疊加法在基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

何芝仙，樊清華

（安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

[教育·教學(xué)]

疊加法在基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

何芝仙，樊清華

（安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

針對基礎(chǔ)力學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，討論了疊加法在基礎(chǔ)力學(xué)中應(yīng)用的典型實(shí)例如求結(jié)構(gòu)的約束反力、求解單自由度振動系統(tǒng)在任意激勵(lì)力作用下的響應(yīng)、畫梁的彎矩圖、求梁的彎曲變形、廣義胡克定律計(jì)算公式的推導(dǎo)以及求解組合變形問題等。論述疊加法求解基礎(chǔ)力學(xué)問題的適應(yīng)條件和相對統(tǒng)一的求解一般步驟，結(jié)論是符合疊加法求解適應(yīng)條件的問題，應(yīng)用疊加法求解優(yōu)勢顯著，基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)應(yīng)對疊加法給予足夠的重視。

線性問題；疊加原理；適應(yīng)條件；求解一般步驟

0 引 言

基礎(chǔ)力學(xué)是高等學(xué)校工科本科專業(yè)的必修專業(yè)基礎(chǔ)課,我校工科各專業(yè)的基礎(chǔ)力學(xué)主要包含理論力學(xué)和材料力學(xué)。疊加原理是求解線性問題的一個(gè)非常重要的原理，應(yīng)用疊加原理求解線性問題的方法即謂疊加法?；A(chǔ)力學(xué)中的大多數(shù)問題屬于線性問題，因而疊加法在基礎(chǔ)力學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛。 材料力學(xué)教科書中有關(guān)“疊加法求梁的變形”通常這樣敘述“當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，可分別求出每一個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的變形，然后將所求得的各個(gè)變形代數(shù)相加，即為這些載荷共同作用 時(shí) 的 變 形 ”[1]。 一 般 地 ，構(gòu) 件 或 結(jié) 構(gòu) 在 多 個(gè) 載 荷 同時(shí)作用下引起的響應(yīng)（如約束反力、變形、應(yīng)力等），應(yīng)等于每一個(gè)載荷單獨(dú)作用下引起的響應(yīng)的和，這就是所謂的疊加法。應(yīng)用疊加法求解一般步驟可以歸納為以下3步：

1.按照結(jié)構(gòu)上作用的主動力將具有多個(gè)主動力同時(shí)作用的求解問題分解成只有一個(gè)主動力作用的基本單元；

2.求解基本單元的響應(yīng)；

3.疊加。

基礎(chǔ)力學(xué)中應(yīng)用疊加法求解問題應(yīng)滿足的條件：

1.所求解的問題必須是線性問題，非線性問題疊加原理不成立；

2.在一個(gè)主動力作用下基本單元的求解應(yīng)簡單快捷；

3.主動力個(gè)數(shù)不宜過多，一般不宜超過 3 個(gè)。 過多的主動力會導(dǎo)致基本單元的求解以及疊加時(shí)計(jì)算量增加，計(jì)算出錯(cuò)幾率增加。

基礎(chǔ)力學(xué)中許多問題，應(yīng)用疊加法求解方便快捷，有些問題甚至可以達(dá)到通過心算直接寫出求解結(jié)果的神奇程度。

1 疊加法在理論力學(xué)中的應(yīng)用

1.1 疊加法求約束反力

根據(jù)作用在研究對象（結(jié)構(gòu)、構(gòu)件）上的主動力，求解約束反力，是理論力學(xué)中剛體靜力學(xué)的主要 目 的[2]。 圖 1 為 具 有 集 中 力 和 均 布 力 同 時(shí) 作 用 的簡支梁,其支座 A，B 處的約束反力為 FA和 FB，參見圖 2（a）。 根據(jù)疊加法的求解一般步驟，首先將其分解成只有分布力q和只有集中力P作用的基本單元；求解基本單元，得到相應(yīng)的 A，B 處的約束反力為； 疊加后支座 A，B 處的約束反力為這類問題由于基本單元的約束反力可以通過觀察心算得到， 利用疊加法求解在省略中間過程后，可以直接寫出求解結(jié)果，非常適合采用疊加法求解。文 獻(xiàn)[3]給 出 了 一 個(gè) 利 用 疊 加 法 求 解 多 剛 體 系 統(tǒng) 平 衡問題的例子，如圖 3所示。 盡管可以采用疊加法求解出各個(gè)約束處的約束反力，但由于主動力數(shù)量較多且在一個(gè)主動力作用下的基本單元的約束反力求解并不簡便，故采用疊加法求解該問題的優(yōu)勢已喪失殆盡。

圖1

圖2

圖3 多剛體平衡問題

圖4 任意激勵(lì)力

1.2 疊加法求解單自由度振動系統(tǒng)在任意激勵(lì)力作用下的響應(yīng)

單自由度振動系統(tǒng)在任意激勵(lì)力作用下的響應(yīng)求解問題，是一個(gè)典型的動力學(xué)問題。 其運(yùn)動微分方程為

式中：m 為質(zhì)量，c 為阻尼，k 為彈簧剛度系數(shù)，f（t）為任意激勵(lì)力。

Duhamel在研究該問題時(shí)，巧妙地運(yùn)用疊加法，得到一個(gè)完美的解答，即所謂 Duhamel積分。 其基本思路是：

1.t時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)只取決于 t時(shí)刻以前的作用力。 在[0，t]時(shí)間段的任意激勵(lì)力 f（t）可視為一系列元沖量 f（ ）d 組成，如圖 4 所示。

2. 元沖量 f （ ）d 引起的系統(tǒng)的動力響應(yīng)為dx（ ，t），可解出

3.根據(jù)疊加原理，t時(shí)刻系統(tǒng)的動力響應(yīng) x（t）等于 t時(shí)刻以前的元沖量 f（ ）d 引起的系統(tǒng)的動力響應(yīng) dx（ ，t）的和，即

這就是 Duhamel積分。

2 疊加法在材料力學(xué)中的應(yīng)用

材料力學(xué)在小變形條件下所研究的問題都是線性問題，滿足疊加原理的條件，故疊加法在材料力學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，如疊加法畫彎矩圖、求梁的彎曲變形、廣義胡克定律計(jì)算公式的推導(dǎo)、組合變形的求解等表現(xiàn)出獨(dú)特的求解優(yōu)勢。

2.1 疊加法畫彎矩圖

圖5 疊加法畫彎矩圖

盡管可以應(yīng)用疊加法畫梁的剪力圖，但求解方法并無優(yōu)勢，而采用疊加法畫圖 2（a）所示的簡支梁彎矩圖，則十分方便快捷，其求解過程如圖 5 所示。與求解約束反力的過程類似，只不過此時(shí)的求解目標(biāo)是梁的彎矩圖。由于本例中基本單元的求解結(jié)果一目了然，應(yīng)用疊加法畫其彎矩圖也可以達(dá)到直接給出結(jié)果的境界。

2.2 疊加法求梁的彎曲變形

材料力學(xué)中應(yīng)用疊加法與查表法相結(jié)合,可以有效地求解梁指定截面的位移與轉(zhuǎn)角。對于少學(xué)時(shí)的材料力學(xué)教學(xué)，由于學(xué)時(shí)不足不能介紹能量法求梁的彎曲變形，這種方法就顯得尤其重要。圖 1 所示的簡支梁中點(diǎn) C 的豎向位移，根據(jù)疊加原理，可以表達(dá)為

圖6 疊加法求梁的彎曲變形

圖6（a）所示的受到比較復(fù)雜載荷作用的簡支梁，欲求中點(diǎn) B 截面的撓度，可以將其分解成分布力、集中力和集中力偶單獨(dú)作用的基本單元，如圖 6（b）（c）（d）,則根據(jù)疊加原理，中點(diǎn) B 截面的撓度為

式中：yB為簡支 梁 在 集 中 力 P 單 獨(dú) 作用引 起的B 截 面 的 撓 度 ， 由 查 表 法 可 得e為簡支梁在集中力偶 Me單獨(dú)作用引起的 B 截面的撓度為簡支梁在均布力 q單獨(dú)作用引起的 B 截面的撓度。 為了進(jìn)一步求出，在距支座 A 為 x 處取 dx微段， 在 qdx 作用下 B 截面的撓度為，根據(jù)疊加原理和結(jié)構(gòu)對稱性代入（4）從而有

該例兩次應(yīng)用疊加原理求出了受載比較復(fù)雜的梁指定截面上的撓度，解法優(yōu)勢顯著。 與積分法相比， 疊加法避免了求解撓曲線近似微分方程，只做了加減和積分運(yùn)算，降低了運(yùn)算級別，節(jié)省了大量的計(jì)算時(shí)間。 與圖乘法相比，疊加法由于利用了查表法直接得到了基本單元的撓度，從計(jì)算工作量上看，仍具有一定的優(yōu)勢。 值得一提的是，疊加法求梁的彎曲變形，由于最后的結(jié)果為代數(shù)相加，對作用在梁上載荷的數(shù)目并無限制。

2.3 疊加法推導(dǎo)廣義胡克定律計(jì)算公式

圖7 疊加法推導(dǎo)廣義胡克定律計(jì)算公式

圖7（a）為具有 3 個(gè)主應(yīng)力的主單元體，利用疊加法推導(dǎo)廣義胡克定律計(jì)算公式十分方便。首先將其分解成只有一對主應(yīng)力作用的基本單元，如圖7（b）（c）（d）。在只有一對主應(yīng)力作用下引起的 3 個(gè)主方向的應(yīng)變可表示為

即用主應(yīng)力表示的廣義胡克定律。

2.4 組合變形

疊加法在材料力學(xué)中的一個(gè)重要的應(yīng)用，就是建立組合變形構(gòu)件的強(qiáng)度條件和剛度條件。承受組合變形的構(gòu)件，受載復(fù)雜、組合方式多樣，求解的關(guān)鍵就是掌握以疊加原理為基礎(chǔ)的求解方法。疊加法將組合變形分解成基本變形，求解分解后的基本變形的應(yīng)力和變形，最后通過疊加得到組合變形的求解結(jié)果，是一個(gè)應(yīng)用疊加法解決材料力學(xué)問題的生動實(shí)例。 以圖 8（a）所示的彎扭組合變形為例，說明其求解步驟。

1.載荷分解，將組合變形分解成若干個(gè)基本變形。 從圖 8（b）所示知，所討論的問題為彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形。

2. 按基本變形求解每組載荷作用下的內(nèi)力、應(yīng)力、 位移。 力偶Me引起的扭矩圖和橫力F作用引起的彎矩圖參見圖 8（c）及（d），對應(yīng)的應(yīng)力分布見圖 8（e）。

3.疊加求出組合變形的解。如圖 8（e）所示，危險(xiǎn)點(diǎn) a 點(diǎn)彎曲正應(yīng)力為， 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力由于危險(xiǎn)點(diǎn)a點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力方向不同，本質(zhì)上應(yīng)為矢量相加，即求出主應(yīng)力

若采用第 3強(qiáng)度理論，建立的強(qiáng)度條件為：

圖8 彎扭組合變形

3 結(jié) 論

疊加法在基礎(chǔ)力學(xué)中應(yīng)用廣泛，是基礎(chǔ)力學(xué)中解決工程問題的一個(gè)十分有效的手段，基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視。 采用疊加法求解問題，應(yīng)注重其適應(yīng)條件，即所求解的問題為線性問題,基本單元的求解應(yīng)簡單快捷,最后的疊加求和也應(yīng)容易實(shí)現(xiàn)。符合疊加法求解條件的基礎(chǔ)力學(xué)中的問題，采用疊加法求解優(yōu)勢顯著。如求解結(jié)構(gòu)的約束反力、求解單自由度系統(tǒng)在任意激勵(lì)力作用下的響應(yīng)、畫彎矩圖、求梁的彎曲變形、廣義胡克定律計(jì)算公式的推導(dǎo)以及求解組合變形等。特別是對于Duhamel積分的推導(dǎo)、組合變形的求解等這些問題，疊加法提供了求解問題的最具特色的可行方法。疊加法有相對統(tǒng)一的求解步驟即按照求解已知量與未知量關(guān)系分解成基本單元、求解基本單元、疊加?；A(chǔ)力學(xué)的教學(xué)中應(yīng)對疊加法給予足夠的重視。

[1]孫訓(xùn)方，方孝 淑，關(guān)來泰.材料力 學(xué)（I,II）（第 5 版）[M].北 京：高等教育出版社，2009：164-167.

[2]哈爾濱工 業(yè)大學(xué)理論 力學(xué)教研室.理論 力學(xué)（I,II）（第 7 版 ）[M].北京：高等教育出版社，2009：45-49.

[3]楊立軍,張勇.疊加原理在剛體靜力 學(xué)中的應(yīng)用[J].陜西科 技大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，23（2）:70-72.

[4]梁秋道.略論“疊 加法”在材料 力學(xué)中的應(yīng) 用[J].洛陽大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，10（4）：49-53.

責(zé)任編輯：胡德明

The Application of Superposition Method in the Teaching of Basic Mechanics

He Zhixian,Fan Qinghua
(School of Architectural Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

In this paper,the application of superposition method in basic mechanics is illustrated by typical examples,involving seeking the constraints of a structure,solving the response of a single degree of freedom vibration system applied on arbitrary exciting force,drawing the bending moment diagram of a beam,computing the bending deformation of a beam,deriving generalized Hooke's law and solving combined deformation problems,etc.The suitable condition and general steps to solve problems with superposition method are discussed.The results show obvious advantages of superposition method in solving problems in basic mechanics when the problems meet the suitable condition.Superposition method should be given enough attention in the course teaching of basic mechanics.

linear problem;superposition principle;suitable condition;general steps to solve problems

G642

：A

：1672-447X（2017）03-0100-04

2017-03-01

安徽省教育廳重點(diǎn)教研項(xiàng)目（2015jyxm17）

何芝仙（1963-），博士，安徽工程大學(xué)教授，研究方向?yàn)榛A(chǔ)力學(xué)的教學(xué)科研工作。