SIF) mainly are analyzed. The results show that, among the above electrical and magnetic characteristic parameters, only can the electrical characteristic parameters of the piezoelectric ceramics and magnetic characteristic coefficients of the piezomagnetic material affect fracture resonance behavior in the multiferroic cylindrical structure. The obtained conclusion can provide guidelines for the anti-fracture optimal designs of multiferroic devices.

simple harmonic vibration; dynamic fracture; piezoelectric/piezomagnetic composites; Stress Intensity Factor (SIF)

1672-1497(2017)03-0100-06

2017-03-28

國家自然科學基金資助項目(11372358)

郭運坤(1993-)，男，碩士研究生。

O346.1

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2017.03.019