直觀模型：算理與算法之間的橋梁

宋琳

計(jì)算教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有十分重要的地位，但在教學(xué)中常常存在這樣的問(wèn)題：有的老師將重點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)算法的掌握上，力求學(xué)生熟練掌握計(jì)算方法，達(dá)到一定的計(jì)算速度和準(zhǔn)確度，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的基本技能，而對(duì)于算理的教學(xué)則相對(duì)弱化。有的老師雖然已經(jīng)認(rèn)識(shí)到算理的重要作用，也重視算理的教學(xué)，但對(duì)于怎樣在課堂教學(xué)中有效落實(shí)存在困惑。

為解決以上問(wèn)題，教師可以借助直觀模型，在算理與算法之間搭建一座橋梁，做到理法結(jié)合，提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

1.借助直觀模型，處理好算理與算法的關(guān)系

算理是四則運(yùn)算的理論依據(jù)，由數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成。

直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計(jì)數(shù)器、格子圖、數(shù)直線等。在實(shí)際的教學(xué)中，我們還會(huì)經(jīng)常引用類似元、角、分、千米、米、分米等測(cè)量單位這些具有一定結(jié)構(gòu)的實(shí)物材料，我們稱之為“實(shí)物模型”。但如果站在更廣義的角度來(lái)看，我們不妨把實(shí)物模型也看作是直觀模型的一種類型。

在計(jì)算教學(xué)時(shí)，學(xué)生在探索方法和理解算理過(guò)程中所出現(xiàn)的困難能通過(guò)直觀模型來(lái)克服嗎？在這一過(guò)程中有無(wú)直觀模型，會(huì)造成學(xué)生的學(xué)習(xí)有多大的差異？北京教育學(xué)院教師教育數(shù)理學(xué)院的張丹教授專門(mén)做了一次調(diào)研，調(diào)查對(duì)象為某小學(xué)三年級(jí)學(xué)生（共40名）。這些學(xué)生沒(méi)學(xué)過(guò)兩位數(shù)乘兩位數(shù)，但已學(xué)過(guò)兩位數(shù)乘一位數(shù)，他們要想辦法在沒(méi)有任何直觀模型的情況下計(jì)算出14×12等于多少。結(jié)果顯示，40人全部用豎式計(jì)算，其中22人基本正確（包括方法正確，雖計(jì)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤），18人出現(xiàn)較大困難。

隨后，對(duì)遇到困難的18名學(xué)生進(jìn)行了訪談，并提供直觀模型——點(diǎn)子圖，讓他們借助點(diǎn)子圖完成以下任務(wù)：（1）借助點(diǎn)子圖思考如何計(jì)算出14×12的結(jié)果；（2）如果能夠計(jì)算出正確結(jié)果，再將計(jì)算過(guò)程寫(xiě)成豎式。對(duì)于任務(wù)（1），這18名學(xué)生都能根據(jù)點(diǎn)子圖通過(guò)“拆數(shù)”得到計(jì)算結(jié)果；在完成任務(wù)（2）時(shí)，有8人能獨(dú)立完成，10人雖然遇到困難，但通過(guò)引導(dǎo)可以解決。當(dāng)問(wèn)及學(xué)生點(diǎn)子圖是否有用時(shí)，學(xué)生回答：“有用，可以把12拆成10行和2行?！币虼?，對(duì)比開(kāi)始沒(méi)有直觀模型時(shí)學(xué)生得出結(jié)果的困難，直觀模型無(wú)疑是有用的。

那么，常用的直觀模型有哪些優(yōu)勢(shì)呢？計(jì)數(shù)器的優(yōu)勢(shì)在于它可以更好地幫助學(xué)生理解位值制，更加容易建立與豎式之間的關(guān)系，如相同數(shù)位上的數(shù)才能相加減的計(jì)算法則。小棒的優(yōu)勢(shì)在于便于學(xué)生操作和理解。學(xué)生在建立十進(jìn)制關(guān)系的時(shí)候就是利用小棒進(jìn)行學(xué)習(xí)的，所以學(xué)生對(duì)于小棒的操作更加熟悉，也更易于理解算理。此外，小棒的操作比計(jì)數(shù)器更容易體現(xiàn)十位上的數(shù)，更容易呈現(xiàn)多樣的算法。點(diǎn)子圖的優(yōu)勢(shì)，具有一定結(jié)構(gòu)的、具體的、直觀的“形”，為學(xué)生理解抽象的、深?yuàn)W的“理”架起了一座直通的橋梁，為師生探究算理、算法提供了一個(gè)可操作的直觀模型，從而有力促進(jìn)了學(xué)生對(duì)算理的有效建構(gòu)。

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘、除法時(shí)，以直觀形象為支撐，可以幫助學(xué)生牢固掌握計(jì)算方法，同時(shí)滲透遷移、轉(zhuǎn)化的思想，從而提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

2.應(yīng)用直觀模型的策略

適時(shí)呈現(xiàn)，解釋疑惑。在教學(xué)時(shí)，直觀模型給得“早”不如給得“巧”。教學(xué)伊始先不提供支撐算理理解的直觀模型，讓學(xué)生直接面對(duì)一個(gè)算式，看看他們能否聯(lián)系自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)嘗試解決問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生嘗試過(guò)后仍然不能解決時(shí)，再給他們提供模型。

融合貫通，建立聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識(shí)就像是一張縱橫交錯(cuò)的網(wǎng)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是一個(gè)節(jié)點(diǎn)，一條條知識(shí)鏈連接起了一個(gè)個(gè)的節(jié)點(diǎn)，從而形成了一張密密的“知識(shí)網(wǎng)”。我們向?qū)W生提供直觀模型時(shí)，不僅要求“全”，還要求“聯(lián)”。直觀模型、橫式、豎式之間的求“聯(lián)”，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思維融會(huì)貫通，這樣重要且恰到好處的穿梭串聯(lián)，能觸及知識(shí)各部分之間的聯(lián)系，對(duì)學(xué)生而言，不可或缺。

晚唐詩(shī)人杜牧告誡子女：“學(xué)非探其花，要自拔其根?！边@啟示我們，在計(jì)算教學(xué)中要理法融合，用好直觀模型，理清“算理”這條根，才能探得“通理曉法”這朵花，在算理與算法之間架設(shè)一座橋梁，促進(jìn)學(xué)生“清方法，明算理”，真正提高學(xué)生的“運(yùn)算能力”。