任意四邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)計(jì)算

鄺向軍， 賈連寶

(西南科技大學(xué)理學(xué)院， 四川綿陽(yáng)621010)

任意四邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)計(jì)算

鄺向軍， 賈連寶

(西南科技大學(xué)理學(xué)院， 四川綿陽(yáng)621010)

由位于坐標(biāo)軸上的均勻帶電直線電勢(shì)表達(dá)式出發(fā)，給出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時(shí)的電勢(shì)表達(dá)式，然后，利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度的關(guān)系，導(dǎo)出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度坐標(biāo)分量表達(dá)式。只需將各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)地代入表達(dá)式，采取分段計(jì)算然后疊加的方法，原則上可以計(jì)算任意多邊形均勻帶電線的電勢(shì)和電場(chǎng)。實(shí)例計(jì)算任意四邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)，并討論了矩形、正方形及其中心軸線上的特殊情況。給出了一個(gè)計(jì)算任意多邊形均勻帶電線的普遍方法，具有良好的普適性。所得到的電勢(shì)分布和電場(chǎng)分布都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，具體、準(zhǔn)確，便于在工程技術(shù)中應(yīng)用。

任意四邊形均勻帶電線；分段計(jì)算；空間電勢(shì)；空間電場(chǎng)

引言

一定形狀的均勻帶電線的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)計(jì)算是電磁學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題，在各種不同的均勻帶電線中，具有軸對(duì)稱性的圓形帶電線分布以及與其相關(guān)帶電體的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算研究得比較多[1-9]。矩形和正方形均勻帶電線的電勢(shì)和電場(chǎng)也有研究[10-11]。而對(duì)于對(duì)稱性不高的任意多邊形帶電線，由于其電勢(shì)和電場(chǎng)的計(jì)算非常復(fù)雜，則研究得非常少[12-13]。雖然已經(jīng)對(duì)任意三角形帶電線的空間電勢(shì)和電場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算[12]，但是，該方法不具有普適性。本文從位于坐標(biāo)軸上的均勻帶電直線的電勢(shì)表達(dá)式出發(fā)[14]，給出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時(shí)的電勢(shì)表達(dá)式，進(jìn)而導(dǎo)出了它的電場(chǎng)強(qiáng)度坐標(biāo)分量表達(dá)式。只需將各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)地代入該表達(dá)式，采取分段計(jì)算然后疊加的方法，原則上就可以計(jì)算任意多邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)和電場(chǎng)，具有良好的普適性。實(shí)例計(jì)算任意四邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)，并討論了矩形、正方形及其中心軸線上的特殊情況。

1任意位置均勻帶電直線的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)

一均勻帶電直線，電荷線密度為λ，長(zhǎng)為2l。取帶電直線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的平面坐標(biāo)系oxy，取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)位置，則該帶電直線上的dx′在任意場(chǎng)點(diǎn)P(x,y)產(chǎn)生的電勢(shì)為：

(1)

該均勻帶電直線在P(x,y)產(chǎn)生的電勢(shì)為[14]：

(2)

圖1有限長(zhǎng)均勻帶電直線的電勢(shì)

計(jì)算由均勻帶電直線組成的帶電體的電場(chǎng)時(shí)，均勻帶電直線未必正好在坐標(biāo)軸上，因此，需要得到均勻帶電直線在空間任意位置時(shí)的電勢(shì)表達(dá)式和電場(chǎng)表達(dá)式。如圖2所示，不失一般性，設(shè)均勻帶電直線AB位于oxy平面內(nèi)，兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1,0)和B(x2,y2,0)，場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y,z)，顯然有

圖2有限長(zhǎng)帶電直線電場(chǎng)的分量表達(dá)式

代入(2)式，有：

(3)

根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度的關(guān)系，可得到在空間任意位置時(shí)的均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度坐標(biāo)分量表達(dá)式分別為：

(4)

(5)

(6)

2任意四邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)

如圖3所示，不失一般性，以任意四邊形均勻帶電線所在的平面為oxy平面，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(l1,l2,0)、B(l3,l4,0)、C(l5,l6,0)和D(l7,l8,0)，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y,z)，電荷線密度為λ。對(duì)AB、BC、CD和DA四條邊，分別有：

圖3均勻帶電任意四邊形線框的電勢(shì)和電場(chǎng)

相應(yīng)地代入(3)式后，可得任意四邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)為：

(7)

代入式(4)、式(5)和式(6)，可得任意四邊形均勻帶電線的電場(chǎng)為：

(8)

(9)

(10)

3討論

對(duì)于長(zhǎng)為2l1、寬為2l2矩形線框，l3=l5=-l1，l6=l8=-l2，l4=l2，l7=l1，此時(shí)有：

代入(7)式可得矩形均勻帶電線的空間電勢(shì)為：

(11)

代入式(8)、式(9)和式(10)則可得矩形均勻帶電線的電場(chǎng)為：

(12)

(13)

(14)

若場(chǎng)點(diǎn)P恰好在中心軸線上，則再令x=y=0，可得矩形線框中心軸線上的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為：

(15)

EPx=0，

(16)

在上述矩形線框結(jié)果的基礎(chǔ)上，再令l1=l2=l，就可得到均勻帶電正方形線框的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)分布表達(dá)式。若場(chǎng)點(diǎn)P在正方形線框的中心軸線上，則有：

(17)

EPx=0，

(18)

4結(jié)束語(yǔ)

本文從位于坐標(biāo)軸上的均勻帶電直線的電勢(shì)表達(dá)式出發(fā)，給出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時(shí)的電勢(shì)表達(dá)式，進(jìn)而利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度的關(guān)系，導(dǎo)出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度坐標(biāo)分量表達(dá)式。只需將各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)地代入該表達(dá)式，采取分段計(jì)算然后疊加的方法，原則上利用此表達(dá)式可以計(jì)算任意多邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)和電場(chǎng)，提供了一個(gè)計(jì)算任意多邊形均勻帶電線的普遍方法，具有良好的普適性。實(shí)例計(jì)算任意四邊形均勻帶電線的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)，并討論了矩形、正方形及其中心軸線上的特殊情況。

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Electric Potential and Electric Field Calculations onArbitrarily Quadrilateral Uniformly Charged Coil

KUANGXiangjun,JIALianbao

(School of Science, Southwest University of Science and Technology, Mianyang 621002, China)

Using the expression of electric potential distribution for uniformly charged wire, the electric potential distribution expression for uniformly charged wire at arbitrarily space position is derived. Then, using the relation between electric potential gradient and electric field, the electric field intensity coordinate component expression for uniformly charged wire at arbitrarily space position is gotten. Introducing each vertex coordinates into the above expression accordingly, adopting the method of piecewise calculation and overlay, the electric potential and electric field of arbitrary polygon charge wire can be calculated in principle. As an example, the electric potential and electric field of arbitrarily quadrilateral charged coil are calculated, and the special cases for uniformly rectangular and square charged coil are discussed. A common method for calculating arbitrary polygon charged wire is presented which has good universality. The results of electric potential and electric field distribution is a function of spatial coordinates. It is specific, accurate, and convenient for application in engineering.

arbitrarily quadrilateral uniformly charged coil; subsection calculation; electric potential distribution; electric field distribution

2017-03-19

國(guó)家自然科學(xué)基金(11505144)

鄺向軍(1967-)，湖南永州人，教授，博士，主要從事凝聚態(tài)物理方面的研究，(E-mail)kuangxiangjun@163.com

1673-1549(2017)03-0079-06

10.11863/j.suse.2017.03.16

O441

A