一道中考填空壓軸題的解疑答惑之路

于彬+張俊連

1試題呈現(xiàn)

如圖1，在等邊△ABC中，AB=4，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N，則線段MN長(zhǎng)的取值范圍是.（2016年三明市）

2學(xué)生訪談

筆者在學(xué)校組織的一次畢業(yè)班水平模擬考試中選擇此題（2016年三明市中考數(shù)學(xué)試題填空題最后一題）作為填空題的一道壓軸題（填空題的倒數(shù)第二題），學(xué)生出錯(cuò)率極高，基本沒(méi)有正確的.為了真實(shí)了解學(xué)生在考場(chǎng)上的所思所想，特別是解決此題的疑惑點(diǎn)在哪里，筆者組織了不同層次水平的學(xué)生進(jìn)行了初步了解.

學(xué)生1（水平偏下）：老師，這個(gè)題目的題意非常好理解，但是就是不知道如何下手.

學(xué)生2（水平居中）：在考場(chǎng)上，我連接了對(duì)稱點(diǎn)（即連接PM、PN），試圖將MN放在△PMN中解決，可是發(fā)現(xiàn)條件太少，不能解決.

學(xué)生3（水平居中）：我也想到了學(xué)生2的方法，我看出了∠MPN=120°，接下來(lái)就不知道怎么做了……

學(xué)生4（水平居上）：這個(gè)題目的題干簡(jiǎn)潔，圖形簡(jiǎn)單，這種題目往往入手比較難，需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)對(duì)稱以后有沒(méi)有形成新的圖形，在分析過(guò)程中我發(fā)現(xiàn)了“三角形中位線”的基本圖形，可是分析到這里，也就走不下去了.

學(xué)生5（水平居上，這是班里唯一一個(gè)得出正確答案的同學(xué)）：老師，我憑感覺得到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B或C重合時(shí)，線段MN取到最大值；當(dāng)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，線段MN取到最小值，至于為什么，我還真說(shuō)不清楚.

通過(guò)上面與學(xué)生的訪談可以看出學(xué)生都能夠看懂題意，大多數(shù)學(xué)生都有一定的解題思路，學(xué)生的疑惑主要集中在不能夠?qū)⒕€段MN放在特殊的圖形中去解決，即使有的同學(xué)能夠想到（學(xué)生4），接下來(lái)也不知道如何將MN表示出來(lái)，問(wèn)題就此擱淺.

3課堂講解

在課前和學(xué)生訪談的基礎(chǔ)上可以看出學(xué)生主要是在問(wèn)題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)卡殼，不能發(fā)現(xiàn)“隱含”條件，因此需要教師設(shè)計(jì)一定的“腳手架”問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生突破問(wèn)題解決過(guò)程中的疑惑點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，為了更好地解疑答惑，設(shè)計(jì)了如下講解思路.

第一種思路：發(fā)現(xiàn)圖中“隱含”的等腰三角形

問(wèn)題1：你能根據(jù)圖形特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圖形中的等腰三角形嗎？（通過(guò)此問(wèn)題的引導(dǎo)，大多數(shù)學(xué)生都能夠根據(jù)“對(duì)稱”的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)圖形中的兩個(gè)等腰三角形：△BMP和△CNP）

問(wèn)題2：在△MPN中如何將線段MN表示出來(lái)？關(guān)于△MPN你都知道了什么？（用未知數(shù)x表示出了兩條邊PM和PN，而且知道∠MPN=120°）

問(wèn)題3：通過(guò)上面的分析可以看出△MPN不是特殊的三角形，應(yīng)該怎么辦？（下面其實(shí)就是解斜三角形的相關(guān)內(nèi)容了，由于學(xué)生在初中階段不要求掌握，需要“化斜為直”，這在解直角三角形中經(jīng)常出現(xiàn)，當(dāng)然此時(shí)需要出現(xiàn)特殊角）

筆者習(xí)慣于在開展壓軸題教學(xué)之前先進(jìn)行學(xué)生訪談，一是通過(guò)訪談可以了解學(xué)生的疑惑在哪里？學(xué)生卡殼的地方在哪里？上述課堂講解中的方法1和方法3是筆者預(yù)設(shè)的兩種解法，特別是方法1正是對(duì)學(xué)生2和學(xué)生3的一種回應(yīng)；另外，通過(guò)訪談也可以開闊教師的思路，達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的目的.方法2是受學(xué)生4的啟發(fā)而產(chǎn)生的，特別是方法4更是在學(xué)生4說(shuō)的“三角形中位線”的基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考產(chǎn)生的，當(dāng)然這需要教師具備一定的知識(shí)積累.方法5可以看作是對(duì)學(xué)生5的回應(yīng)，就筆者而言方法5的產(chǎn)生可以說(shuō)是來(lái)自于“靈感”，但更準(zhǔn)確的說(shuō)應(yīng)該是對(duì)圖形關(guān)系進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)上得到的.

此外，筆者在解題教學(xué)中不提倡搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，而是應(yīng)該通過(guò)一題多解、多解歸一、一題多變、多變歸一來(lái)拓展學(xué)生的視野，不斷提高其解題能力.

至此，一道中考填空壓軸題的解疑答惑之路結(jié)束了，當(dāng)然整個(gè)過(guò)程不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，歡迎各位專家和同行批評(píng)指正.