重視導(dǎo)數(shù)題的審題減少思維定勢(shì)

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200) 殷春華

重視導(dǎo)數(shù)題的審題減少思維定勢(shì)

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200)
殷春華

導(dǎo)數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，經(jīng)過(guò)高三幾輪復(fù)習(xí)，教師與學(xué)生都非常重視.很多學(xué)生慢慢形成思維定式，因而失去對(duì)導(dǎo)數(shù)題應(yīng)有的思考.拿到函數(shù)題，學(xué)生就會(huì)一味的求導(dǎo)，有時(shí)反而失去簡(jiǎn)單的思路.下面僅從兩個(gè)函數(shù)問(wèn)題著手，分析審題、注重轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題.希望能讓遇到導(dǎo)數(shù)題就求導(dǎo)的學(xué)生，有所感悟.

例1 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-x+1.

(1)若xf′(x)≤x2+ax+1對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：(x-1)f(x)≥0.

此處，解得函數(shù)y=lnx-x的最大值為-1.由最大值的定義可知lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0.

如果直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)不易處理，應(yīng)該分析題意，認(rèn)真審題，換位思考，要證明不等式(x-1)f(x)≥0，只需證明x-1與f(x)的符號(hào)相同.由函數(shù)f(x)的定義域可知x>0.所以，只需對(duì)x與1進(jìn)行討論.

法一：①當(dāng)0

②當(dāng)x=1時(shí)，顯然(x-1)f(x)=0；

綜上，不等式(x-1)f(x)≥0成立.

法二：①當(dāng)0

②當(dāng)x=1時(shí)，顯然(x-1)f(x)=0；

綜上,不等式(x-1)f(x)≥0成立.

評(píng)析：法二利用(1)中解題過(guò)程中的結(jié)論，避開(kāi)二次求導(dǎo)，使得問(wèn)題容易解決.因此，在具體解題時(shí)，不能固于定式，要認(rèn)真觀察，有時(shí)題目中的(1)(2)是相互聯(lián)系的，因而有時(shí)用(1)的結(jié)論解也許思路更簡(jiǎn)單.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若對(duì)?x>0，均有ax(2-lnx)≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)是一個(gè)恒成立問(wèn)題，首先想到的是求函數(shù)g(x)=ax(2-lnx)在區(qū)間(0,+∞)的最大值.但求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，無(wú)法順利求出函數(shù)g(x)的最大值，因而解題受阻.

法二：利用本題第一小題的結(jié)論解題