關(guān)于FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計法的若干問題討論

王艷芬， 張曉光， 王 剛， 劉衛(wèi)東， 張 林

(中國礦業(yè)大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

關(guān)于FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計法的若干問題討論

王艷芬， 張曉光， 王 剛， 劉衛(wèi)東， 張 林

(中國礦業(yè)大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

本文針對利用窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計FIR濾波器時所遇到的一些常見問題，例如如何理解吉布斯效應(yīng)、加窗后的FIR低通濾波器幅度函數(shù)特性與IIR濾波器的區(qū)別、怎樣理解阻帶頻率和阻帶最小衰減、如何進行FIR濾波器指標(biāo)驗證以及利用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR高通濾波器等問題，結(jié)合實驗設(shè)計舉例進行了較為詳細的討論和Matlab仿真分析，幫助學(xué)生拓展對相關(guān)問題的思考，加深對窗函數(shù)設(shè)計法的理解和應(yīng)用。

FIR濾波器；窗函數(shù)設(shè)計法；吉布斯效應(yīng)

0 引言

“數(shù)字信號處理”課程主要學(xué)習(xí)離散時間信號及系統(tǒng)、離散傅里葉變換(DFT)、快速傅里葉變換(FFT)、IIR濾波器和FIR濾波器兩大數(shù)字濾波器的設(shè)計及數(shù)字濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容[1-4]。其中窗函數(shù)設(shè)計法是FIR濾波器設(shè)計的重要方法，也是在課程實驗中不可缺少的內(nèi)容，在實際中有著廣泛應(yīng)用[5-8]。我們在多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容及在做實驗中，容易產(chǎn)生幾個比較模糊的問題。例如，如何理解吉布斯效應(yīng)、加窗后的FIR低通濾波器幅度函數(shù)特性與IIR濾波器的區(qū)別、怎樣理解阻帶頻率和阻帶最小衰減、如何進行FIR濾波器指標(biāo)驗證、利用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR高通濾波器只能采用1型濾波器嗎？現(xiàn)就這些問題總結(jié)歸納如下，與大家一起討論和分享。

1 FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計法原理

窗函數(shù)法是設(shè)計FIR數(shù)字濾波器最常用的方法。這種方法一般是先給定所要求的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，要求設(shè)計一個FIR濾波器頻率響應(yīng)H(ejω)去逼近理想的Hd(ejω)。因為利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器是在時域上進行的，所以，必須首先由給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)求傅里葉反變換得到對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。

因為hd(n)是以縱軸為對稱軸的sinc函數(shù)，它有兩個特點：①它是無限長的序列；②它是非因果的。而要設(shè)計有限長(設(shè)長度為N)、線性相位的FIR濾波器因果系統(tǒng)，其h(n)必定是因果序列和有限長序列，所以要采取兩個措施來得到h(n)：①通過截斷將無限長的序列變?yōu)橛邢揲L的；②通過移位將非因果序列變?yōu)橐蚬?。其中截斷是通過加窗函數(shù)來實現(xiàn)的，正是由于加窗處理，就會產(chǎn)生了以下幾個問題。

2 問題討論

2.1 吉布斯(Gibbs)效應(yīng)

在學(xué)習(xí)窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器時，首先涉及到一個重要的概念：吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。

什么是吉布斯效應(yīng)？從數(shù)學(xué)角度上來說，將具有不連續(xù)點的周期函數(shù)(如矩形脈沖)進行傅里葉級數(shù)展開后，若選取有限項進行合成。選取的項數(shù)越多，在所合成的波形中出現(xiàn)的峰值越靠近原信號的不連續(xù)點。當(dāng)選取的項數(shù)很大時，該峰值趨于一個常數(shù)，大約等于總跳變值的9%。這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。

窗函數(shù)法是通過加窗對無限長的序列hd(n)截斷得到有限長序列h(n)，由于Hd(ejω)是以2π為周期的周期函數(shù)，hd(n)可看作Hd(ejω)在頻域展為傅里葉級數(shù)的系數(shù)，所以該方法又稱為傅里葉級數(shù)法。用有限項傅里葉級數(shù)系數(shù)去代替無限項傅里葉級數(shù)系數(shù)，在頻率不連續(xù)點附近肯定會引起較大誤差，則在頻域就產(chǎn)生所謂的吉布斯效應(yīng)。這種效應(yīng)造成通帶和阻帶內(nèi)出現(xiàn)波動，直接影響濾波器的性能，通帶內(nèi)的波動影響濾波器通帶中的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波動影響阻帶內(nèi)的衰減，會使設(shè)計得到的濾波器滿足不了技術(shù)上的要求。采用矩形窗設(shè)計的濾波器幅度特性如圖1所示。

由圖1可以看到H(ω)與原理想低通Hd(ω)(虛線矩形)存在兩點差別：①H(ω)將Hd(ω)在截止頻率處的間斷點變成了連續(xù)曲線，使理想頻率特性不連續(xù)點處邊沿加寬，形成一個過渡帶；②在截止頻率πc的兩邊即ω=ωc±2π/N之處，H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩。

直觀上，增加窗口寬度N，可能會減小吉布斯效應(yīng)，但卻不然。因為在矩形窗情況下，其幅度函數(shù)是一個sinx/x函數(shù)(x=ωN/2)，其特點是隨x加大(即N加大)，主瓣幅度提高，同時旁瓣幅度也提高，而主瓣和旁瓣幅度相對值不變。所以當(dāng)截取長度N增加時，只會減小過渡帶寬度(4π/N)，但不能改變主瓣與旁瓣幅值的相對比例，即不會改變肩峰值。這個相對比例是由窗函數(shù)形狀決定的，與N無關(guān)。例如，在矩形窗情況下，采用Matlab仿真的結(jié)果如圖2(a)所示，可清楚看到N增加時，波動并不消失，而是波動振蕩變密，最大相對肩峰值則趨于一個常數(shù)(約為8.95%)，且最大肩峰值位置越來越接近間斷點(此例中，ωc=0.5π)，意味著濾波器的過渡帶寬減小。

圖1 采用矩形窗設(shè)計的濾波器幅度特性

減小吉布斯效應(yīng)的方法是選取旁瓣較小的窗函數(shù)，例如采用漢寧窗、海明窗等。圖2(b)是采用漢寧窗在不同N長度下得到的仿真結(jié)果?？梢钥吹?，通帶和阻帶內(nèi)的波動大大減小，濾波器性能得到改善，當(dāng)然，這是以增加過渡帶為代價的。

(a) 矩形窗 (b) 漢寧窗 圖2 采用不同寬度窗函數(shù)設(shè)計的濾波器幅度特性

2.2 加窗后的FIR低通濾波器幅度函數(shù)特性

理想濾波器對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)是非因果的，而因果性是物理系統(tǒng)實現(xiàn)的必要條件，因此只能用一個因果系統(tǒng)去逼近它。另外，也要考慮逼近后系統(tǒng)的容易實現(xiàn)和價格低廉問題，所以實用中的數(shù)字濾波器總是在通帶和阻帶中允許一定的容限，而且在通帶與阻帶之間有一個過渡帶。以一個低通濾波器為例，可以用圖3所示容限圖來說明。圖中δ1為通帶的容限，δ2為阻帶的容限，ωp為通帶截止頻率，ωs為阻帶截止頻率，在ωp與ωs之間為過渡帶。

圖3 典型IIR低通濾波器的幅頻響應(yīng)

因此，對于低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)包括通帶截止頻率ωp及在ω=ωp處的通帶內(nèi)所允許的最大衰減αp，定義為

αp(dB)=-20lg|H(ejω)|=-20lg(1-δ1)

(1)

此外，還要包括阻帶截止頻率ωs，及在ω=ωs處的阻帶內(nèi)所允許的最小衰減αs，定義為

αs(dB)=-20lg|H(ejω)|=-20lgδ2

(2)

與IIR濾波器不同，實際FIR濾波器的頻率響應(yīng)是理想低通濾波器的頻率響應(yīng)與窗函數(shù)的頻率響應(yīng)的復(fù)卷積，卷積的結(jié)果使得所設(shè)計的濾波器的幅度特性通帶和阻帶都會出現(xiàn)波動，特別是阻帶內(nèi)會出現(xiàn)偏離零值的負波動。圖4給出了加窗后的FIR低通濾波器幅度函數(shù)H(ω)特性，與圖3不同，H(ω)=1是通帶內(nèi)振幅響應(yīng)的中間值，通帶波紋δ表示振幅響應(yīng)偏離1的幅度，因此，通帶內(nèi)振幅響應(yīng)的最大和最小值分別為1+δ和1-δ。H(ω)的正負肩峰是相等的，其絕對值都是δ。如果相對于通帶內(nèi)的中間值H(ω)=1，則與IIR濾波器指標(biāo)的定義類似，通帶最大衰減和阻帶最小衰減分別為αp=-20lg(1-δ) dB,αs=-20lgδ dB。

這里要注意的是，圖中畫出了兩個帶寬，一個是過渡帶寬Δω，是指加窗后濾波器H(ω)的過渡帶寬，即從H(ω)=1-δ處衰減到H(ω)=δ處的頻率差值，也就是指標(biāo)中給出的阻帶截止頻率ωs與通帶截止頻率ωp之差值，即Δω=ωs-ωp。另外一個帶寬Δωw是H(ω)的兩個正負肩峰之間的頻率差值，它等于窗函數(shù)的主瓣寬度。

兩個帶寬的關(guān)系是Δω<Δωw，設(shè)計的濾波器性能越接近理想狀態(tài)即δ越小，兩個帶寬越接近。兩個帶寬都與窗長度N成反比，不同窗的比例系數(shù)是不同的，如表1所示。

圖4 加窗后的FIR低通濾波器幅度函數(shù)特性

表1中，旁瓣峰值衰減與阻帶最小衰減有聯(lián)系，但不是一個概念。旁瓣峰值衰減是針對窗函數(shù)而言，它是窗譜主副瓣幅度之比，而阻帶最小衰減是針對濾波器而言的，當(dāng)濾波器是采用窗函數(shù)方法得到時，阻帶最小衰減取決于窗譜主副瓣面積之比。

表1 幾種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較

2.3 阻帶頻率和阻帶最小衰減

大家知道，濾波器設(shè)計完成時要進行指標(biāo)驗證。IIR濾波器在指標(biāo)驗證時很簡單，只需要結(jié)合設(shè)計的濾波器幅頻特性驗證在邊界頻率處(比如阻帶頻率ωs時所對應(yīng)的阻帶最小衰減αs)是否滿足設(shè)計要求即可。但用窗函數(shù)法設(shè)計的FIR濾波器在指標(biāo)驗證時學(xué)生往往有一些困惑的地方，比如在給定阻帶頻率ωs和αs時，仿真結(jié)果找到該頻率處所對應(yīng)的值是不是阻帶最小衰減αs？在什么情況下它就是阻帶內(nèi)的最大波紋衰減(圖4中的大于ωs處對應(yīng)-δ的dB值)？同一個窗，改變長度N，過渡帶在變，ωs處的衰減在變，如何驗證設(shè)計的濾波器指標(biāo)？

下面通過一個設(shè)計舉例來進行該問題的分析。

舉例1：用窗函數(shù)法設(shè)計一個線性相位FIR低通濾波器，設(shè)計指標(biāo)為ωp=0.3π，αp=0.25 dB，ωs=0.5π，αs=50 dB。

首先由阻帶衰減決定用什么窗。按照表1，海明窗和布萊克曼窗阻帶最小衰減大于50 dB，因為海明窗的過渡帶寬小于布萊克曼窗，所以優(yōu)先選擇海明窗。

然后由過渡帶決定窗口長度N取多少。按表1過渡帶寬Δω=6.6π/N及Δωw=8π/N(下面會說明實際中只需要采用其中一個帶寬即可)，讓這兩個帶寬都等于ωs-ωp=0.2π(實際上帶寬Δωw用此計算是有近似的)，計算出窗口長度為

窗口長度N改變時得到的濾波器幅頻響應(yīng)仿真波形如圖5所示。由仿真圖可以看出，當(dāng)N=N1時，ωs=0.5π處在阻帶的邊緣，當(dāng)N>N1且N>N2時，例如取N=45，ωs=0.5π處在阻帶內(nèi)，所對應(yīng)的阻帶衰減值為-52.91 dB，此時該衰減正好等于阻帶內(nèi)的最大波紋衰減。同時可以看到，N的變化基本不影響阻帶最大波紋衰減的大小，它只由窗形狀決定，而過渡帶的寬度則不僅和窗形狀有關(guān)，且隨N的增加而減小，所以調(diào)整點數(shù)N，實際是在調(diào)節(jié)過渡帶寬，一般調(diào)節(jié)到ωs處對應(yīng)衰減等于阻帶內(nèi)的最大波紋衰減時可以得到窗函數(shù)設(shè)計法最好的性能，因為此時可以做到在滿足阻帶衰減指標(biāo)的情況下過渡帶達到最窄，如圖5(b)所示。

(a) 海明窗 N=33 (b) 海明窗N=45 圖5 窗口長度N改變時的濾波器幅頻響應(yīng)

因此，對于窗函數(shù)法設(shè)計的FIR濾波器指標(biāo)驗證時，與IIR濾波器是不同的，給出以下結(jié)論：

(1)用窗函數(shù)法設(shè)計的FIR濾波器阻帶最小衰減通常是指阻帶內(nèi)的最大波紋衰減(圖4 中的大于ωs處對應(yīng)-δ的dB值)，它由窗形狀決定，一旦窗函數(shù)選定后，阻帶最小衰減就是固定的，不受窗長N的影響。

(2)與IIR濾波器不同，用窗函數(shù)法設(shè)計的FIR濾波器阻帶頻率ωs和阻帶最小衰減αs一般沒有直接對應(yīng)關(guān)系，需要通過反復(fù)調(diào)整窗長和窗形狀來達到最佳設(shè)計效果，此時可以做到在滿足阻帶衰減指標(biāo)的情況下過渡帶達到最窄。

(3)窗函數(shù)設(shè)計法的主要缺點就是通帶和阻帶的邊界頻率不易控制，長度N也不易一次決定，要反復(fù)多次才能求得滿意的結(jié)果。也就是說FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計法不像IIR 濾波器設(shè)計那樣能精確指定通帶和阻帶的邊界頻率及這兩個帶內(nèi)的衰減αp和αs，而是有時僅給出截止頻率ωc，其它參數(shù)是靠長度N及所使用的窗函數(shù)的性能來決定的。

此外，也可以看出，窗長N或者說濾波器單位脈沖響應(yīng)長度的選取主要取決于帶寬Δωw，因此一般教材只給出一個帶寬，且認為濾波器過渡帶寬度近似等于窗函數(shù)的主瓣寬度。

注意，按照表1選擇海明窗，當(dāng)N較小，例如N=15時，仿真波形如圖6(a)所示，阻帶最小衰減為48.21 dB，可以看到，不能滿足設(shè)計要求50 dB。實際上，表1中所給出的各個窗函數(shù)的阻帶最小衰減是在N較大(例如N=51)時給出的結(jié)果，作為設(shè)計FIR濾波器的參考值。所謂N較小，一般是指N大約等于由過渡帶寬得到的N值的1/3，例如：按照舉例1的過渡帶指標(biāo)，采用Δωw計算，用海明窗和矩形窗時得到的最小N值分別為40和20，它們的1/3約為15和7，此時，得到的阻帶最小衰減都比表1中給出的要小，矩形窗得到的結(jié)果為18.15 dB，如圖6(b)所示。

因此，所謂窗函數(shù)選定后阻帶最小衰減是固定的，不受窗長N的影響，是指N較大時(可由過渡帶求出所需的最小值)，N較小時(此時一定不滿足過渡帶寬要求了，且ωs處在過渡帶中)，阻帶最小衰減低于表1中給出的參考值。這也再次說明，設(shè)計FIR濾波器時，過渡帶和阻帶最小衰減都必須要滿足設(shè)計要求。

(a) 海明窗 (b) 矩形窗圖6 不同窗N值較小時的濾波器幅頻響應(yīng)

2.4 線性相位FIR高通濾波器設(shè)計

根據(jù)線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng) 的奇、偶對稱性以及點數(shù)N取值的奇、偶性，分別對應(yīng)于四種類型線性相位FIR數(shù)字濾波器，如表2所示。其中對于高通濾波器的設(shè)計，由于H(ω)約束條件的限制，只能選擇1型和4型。

表2 四種類型線性相位FIR數(shù)字濾波器

問題：當(dāng)利用窗函數(shù)法設(shè)計高通濾波器時，有哪些方法?只能采用1型濾波器嗎？

(方法一) 利用理想低通濾波器間接設(shè)計

在課堂教學(xué)中，講授窗函數(shù)設(shè)計法原理時都是以設(shè)計一個線性相位FIR低通濾波器為例進行的(基本上各教材都是這樣敘述的[1-4])。按照窗函數(shù)設(shè)計思路，假設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為

(3)

其相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為

(4)

h(n)=hd(n)w(n)

(5)

若設(shè)計一個截止頻率為ωc的線性相位高通濾波器，可以采用截止頻率為ωc=π的低通(即全通濾波器)減去截止頻率為ωc的低通濾波器來實現(xiàn)，方法示意圖如圖7所示。

圖7 利用全通減低通得到高通濾波器的示意圖

根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)，頻域兩個濾波器特性相減，對應(yīng)時域也是相減，結(jié)合式(4)，可以得到理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為

hd(n)|高通=hd(n)|全通-hd(n)|低通

(6)

舉例2：設(shè)計一個具有下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器：阻帶頻率ωs=0.6π，αs=50 dB；通帶頻率ωp=0.75π，αp=0.5 dB。

按照表1，可以選用海明窗。假如ωs-ωp=0.15π=8π/N，得N=53.34 。需要注意的是，因為采用這種方法設(shè)計高通，h(n)是偶對稱的，所以點數(shù)N只能取奇數(shù)，即只能采用1型濾波器，N=55時仿真結(jié)果如圖8(a)。當(dāng)N取偶數(shù)時，在高通的通帶π處出現(xiàn)過零，如圖8(b)所示，此時顯然不能滿足設(shè)計要求。

(a)N=55為奇數(shù) (b)N=54為偶數(shù) 圖8 利用理想低通設(shè)計高通濾波器結(jié)果

(方法二)直接利用理想高通濾波器設(shè)計

該方法也稱為頻譜搬移法[1]。大家知道，一個低頻信號乘以(-1)″=cos(nπ)，就可以轉(zhuǎn)換成一個高頻信號，這就是“調(diào)制性”，時域的調(diào)制(相乘)對應(yīng)于頻域的位移，反之亦然。

舉例3：采用海明窗設(shè)計一個截止頻率為ωc=0.5π的線性相位FIR數(shù)字高通濾波器[9]。

本題采用上述思路，頻域移位對應(yīng)時域相乘。

設(shè)線性相位理想高通濾波器的頻率響應(yīng)為

其相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為

則所設(shè)計的高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為

h(n)=hd(n)wham(n)

其Matlab仿真得到的單位脈沖響應(yīng)和幅頻響應(yīng)曲線如圖9所示。

(a)1型濾波器(h(n)偶對稱，N=51為奇數(shù))

(b)4型濾波器(h(n)奇對稱，N=50為偶數(shù))圖9利用理想高通設(shè)計高通濾波器結(jié)果

由此可以看出，直接利用理想高通設(shè)計線性相位高通濾波器既可以采用1型濾波器(N取奇數(shù))

也可以采用4型濾波器(N取偶數(shù))，方法比較靈活，均可以達到設(shè)計指標(biāo)要求。

3 結(jié)語

窗函數(shù)設(shè)計法是“數(shù)字信號處理”課程中FIR濾波器設(shè)計的重要方法。本文針對該方法的一些常見問題結(jié)合實驗設(shè)計舉例進行了較為詳細的討論和Matlab仿真分析，可以幫助學(xué)生拓展對相關(guān)問題的思考，加深對窗函數(shù)設(shè)計法的理解。

[1] 程佩青. 數(shù)字信號處理教程(第三版)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2007

[2] 胡廣書. 數(shù)字信號處理-理論、算法與實現(xiàn)(第三版)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2012

[3] 吳鎮(zhèn)揚．?dāng)?shù)字信號處理(第二版)[M]. 北京：高等教育出版社，2010

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[6] 歐陽華，尹為民，邵英. 基于比較教學(xué)法的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計實驗[J].南京：電氣電子教學(xué)學(xué)報，2011，33(1)：75-77.

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Discussion on Some Problems about the Design of Window Function of FIR Filter

WANG Yan-fen，ZHANG Xiao-guang，WANG Gang，LIU Wei-dong，ZHANG Lin

(SchoolInformationandElectricalEngineering，ChinaUniversityofMining&Technology，Xuzhou221116,China)

For the use of the design method of FIR filter encountered some common problems with window function design method, such as how to understand the Gibbs effect, the difference between windowed FIR low pass filter amplitude function characteristics and IIR filter, how to understand the stopband frequency and minimum stopband attenuation, how to verify the FIR filter parameters, using window function method to design linear phase FIR high pass filter is only by type 1 filter, etc，combined with the design example in experiment, a detailed discussion and Matlab simulation analysis are carried out to help students develop the thinking about the related problems and deepen the understanding and application of the window function design method.

FIR filter; window function design method; Gibbs effect

2016-04-23;

2016-06- 24 基金項目：江蘇省高等教育教改研究立項課題(2015JSJG275)，教育部第六批國家特色專業(yè)建設(shè)項目(TS1Z293)，中國礦業(yè)大學(xué)課程建設(shè)與教學(xué)改革項目(2014SF04)

王艷芬(1962-)女，博士，教授，主要從事信號處理與通信方面的教學(xué)和科研工作,E-mail: lszwyf@163.com

G642.0

A

1008-0686(2017)00-0083-06