一個(gè)不等號(hào)的啟示

丁建明

【摘 要】 數(shù)學(xué)教學(xué)具有其特殊性的地方，有的概念在不同的層次有不同的定義。在低年級(jí)的時(shí)候，有些定義不完整，甚至嚴(yán)格說(shuō)來(lái)是錯(cuò)的?？紤]到接受的限制，這樣實(shí)施是符合教學(xué)規(guī)律的。也許我們當(dāng)老師的覺(jué)得學(xué)了很多，也許學(xué)生的成績(jī)還不錯(cuò)，但是，在做很簡(jiǎn)單的題目的時(shí)候也會(huì)出錯(cuò)。

【關(guān)鍵詞】 不等號(hào)；符號(hào)

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G64.3 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 2095-3089（2017）14-00-01

在一次數(shù)學(xué)考試選擇題中，我出了這樣一道題目：下列不等式成立的有：

A、 B、≤ C、 D、

有一位數(shù)學(xué)教師拿著卷子來(lái)問(wèn)我，這些答案都不成立，是不是題目出錯(cuò)了？你說(shuō)呢？這位老師的疑問(wèn)，對(duì)于我在數(shù)學(xué)教學(xué)中無(wú)不是一個(gè)好的啟示，像這樣簡(jiǎn)單的不等號(hào)（主要是：≦和≧）稍加不注意就會(huì)出錯(cuò)，這個(gè)老師肯定是隨便看看。而學(xué)生呢，更是普遍都認(rèn)為是錯(cuò)的。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，不奇怪，是好事，抓住這樣的機(jī)會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，強(qiáng)調(diào)符號(hào)、≥、>、<的含義，再讓學(xué)生判斷下列對(duì)錯(cuò)：自然就會(huì)選C，一點(diǎn)就通。這樣簡(jiǎn)單而又常用的不等號(hào)，連我們都會(huì)出現(xiàn)判斷不準(zhǔn)這樣的情況。從而使我想起，在漫長(zhǎng)的教學(xué)或?qū)W習(xí)過(guò)程中，有些概念的接受是允許有誤差的。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣錯(cuò)誤的教學(xué)規(guī)律，如學(xué)生只能了解的卻要求理解，甚至要求掌握，到頭來(lái)影響了教學(xué)效果，學(xué)生該學(xué)的沒(méi)有學(xué)到，竹籃打水一場(chǎng)空。例如，對(duì)稱(chēng)性從小學(xué)到大學(xué)都要學(xué)習(xí)，但是學(xué)習(xí)的方法和深度不一樣，小學(xué)只要求感性認(rèn)識(shí)對(duì)稱(chēng)圖形，初中以后逐步的從感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)深入學(xué)習(xí)發(fā)展，從未知向感知升向認(rèn)識(shí)最后才走到探索研究之路。有些知識(shí)的接受是受相關(guān)學(xué)科或者是知識(shí)的系統(tǒng)性影響的，隨著知識(shí)的增加或?qū)W習(xí)時(shí)間的延長(zhǎng)，回過(guò)頭來(lái)在理解就會(huì)一點(diǎn)即通。例如函數(shù)、極限的概念的理解，直線(xiàn)、角度概念的理解，…，是分階段性的。在初中定義是不完整的，但又是允許的，要到高中甚至大學(xué)才會(huì)學(xué)到嚴(yán)格的定義。

首先通過(guò)以下復(fù)習(xí)方式，讓學(xué)生輕松地理解符號(hào)“”的含義。

下列不等式成立的有：

A、 B、 C、

在課堂上讓學(xué)士回答，只答B(yǎng)的占大多數(shù)，有少數(shù)答A、B。沒(méi)有一個(gè)答A、B、C。正確答案是：A、B、C。發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要是對(duì)符號(hào)“”的理解。對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)：“”符號(hào)成立，只要“”和“=”中有一個(gè)成立即可成立。如A中雖然不成立，但有成立，所以，成立。如C中有成立，所以就成立。事實(shí)上，我們是把“”

看成“或”命題。我們還可以再把A、B、C三個(gè)不等式反向，、、。讓學(xué)生判斷回答，情況是又對(duì)又快。下面我們出這樣的題，學(xué)生可能會(huì)有些問(wèn)題；若且求。很快答出0，1，2，3，4，5。但是學(xué)生會(huì)在數(shù)軸上錯(cuò)誤標(biāo)出。若或求。學(xué)生也許會(huì)錯(cuò)誤的答出0，1，2，3，4，5.數(shù)學(xué)老師同時(shí)還是一位數(shù)學(xué)符號(hào)和中文文字翻譯工作者。

在教學(xué)或是學(xué)習(xí)中，急于求成或者一學(xué)就通都是辦不到的。循序漸進(jìn)，溫故知新，才是符合認(rèn)知的過(guò)程。在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)進(jìn)步過(guò)程中，大大小小的錯(cuò)誤和誤解都是難免的，也是正常的。下面通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)看不同階段對(duì)同一概念的定義。例如直線(xiàn)的定義，小學(xué)的定義是“有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)的組成的圖形叫作角”；中學(xué)的定義是“角是由一條射線(xiàn)繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的”。小學(xué)的定義使角度的大小受到限制，是不嚴(yán)格的；中學(xué)的定義使角度的大小任意化，是完善的。再看函數(shù)的定義，第一種，也是長(zhǎng)期而普遍的定義，就是把變量看成函數(shù)；第二種，函數(shù)是一種特殊的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系：，其中，序偶的集合是右單值的；還有一種認(rèn)為函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)，后兩種是現(xiàn)代解釋。就中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)概念的形成和發(fā)展分四個(gè)階段。即引入函數(shù)概念之前的預(yù)備階段；初步形成函數(shù)概念階段；認(rèn)識(shí)深化階段；研究函數(shù)性質(zhì)階段，這四個(gè)階段的認(rèn)知層次是逐步提高的，符合從感性到初步理性，然后深化，在進(jìn)一步發(fā)展的認(rèn)知過(guò)程。有些學(xué)生學(xué)到函數(shù)的時(shí)候就有困難而放棄學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可能是在教學(xué)中違背了學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程。所以，我們要選擇好實(shí)例，運(yùn)用好實(shí)例，由淺入深，只有獲得了感性認(rèn)識(shí)，才能上升到理性認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

李求來(lái)，昌國(guó)良編著。《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》。湖南師范大學(xué)出版社。2006，1