螺旋錐齒輪機床五軸聯(lián)動數(shù)學模型創(chuàng)成算法

唐進元，聶金安，王智泉

(中南大學 機電工程學院，現(xiàn)代復雜裝備設計與極端制造教育部重點實驗室，湖南 長沙，410083)

機械式螺旋錐齒輪加工機床結構復雜，調整參數(shù)繁冗，傳動鏈為機械傳動，精度等級低。五軸聯(lián)動型機床與機械型機床相比，機床體積減小，加工精度提高，可操作性增強。五軸聯(lián)動型機床采用五軸聯(lián)動來擬合機械型的搖臺運動和刀傾刀轉的運動變化，實現(xiàn)了全數(shù)控控制[1]，將復雜的加工運動通過數(shù)控軸的聯(lián)動來實現(xiàn)，提高了控制精度與加工精度。目前，有許多學者對2類螺旋錐齒輪加工機床的運動轉換關系進行了研究。Goldrich[2]提出了機械式機床與五軸聯(lián)動型機床的等效轉換思想，由于考慮到商業(yè)秘密沒有給出任何轉換公式和計算方法；Litvin等[3]隨后提出耦合2種機床坐標系使2種機床運動關系完全等效的原理，但沒有給出各軸運動方程的求解算法；張艷紅等[4]在齒面參考點進行轉換，通過高階科氏加速度方法研究了機械型向五軸聯(lián)動型機床的模型轉換問題；魏冰陽等[5]在 litvin基礎上推導了機械型向五軸聯(lián)動型機床的顯式轉換公式，但此法僅對無刀傾刀轉的直接展成法有效，基于刀傾法的機械型向五軸聯(lián)動型機床的轉換比展成法要困難得多；張威等[6]繼承文獻[4]的思想與方法，用矢量旋轉方法，通過矩陣導數(shù)理論對麥克勞林級數(shù)中的導數(shù)進行近似求解替代，近似得到刀傾法加工時各軸的運動方程。這種方法由于需要對轉換方程中的導數(shù)進行近似求解，理論上存在原理性誤差，轉換的精度受到影響。本文作者以Litvin方法為出發(fā)點，基于運動等效與位置等效原理，建立從機械型到五軸聯(lián)動型機床的數(shù)學轉換模型，得到一組五軸聯(lián)動型機床各軸的非線性運動方程；通過麥克勞林級數(shù)擬合機床各軸的非線性運動方程，在擬合過程中直接求取麥克勞林級數(shù)中的導數(shù)項，最終得到各軸運動方程的多項式形式，轉換精度可以根據(jù)多項式階次控制。

1 2類機床加工調整參數(shù)的轉換原理

在切齒過程中，假想有1個平頂齒輪與機床搖臺同心，它通過機床搖臺的轉動而與被切齒輪進行無隙嚙合。該假想平頂齒輪的輪齒表面由銑刀盤刀片切削刃相對于搖臺運動的軌跡表面所代替，在相對運動過程中，代表假想平頂齒輪輪齒的刀片切削刃就在被切齒輪的輪坯上逐漸切出齒形[7]。

一種相對運動關系是不依賴于所建立的旨在描述這種運動的參考系而存在的[8]。以相同加工原理進行的各類數(shù)控機床的螺旋錐齒輪加工運動是為了實現(xiàn)該相對運動，使刀具與輪坯以符合加工原理的運動規(guī)律來完成相對運動。

2類機床的轉換原理(即保證刀具和輪坯在任意時刻的相對位姿恒定)[9]如圖1所示。本文中保證刀盤軸線和輪坯軸線在任意時刻的夾角和固定點之間的長度矢量相等。

式中：Lpt為標架St到Sp的旋轉變換矩陣；(opot)p為輪坯軸交錯點到刀盤中心在輪坯坐標系下的矢量長度；上標C和G分別代表五軸聯(lián)動機床加工過程和機械型加工小輪的展成過程，下標p和t代表坐標系。式(1)保證了2種刀具相對于工件運動姿態(tài)相同，式(2)保證了兩者的相對位置相同。

圖1 2種類型機床的轉換原理Fig.1 Transform theory between two machines

2 機械式機床的數(shù)學模型

傳統(tǒng)搖臺機床結構如圖2所示，其調整參數(shù)十分復雜。加工坐標系如圖3所示[10]，其中：So(xo，yo，zo)為與床身固連的坐標系；Sc(xc，yc，zc)為與搖臺固連的坐標系，且原點為搖臺中心；Sp(xb，yb，zb)為與刀盤固連的坐標系；Sp(xp，yp，zp)為與工件固連的坐標系；Se(xe，ye，ze)為與工件箱固連的坐標系；Sn(xn，yn，zn)為與床鞍固連的坐標系，其原點On在So中用坐標(0，-Em，Xb)來表示；Sq(xq，yq，zq)是過渡坐標系，各個坐標軸與Sn平行，其原點Oq在Sn中用坐標(X1，0，0)來表示；Sc繞zc有1個轉角q；Sp繞xp有1個轉角φp；Se繞ye有1個轉角rm；q為角向刀位；i為總刀傾角；j為基本刀轉角；Em為垂直輪位；Sd為徑向刀位；rm為安裝根錐角；X1為水平輪位；Xb為床位；C為刀盤中心(刀盤旋轉軸與刃平面的交點)。機床調整參數(shù)為螺旋錐齒輪加工的基本參數(shù)，本文以最復雜的刀傾法加工小輪為例，具體數(shù)值見表1。

圖2 傳統(tǒng)機械式搖臺型機床及運動部件Fig.2 Conventional machines consisted of many components

圖3 機械式搖臺機床加工坐標系Fig.3 Coordinate systems for mechanical machine

由傳統(tǒng)搖臺式機床加工調整參數(shù)的計算，可以建立如下各矢量的表達式：

式中：tn為刀盤旋轉軸單位矢量，過刀盤中心C并指向刀盤外部；w為工件旋轉軸單位矢量，指向遠離錐頂方向。

由Descartes坐標變換，可得到刀盤坐標系到輪坯坐標系的變換矩陣，即可得到 (o )和L(ζ)。 t k其中：ζk代表傳統(tǒng)機床各調整參數(shù)，具體數(shù)值見表1。

3 五軸聯(lián)動機床的數(shù)學模型

五軸聯(lián)動機床用6坐標軸實現(xiàn)了齒輪加工的全部運動，機床結構如圖4(a)所示即3個平動軸(X，Y，Z)和3個轉動軸(A，B，C)，提供 6個自由度，可靈活地控制工件與刀具在空間中的位置和運動。

首先建立如圖 4(b)所示的一組坐標系[11]。Sf(Xf，Yf，Zf) 與床身Ⅴ固聯(lián)；St(xt，yt，zt)和 Sp(xt，yt，zt)分別與刀盤、工件固聯(lián)；Sh和 Sm與 Sf平行，分別與 Y方向滑臺Ⅰ和Z方向滑臺Ⅲ固聯(lián)；Sh原點oh在Sf中的位置，用坐標(x，y，0)表示，描述X和Y自由度；Sm原點 om在 Sf中的位置用坐標(0，0，z)表示，描述 Z自由度；St繞坐標軸zh轉動(即C旋轉自由度)轉角c；Se與轉臺Ⅳ固聯(lián)，繞 ym軸有一轉角 b(即 B旋轉自由度)；Sd為過渡坐標系與Se坐標軸平行，原點 od位置由 L(對應機械式搖臺機床中的水平輪位)確定；Sp繞xd軸做旋轉(即A旋轉自由度)，轉角為a。通過坐標變換即可得到 (o )和L(a,b,c)。

PHOENIX I型五軸聯(lián)動數(shù)控機床各部件的運動

圖4 PHOENIX I型五軸聯(lián)動機床加工坐標系Fig.4 Coordinate systems for PHOENIX I Machine

轉換矩陣如下：

則PHOENIX I型機床坐標系下刀盤到輪坯坐標系的轉換矩陣如下：

由于刀具到輪坯坐標系的轉換矩陣可以表示為：

則有角度旋轉變化矩陣和長度矢量為：

4 不同加工方法的五軸聯(lián)動機床運動參數(shù)的求解

由式(1)知式(4)和(8)對應各矩陣元素相等，由式(2)知式(5)和(9)對應各矩陣元素相等，可求出都是關于t的函數(shù)。

(1)當無刀傾刀轉即i=0，j=0時，得Phoenix I的運動參數(shù)如下：

(2) 當用變性法加工時，僅改變 2個量之間的比例關系，通過修正滾比，使螺旋錐齒輪的傳動誤差滿足預先設計的高階幾何傳動誤差曲線。此種情況下，僅改變φp與t之間的比例關系，將φp代入式(10)即可。

(3) 當具有刀傾刀轉角加工螺旋錐齒輪時，通過耦合2種機床坐標系求得各軸運動方程的解析解，如式(11)所示。

通過一組麥克勞林級數(shù)簡化上述表達式，如式(12)，可以求得近似的多項式表達形式，級數(shù)階次 n的選取根據(jù)所需精度確定。t=0時刻表示刀盤位于初始搖臺角位置。

5 實例分析

螺旋錐齒輪數(shù)學模型是根據(jù)嚙合理論和相對應的加工方法而建立的。從建立數(shù)學模型的角度來考慮，對于小輪采用刀傾法加工建立的齒面數(shù)學模型，可以作為大輪和小輪的通用數(shù)學模型，其他加工方法的數(shù)學模型可以看作是其特例，如將刀傾法建立的錐齒輪數(shù)學模型中刀傾斜角和刀轉角設置為0°，可看作是展成法加工大輪的數(shù)學模型；將小輪對大輪的偏置距設為 0 mm，則準雙曲面齒輪實際上就變成了弧齒錐齒輪；若大輪在這個數(shù)學模型中滾比為 0，就成了大輪成形法加工。

下面以某準雙曲面齒輪副的小輪為例，用本文方法將刀傾法調整參數(shù)轉換為五軸聯(lián)動型機床五軸運動方程。齒輪副的刀傾法調整參數(shù)見表 1，轉換后五軸聯(lián)動機床主軸方程見表2，轉換精度取10-3。

表1 輪坯設計與機床調整參數(shù)(HFT調整卡)Table 1 Parameters and installment settings of pinion (HFT)

表2 鳳凰I型數(shù)控機床加工小輪各主軸控制方程Table 2 Motions of Gleason PHOENIX I machine axes

用 θ代表刀具與工件軸矢量相對姿態(tài)(夾角)，則在傳統(tǒng)坐標系中，θ由式(3)中刀具軸與工件軸的點積求出，在鳳凰一代機床中由B軸表達式求出。夾角θ在機械型機床坐標系和鳳凰一代機床坐標系中的余弦變化曲線及其差值如圖5所示。

由圖5可以看出：θ在這2種機床坐標系下，其余弦曲線基本重合。在螺旋錐齒輪的1個加工周期內，余弦曲線的差值在 10-3以內(此時麥克勞林級數(shù)的階次n=5)，遠小于機床本身的運動誤差。

長度矢量(opot)p在1個加工周期中在2種機床坐標系下的矢量差值見圖6。由圖6可知：其數(shù)量級在10-8mm以內，轉換精度高。

通過 θ余弦曲線和不同機床坐標系中長度矢量(opot)p差值可知：簡化后的近似模型完全滿足螺旋錐齒輪的高精度加工。下面以GLEASON公司軟件計算結果為標準，對轉換精度進行進一步驗證。

利用求解得到的鳳凰I型數(shù)控機床的各主軸控制方程，根據(jù)本文提出的齒輪虛擬制造方法[12]，在虛擬制造系統(tǒng)中可以加工出1個仿真的小齒輪(見圖7)。通過GLEASON公司軟件計算出本套調整卡加工齒輪的理論齒面，按照格里森測量全齒面誤差方法[13]，選取如圖7所示的45個點，并建立近似模型與理論齒面的差曲面[14]，如圖8所示。從圖8可見：當n=5時，本文的近似模型與理論齒面在齒面法矢方向的偏差在±1.5×10-4mm以內。在實際加工中，齒面的最大法向誤差在10 μm左右，本文的轉換模型對螺旋錐齒輪的齒面修正所帶來的誤差可以忽略，因此，在螺旋錐齒輪的實際加工和齒面修正中，本文提出的轉換模型是有效的。

圖5 不同機床坐標系中θ角余弦曲線Fig.5 Transformation error of angle between two machines

圖6 不同機床坐標系中長度矢量(opot)p差值Fig.6 Transformation error of vetor between two machines

圖7 虛擬制造小輪與理論點的比較Fig.7 Flank topographic deviations derived by comparing theoretical teeth-surface and virus manufacturing pinion

圖8 全齒面法向誤差分析Fig.8 Flank form errors analysis

6 結論

(1) 通過麥克勞林級數(shù)擬合機床各軸的非線性運動方程，在擬合過程中直接求取麥克勞林級數(shù)中的導數(shù)項，最終得到各軸運動方程的多項式形式。轉換精度可以根據(jù)多項式階次控制。所提出的方法避免了現(xiàn)有方法存在的原理性誤差。

(2) 給出從機械式搖臺機床求解到五軸聯(lián)動數(shù)控機床的五軸聯(lián)動控制模型生成方法。該方法具有精度高、可操作性強的特點。通過實例計算分析，驗證了所給出方法的可行性與正確性，為螺旋錐齒輪數(shù)字化制造提供了基礎技術。

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