淺述幾何概型

穆俊峰

摘 要：由于新課改北師大版高中數(shù)學(xué)教材中，對(duì)幾何概型的介紹相對(duì)較少，因此幾何概型總讓人覺(jué)得晦澀難懂，不像古典概型那樣清晰規(guī)范。在這樣的實(shí)際背景下，就幾何概型的定義及常見(jiàn)題型和易錯(cuò)題型做了簡(jiǎn)單的分析、敘述。

關(guān)鍵詞：幾何概型；概率；計(jì)算

一、幾何概型的含義及計(jì)算公式

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability），簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型。在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式為：

P（A）=

對(duì)幾何概型的認(rèn)識(shí)和理解要不同于古典概型。因?yàn)樵诠诺涓判椭校怕蔖=0的事件一定是不可能事件，而對(duì)幾何概型而言，即使某事件的概率P=0，該事件仍有可能發(fā)生（在[0，1]中任選一數(shù)，該數(shù)為1的概率為0，顯然，這并不是不可能事件。）；同樣的對(duì)幾何概型而言，概率P=1的事件也不一定就是必然事件。表面上看這是由于基本事件的個(gè)數(shù)與區(qū)域測(cè)度的計(jì)算方法不同所致，其實(shí)根本原因就是離散與連續(xù)的不同。

二、幾何概型的常見(jiàn)類(lèi)型

1.“長(zhǎng)度”化類(lèi)型

例1.若一根繩長(zhǎng)為3米，在任意位置剪斷，則剪得的兩段繩長(zhǎng)都不少于1米的概率是多少？

解：記剪得兩段繩子的長(zhǎng)都不小于1米為事件為A，如圖1，把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在第二段（中間一段）時(shí)，事件A發(fā)生，由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的 ，所以事件A發(fā)生的概率為 。

P（A）= =

2.“面積”化類(lèi)型

例2.兩人相約在8∶00至9∶00之間會(huì)面，并且先到者必須等候另一人20分鐘方可離去。如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在8∶00至9∶00各時(shí)刻見(jiàn)面的可能性相等，求兩人在約定的時(shí)間內(nèi)會(huì)面的概率。

解：設(shè)兩人分別在8：00之后的x分鐘和y分鐘到達(dá)見(jiàn)面地點(diǎn)，記A為兩人能成功會(huì)面這一事件。要使兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)會(huì)面，當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|≤20分鐘。如圖2正方形區(qū)域ω={（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}表示兩人到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)的所有可能結(jié)果形成的區(qū)域。陰影部分的范圍表示兩人能在約定的時(shí)間內(nèi)會(huì)面的結(jié)果形成的區(qū)域，所以?xún)扇嗽诩s定的時(shí)間內(nèi)相遇的概率是：

P（A）= =

圖2

3.“體積”化類(lèi)型

例3.在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到正方體各個(gè)面的距離都不小于1的概率為多少？

解：如圖3所示，所有基本事件組成的區(qū)域就是正方體ABCD-A1B1C1D1組成的封閉幾何體，則以正方體的中心為中心，棱長(zhǎng)為1的小正方體圍成的區(qū)域

符合題中的要求，從而其概率P= 。

通過(guò)以上簡(jiǎn)單例題我們可以看出，處理幾何概型問(wèn)題的一般步驟為：（1）根據(jù)題意，準(zhǔn)確分析出事件對(duì)應(yīng)的幾何量所表示的區(qū)域。（2）計(jì)算出對(duì)應(yīng)的測(cè)度。（長(zhǎng)度、面積、體積）（3）根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式求出比值。由于幾何概型是基本事件為無(wú)限且連續(xù)條件下的等可能概型，有限無(wú)限的判斷顯而易見(jiàn)，因此把基本事件轉(zhuǎn)化為等可能條件的幾何量就自然而然成為幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵所在了。

三、幾何概型中的易錯(cuò)題型

例4.函數(shù)f（x）=x2的定義域?yàn)椋?2，3），則函數(shù)值在[0，1]內(nèi)的概率是多少？

錯(cuò)誤解法：函數(shù)的值域?yàn)閇0，9），其區(qū)間長(zhǎng)度為9，而[0，1]區(qū)間的長(zhǎng)度為1，因此，函數(shù)值在[0，1]內(nèi)的概率為P= 。錯(cuò)誤的原因是，值域取值不滿足等可能性。

正確解法：定義域?yàn)椋?2，3），其長(zhǎng)度為5，而函數(shù)值在[0，1]的自變量x取值的區(qū)間為[-1，1]其長(zhǎng)度為2，因此，函數(shù)值在[0，1]的概率為P= 。

在不確定是以自變量長(zhǎng)度為準(zhǔn)還是以函數(shù)值的長(zhǎng)度為準(zhǔn)時(shí)，可以舉特例來(lái)感受到底誰(shuí)滿足等可能性。如：f（x）=x，x∈（0，1）0，x∈（1，2），則，函數(shù)值為0的概率是多少？顯然函數(shù)值的取值是非等可能的。這樣就避免犯錯(cuò)了。

例5.如圖4，在直角三角形ABC中，A=30°，過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM，交線段AB于點(diǎn)M，則使得AM>AC的概率是多少？

錯(cuò)誤解法：設(shè)以A為圓心，AC長(zhǎng)度為半徑的圓交線段AB于點(diǎn)D，則此時(shí)射線的位置使得AM=AC，因此當(dāng)交點(diǎn)在線段BD內(nèi)時(shí)，就滿足AM>AC，此時(shí)BD=AB-AC。從而AM>AC的概率為P= 。錯(cuò)誤的原因是此隨機(jī)試驗(yàn)是以角度為變量，而不是以線段的長(zhǎng)度為變量。這類(lèi)問(wèn)題很多資料都有解釋?zhuān)^點(diǎn)也各有不同，根本原因還是隨機(jī)試驗(yàn)本身不同，最典型的例子就是貝特朗悖論，各種算法都沒(méi)有錯(cuò)，只是隨機(jī)試驗(yàn)不同而已。最能說(shuō)清問(wèn)題的做法是把例5中，“作射線CM”改為“在線段AB上取點(diǎn)M，使得AM>AC”，這樣變量的選取問(wèn)題就豁然開(kāi)朗了。

正確解法：設(shè)以A為圓心，AC長(zhǎng)度為半徑的圓交線段AB于點(diǎn)D，此時(shí)射線的位置滿足AM=AC，當(dāng)射線CM在∠BCD時(shí)就滿足AM>AC，此時(shí)，∠BCD=150，從而AM>AC的概率為P= = 。

參考文獻(xiàn)：

盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版社，2001.

編輯 李建軍