把心中的數(shù)學(xué)畫(huà)出來(lái)

陳昱

什么是“數(shù)學(xué)畫(huà)”？簡(jiǎn)而言之，即兒童運(yùn)用直觀之“形”表征抽象之“數(shù)”，從而幫助理解數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，其立足點(diǎn)是兒童認(rèn)知特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)。所以說(shuō)，“數(shù)學(xué)畫(huà)”教學(xué)既有兒童趣味，又深蘊(yùn)數(shù)學(xué)真味，是引導(dǎo)兒童認(rèn)知逐漸“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。

一、“數(shù)學(xué)畫(huà)”的形態(tài)

1.畫(huà)數(shù)學(xué)，促進(jìn)概念理解。

（1）畫(huà)“數(shù)”。在第一學(xué)期起步階段，教師只是要求孩子“畫(huà)出心目中的數(shù)學(xué)”，比如：學(xué)習(xí)了自然數(shù)的認(rèn)識(shí)，孩子回家畫(huà)出自己心目中的“數(shù)”。從孩子們的畫(huà)作看，只有個(gè)別孩子表現(xiàn)的是“數(shù)像什么”（如圖1），或者將數(shù)字?jǐn)M人化（如圖2），大多數(shù)孩子都畫(huà)出了“數(shù)是什么”（如圖3），少數(shù)用同一幅畫(huà)既表示出“數(shù)像什么”又表示出“數(shù)是什么”（如圖4）。有一個(gè)孩子一口氣畫(huà)出6種不同場(chǎng)景表示“0”，既有“1個(gè)也沒(méi)有”、也有“起點(diǎn)”的含義，生動(dòng)活潑，極富想象力和童趣（如圖5）。

（2）畫(huà)“生活中的數(shù)學(xué)”。國(guó)慶節(jié)假期孩子們觀察生活，畫(huà)出“生活中的數(shù)學(xué)”，很有意思，每幅畫(huà)都是兒童視角下的多彩數(shù)學(xué)（如圖6、圖7）。

（3）畫(huà)加減法。后來(lái)，孩子們逐漸學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)含義，畫(huà)加減法的算式意義。在不斷進(jìn)步的同時(shí)，他們漸漸形成了自己的“數(shù)學(xué)畫(huà)”風(fēng)格，這可以從畫(huà)連加、連減的畫(huà)作對(duì)比中清楚分辨（如圖8、圖9）。

2.畫(huà)思路，輔助問(wèn)題解決。到了一年級(jí)下學(xué)期，孩子們已經(jīng)會(huì)用“數(shù)學(xué)畫(huà)”輔助解決一些思考題，也就是畫(huà)出問(wèn)題的思路。我們深刻感受到，“數(shù)學(xué)畫(huà)”不僅因其形象直觀、富有童趣而被孩子們廣泛喜愛(ài)和接受，更重要的是通過(guò)數(shù)形結(jié)合，特別是幾何直觀，將比較復(fù)雜、困難的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、容易，能夠培養(yǎng)學(xué)生有序思考、大膽猜想、勇于嘗試、逐步抽象等能力，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維拐杖。

（1）送給小明多少支彩筆？

（2）這幢樓一共有幾層？

二、“數(shù)學(xué)畫(huà)”的特點(diǎn)

1.“數(shù)學(xué)畫(huà)”回歸兒童視角。

心理學(xué)研究表明，7～8歲是兒童概念性工具發(fā)展的一個(gè)決定性轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這個(gè)階段兒童的運(yùn)演已經(jīng)不再受自我中心和中心化的影響，逐漸具有可逆性、守恒性以及依賴(lài)于實(shí)物的整體性，處于這一階段的兒童很難回答“a比b長(zhǎng)，b比c長(zhǎng)，誰(shuí)最長(zhǎng)？誰(shuí)最短？”的問(wèn)題，但借助實(shí)物就可以回答。我們?cè)趯?shí)踐中發(fā)現(xiàn)，圖畫(huà)可以達(dá)到實(shí)物同樣的效果?！皵?shù)學(xué)畫(huà)”教學(xué)契合了低年級(jí)兒童認(rèn)知規(guī)律，讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)回歸兒童視角，更有利于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

發(fā)現(xiàn)兒童是教育的前提，是教育成功的密碼，也是教師的最高境界，“課程的方式應(yīng)該是兒童的生活方式。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該回歸兒童視角，鼓勵(lì)兒童用自己喜歡的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。兒童是天生的畫(huà)家，幾乎每個(gè)孩子都喜歡涂鴉，當(dāng)他們用動(dòng)物、植物、人物、景物乃至簡(jiǎn)單的圖形、符號(hào)等這些自己熟悉的形象表達(dá)自己所理解的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，他們的心情是愉悅的，思想是自由的。

孩子們創(chuàng)作的一幅幅數(shù)學(xué)畫(huà)滿蘊(yùn)濃濃的兒童趣味：在兒童眼中，數(shù)學(xué)不是灰色的、枯燥的，而是彩色的、有趣的；數(shù)學(xué)不是冰冷的、生硬的，而是溫暖的、豐潤(rùn)的。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)只有回歸兒童視角才能走向高效。

2.“數(shù)學(xué)畫(huà)”尊重個(gè)性差異。

我們認(rèn)識(shí)并充分尊重兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的差異性，允許他們?cè)诟髯缘膶W(xué)習(xí)基礎(chǔ)上、從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)、采用自己擅長(zhǎng)的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、表現(xiàn)數(shù)學(xué)、解決問(wèn)題，尤其強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考，并在自我反思和同伴交流中不斷進(jìn)步。下面以“豆豆在哪兒”為例具體說(shuō)明：

（1）尊重學(xué)生思維的層次性差異。針對(duì)配套練習(xí)冊(cè)問(wèn)題：27個(gè)小朋友排成一排，豆豆排在正中間的位置，從左往右數(shù)，豆豆排第（ ）；從右往左數(shù)，豆豆排第（ ）。每位學(xué)生都能通過(guò)“數(shù)學(xué)畫(huà)”解決問(wèn)題，作品呈現(xiàn)出多種思維層次，大體可分成兩大類(lèi)：（1）將27個(gè)人（也有用毛毛蟲(chóng)、蘋(píng)果等代替）一個(gè)一個(gè)全部畫(huà)出來(lái)的；（2）只畫(huà)出部分人的。

第1類(lèi)也分為不同的層次：①僅僅畫(huà)出27個(gè)并指出豆豆位置的；②標(biāo)有相關(guān)數(shù)字和箭頭等符號(hào)表明思路的；③圖文并茂，專(zhuān)門(mén)用文字和算式說(shuō)明思路的。

第2類(lèi)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思考更加豐富和有價(jià)值，反映的數(shù)學(xué)思維更有品質(zhì)。表面上看，好像不如第1類(lèi)完整美觀，但只要問(wèn)問(wèn)小作者是怎么想的，立馬令人驚喜！

生1：我畫(huà)了7個(gè)后不夠畫(huà)了，我不想重畫(huà)，就想啊想，還剩20人，心里知道每邊站10人，所以豆豆在從左往右第14個(gè)，從右往左也是第14個(gè)。（如圖14）

生2：因?yàn)?7太多了，畫(huà)不下。我想，27里有20和7，20是雙數(shù)，很好分；7是單數(shù)，不好分；只要把7分好就行了?。ㄈ鐖D15）

生3：27人太多了，畫(huà)不下，我就畫(huà)個(gè)長(zhǎng)方形表示10人，兩邊就是20人，剩下的一邊一個(gè)分21、22、23、24、25、26，正好分完，最后第27個(gè)不能分，放在中間，就是豆豆。（如圖16）

（2）尊重學(xué)生思維的形象性差異。低年級(jí)兒童在用“數(shù)學(xué)畫(huà)”解決問(wèn)題過(guò)程中，啟動(dòng)其形象思維，會(huì)根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)和喜好賦予數(shù)學(xué)抽象以個(gè)性化的直觀形象，讓兒童的數(shù)學(xué)思考附著在具體物象上，幫助兒童理順問(wèn)題的內(nèi)在關(guān)系，解決問(wèn)題。所以同樣的問(wèn)題，甚至同樣的思維層次，展現(xiàn)的形象卻各不相同。有人物、蘋(píng)果、籃球、毛毛蟲(chóng)等，也有簡(jiǎn)化小人、幾何圖形等，形象各異。

3.“數(shù)學(xué)畫(huà)”鼓勵(lì)想象和創(chuàng)新。

創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程中。古希臘哲學(xué)家亞里士多德認(rèn)為：想象力是發(fā)明、發(fā)現(xiàn)及其他創(chuàng)造活動(dòng)的源泉；中國(guó)學(xué)者吳克楊說(shuō)：想象力不是生來(lái)就有的先天素質(zhì)，而是后天開(kāi)拓的結(jié)果，它是完全能夠培養(yǎng)的一種能力?！皵?shù)學(xué)畫(huà)”教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)新意識(shí)。

（1）先想后畫(huà)——留給兒童自由想象的空間。“數(shù)學(xué)畫(huà)”落筆之前需要思考，所以一直多以家庭作業(yè)方式出現(xiàn)，而且不設(shè)限制，鼓勵(lì)孩子“想怎么畫(huà)就怎么畫(huà)”，只需圍繞主題（某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)問(wèn)題）即可，留給孩子充分的思考時(shí)間和想象空間。思考的自由避免了思維的束縛，激發(fā)了想象的力量，為孩子們的創(chuàng)造打開(kāi)大門(mén)。

（2）邊想邊畫(huà)——引導(dǎo)兒童借助圖畫(huà)輔助思考。對(duì)兒童而言，“數(shù)”是抽象的、難以理解和把握的；“形”是直觀的、容易理解和探索的。數(shù)形結(jié)合的畫(huà)圖策略既可以幫助兒童理解數(shù)學(xué)概念，又可以輔助兒童分析數(shù)量關(guān)系、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

在畫(huà)圖分析的過(guò)程中，幾何直觀發(fā)揮巨大作用，形象直觀的“形”能有效促使兒童思考和發(fā)現(xiàn)，找到創(chuàng)造性思維的生發(fā)點(diǎn)，給予他們無(wú)窮的啟示。兒童就在這樣邊想邊畫(huà)、邊畫(huà)邊想中體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、尋得問(wèn)題的解決方法。

（3）畫(huà)過(guò)再想——教會(huì)兒童提升數(shù)學(xué)思維。

教學(xué)實(shí)踐表明，對(duì)某一知識(shí)和問(wèn)題的反思整理有助于兒童從整體上把握分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，從而有機(jī)會(huì)超越方法產(chǎn)生策略，感悟數(shù)學(xué)思想，提升創(chuàng)造能力；而欣賞和評(píng)價(jià)同伴作品則能給予兒童很好的啟發(fā)，促使其優(yōu)化思考?！皵?shù)學(xué)畫(huà)”展評(píng)便具有這樣的作用：①在推介畫(huà)作中整理思路、完整表達(dá)，使思路和理解更清晰更深入。②在欣賞評(píng)價(jià)他人畫(huà)作中反思借鑒，使思考更全面更優(yōu)化。③在改進(jìn)畫(huà)作中體會(huì)進(jìn)步，使思考更積極更愉悅。

“數(shù)學(xué)畫(huà)”溝通抽象與具象，打通已知與未知，連接生活與數(shù)學(xué)，鼓勵(lì)和培養(yǎng)兒童的創(chuàng)造性思維，兒童在“數(shù)學(xué)畫(huà)”教學(xué)過(guò)程中不斷增進(jìn)多種能力，最終使創(chuàng)新成為可能。

“數(shù)學(xué)畫(huà)”中絢麗的色彩、變化的形象都是兒童豐富想象力的表現(xiàn)，教師并沒(méi)有因其“失真”或不夠數(shù)學(xué)化而加以批評(píng)，代之以尊重基礎(chǔ)上的引導(dǎo)，增進(jìn)數(shù)學(xué)思維的同時(shí)盡可能滿足兒童的心理需求。

三、“數(shù)學(xué)畫(huà)”的課堂展評(píng)

作為數(shù)學(xué)實(shí)踐作業(yè)，“數(shù)學(xué)畫(huà)”的課堂展評(píng)很重要。以第一種形態(tài)的“數(shù)學(xué)畫(huà)”為例，“畫(huà)數(shù)學(xué)”只是手段和方式，目的是促使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)、準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念。這樣的教學(xué)目標(biāo)除了有賴(lài)于學(xué)生課堂上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，有賴(lài)于課后在理解數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造，還要靠“數(shù)學(xué)畫(huà)”展評(píng)課來(lái)引導(dǎo)和落實(shí)。

“數(shù)學(xué)畫(huà)”展評(píng)課的大體流程是：（1）教師選擇典型“數(shù)學(xué)畫(huà)”課堂分層交流；（2）小作者推介畫(huà)作；（3）學(xué)生提問(wèn)和評(píng)議，教師點(diǎn)撥和引導(dǎo)，小作者回答和改進(jìn)。具體來(lái)說(shuō)，“數(shù)學(xué)畫(huà)”展評(píng)課要做好三件事：

1.分享“我畫(huà)的是什么，為什么這么畫(huà)？”

在“數(shù)學(xué)畫(huà)”的課堂展示中，首先請(qǐng)作者說(shuō)說(shuō)“我畫(huà)的是什么，為什么這么畫(huà)”，從而了解作者對(duì)于所畫(huà)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解情況，教師可以有針對(duì)性地加以提問(wèn)和引導(dǎo)，力求突破學(xué)生的認(rèn)識(shí)困難，掃清學(xué)習(xí)障礙，深化概念理解。

有些畫(huà)作，只有聽(tīng)了作者的解說(shuō)，我們才能看懂。比如圖17，這是一位小男孩的作品，畫(huà)的是他和爸爸在洗澡，老師問(wèn)：“畫(huà)得不錯(cuò)，可是這里有數(shù)學(xué)嗎？”男孩立即高聲答道：“有數(shù)學(xué)呀！老師，你知不知道我爸爸是怎么洗澡的？”老師捂嘴笑：“那我哪知道啊！”小男孩也得意地笑：“我爸爸可牛了！每次洗澡都帶我做‘洗澡操——1、2、3、4，2、2、3、4……”邊說(shuō)邊比畫(huà)著搓澡動(dòng)作……不用我多說(shuō)了，孩子們眼中的數(shù)學(xué)是多么鮮活、多么有趣??！

有的畫(huà)作包含著小作者沒(méi)有意識(shí)到的數(shù)學(xué)含義，需要老師點(diǎn)撥。如圖18，小作者只提及樓房按照從高到矮可以排出第1～第5，老師可以順勢(shì)追問(wèn)：“你是從高到矮排的，還可以怎么排？”“除了按高矮排，還可以按什么排？”啟發(fā)學(xué)生靈活思考：還可以從矮到高排序，也可以按照從左到右或從右到左的位置順序排序等。

有的畫(huà)作容易引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的誤解，需要老師“反例正用”。如圖19，小作者解說(shuō)中序數(shù)第1～第5（花瓶從左往右順序）正好對(duì)應(yīng)著基數(shù)1～5（花瓶中花兒的朵數(shù)），容易造成思維定式，老師可以作如下處理：

（1）追問(wèn)：那從右往左數(shù)，第1～5分別在哪？

（2）拿掉其中第4個(gè)花瓶里的1朵花，問(wèn)：從左往右數(shù)它還在第4個(gè)嗎？為什么？

（3）打亂花瓶的位置，比如將一開(kāi)始第2瓶花移到最后，問(wèn)：現(xiàn)在它排第幾？

（4）小組討論：剛才按位置排序，插2朵花的花瓶有可能在第2，有可能不在第2；如果要使插2朵花的花瓶不論怎么數(shù)都是第2個(gè)，應(yīng)該按什么排？（按花的數(shù)量從少到多排）

2欣賞“他畫(huà)的是什么，可不可以這么畫(huà)？”

同樣的數(shù)學(xué)知識(shí)，不同學(xué)生理解不同、表達(dá)也不同。相互交流作品，多元表征，利于學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念。

數(shù)字“0”，甲同學(xué)：1杯果汁喝完，是0杯；乙同學(xué)：2只小鳥(niǎo)從樹(shù)上飛走，是0只；丙同學(xué)：5個(gè)蘋(píng)果全部落下，樹(shù)上是0個(gè)蘋(píng)果……讓學(xué)生思考：“他畫(huà)的是什么？可不可以這么畫(huà)？”讓學(xué)生認(rèn)識(shí)：原來(lái)0還可以這樣畫(huà)！

學(xué)生間互動(dòng)分享，可以相互補(bǔ)充、相互啟發(fā)。如在展評(píng)課上，為了引導(dǎo)孩子們?cè)鲞M(jìn)概念理解和數(shù)學(xué)思考，我和孩子們展開(kāi)互動(dòng)：

師（問(wèn)圖20的小作者）：你的畫(huà)里有第1～5嗎？在哪呢？看不懂哦！

還沒(méi)等他回答，同桌站起來(lái)了：我知道！房頂有5層，我來(lái)指給你們看?。ㄗ愿鎶^勇地上臺(tái)，從上向下一路指）第1、第2、第3、第4、第5。

小作者笑了：可是我畫(huà)的是從底下往上面第1～5層。（臺(tái)上的立馬尷尬）

師：那他指錯(cuò)了？這樣數(shù)出第1～5行嗎？（短暫的沉默）

小作者：也行！從下往上數(shù)和從上往下數(shù)出來(lái)的不一樣。

師：你上來(lái)指一指、數(shù)一數(shù)吧！

同桌：我倆有一個(gè)是一樣的?。ū娙嗣曰螅?/p>

師：哪一個(gè)你倆一樣？

同桌：第3層的中間這里。（掌聲）

3.反思“還可以怎么畫(huà)，它到底表示什么意思？”

還以0為例，追問(wèn)：“0還可以怎么畫(huà)？這樣畫(huà)下去能畫(huà)多少？”“為什么不同的圖畫(huà)表示的都是0？它們有什么共同點(diǎn)？”引導(dǎo)學(xué)生在之前學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步觀察、比較、反思、概括，得出：0表示1個(gè)也沒(méi)有（還表示起點(diǎn)）。從而從具體情境中抽象出數(shù)0。如此，學(xué)生頭腦中才真正建立起0的概念，而不是停留在“0像鴨蛋圓又圓”的“認(rèn)0”和“寫(xiě)0”層面。像這樣借助形象直觀的圖畫(huà)輔助學(xué)生進(jìn)行概括，符合兒童心理學(xué)相關(guān)理論。

臺(tái)灣名師吳如皓說(shuō)：“曾經(jīng)有人問(wèn)一個(gè)科學(xué)家，如何保持熱情？科學(xué)家回答：一是數(shù)學(xué)，二是數(shù)學(xué)，三還是數(shù)學(xué)。而我曾問(wèn)學(xué)生最痛恨的學(xué)科是什么？學(xué)生回答：一是數(shù)學(xué)，二是數(shù)學(xué)，三還是數(shù)學(xué)?！蓖瑯邮菙?shù)學(xué)，為什么給科學(xué)家與學(xué)生的感受有如此大的反差？央視主持人崔永元曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)是噩夢(mèng)?！本W(wǎng)上調(diào)查，竟有超七成網(wǎng)友支持?jǐn)?shù)學(xué)退出高考……這些現(xiàn)象難道還不能促使我們好好反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)嗎？就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，基于兒童的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，既有兒童趣味又有數(shù)學(xué)味的教學(xué)才是受學(xué)生歡迎的，才是可持續(xù)的?！皵?shù)學(xué)畫(huà)”教學(xué)正是基于以上考慮的新嘗試。

責(zé)任編輯：徐新亮