基于旋轉(zhuǎn)變換的灰值形態(tài)算子

段 汕，樊金東

(1中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2上海酷屏信息技術(shù)有限公司，上海200080)

基于旋轉(zhuǎn)變換的灰值形態(tài)算子

段 汕1，樊金東2

(1中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2上?？崞列畔⒓夹g(shù)有限公司，上海200080)

在二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子研究的基礎(chǔ)上，研究了基于旋轉(zhuǎn)變換的灰值形態(tài)算子的相關(guān)理論及方法，通過引入本影集合上的點(diǎn)積運(yùn)算和灰值旋轉(zhuǎn)變換等方法，將本影變換與表面算子應(yīng)用于構(gòu)建灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子，提出并建立了基于空間旋轉(zhuǎn)變換的灰值腐蝕、膨脹及開、閉算子，論證了一系列重要的性質(zhì)，這些結(jié)論充實(shí)了基于旋轉(zhuǎn)變換的形態(tài)學(xué)理論．

灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子；本影變換；表面算子; 二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子

Serra的形態(tài)學(xué)理論[1]建立在空間平移變換的基礎(chǔ)之上，平移形態(tài)算子通過平移變換實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)對(duì)象幾何結(jié)構(gòu)的探測(cè)過程．另一種常用的空間移動(dòng)方式是旋轉(zhuǎn)變換，在文獻(xiàn)[2]中Heijmans提出了以旋轉(zhuǎn)變換替代平移變換建立二值腐蝕、膨脹的思想．文獻(xiàn)[3]對(duì)此進(jìn)行了詳細(xì)的研究，建立了二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子的相關(guān)理論．所有推證結(jié)果表明，在除去原點(diǎn)的空間中，二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子與二值平移形態(tài)算子具有相似的性質(zhì)．本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了基于旋轉(zhuǎn)變換的灰值形態(tài)算子的相關(guān)理論及方法，通過引入本影集合上的點(diǎn)積運(yùn)算和灰值形態(tài)旋轉(zhuǎn)變換等方法，將本影變換與表面算子應(yīng)用于構(gòu)建灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子，提出并建立了基于空間旋轉(zhuǎn)變換的灰值腐蝕、膨脹及開、閉算子，論證了一系列重要的性質(zhì)，充實(shí)了基于旋轉(zhuǎn)變換的形態(tài)學(xué)理論．研究結(jié)果表明：旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子與平移形態(tài)算子具有諸多類似的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)[4-8]，這一結(jié)果與Heijmans的T不變算子理論是一致的．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)En=Rn{0}表示連續(xù)n維歐式空間剔除原點(diǎn)的集合．灰值圖像y=f(x)，x∈En其像素點(diǎn)x用極坐標(biāo)(r,θ)描述，f定義域D[f]?En，(x,f)∈En+1，灰值圖像f的全體構(gòu)成的集合記為F．灰值圖像集合F中的序關(guān)系可按以下方式給出[2]：如果g和f的定義域滿足條件D[g]?D[f]，且對(duì)于任意的?x∈D[g]有g(shù)(x)≤f(x)(默認(rèn)超出定義域范圍的值為負(fù)無窮)，則稱g位于f的下方，或稱g小于f，記為g?f，由此可建立灰值圖像的偏序集合(F,?)．

在偏序集合(F,?)中，可定義其上的極大和極小運(yùn)算[2]：

(f∧g)(x)=min{f(x),g(x)},

x∈D[f]∩D[g],

(f∨g)(x)=max{f(x),g(x)},

x∈D[f]∪D[g],

2 旋轉(zhuǎn)變換下陰影集和表面函數(shù)的性質(zhì)

灰值圖像函數(shù)f的本影U[f]={(x,y):x∈D[f],y≤f(x)}[2,9],若D[f]?En，則U[f]?En+1．集合A的表面S[A]={(x,y)∈A：y≥z,?(x,z)∈A}[2]，其表面函數(shù)具有形式S[A](x)=max{y|(x,y)∈A}．顯然，對(duì)于任意的灰值圖像函數(shù)f，其本影變換及表面函數(shù)具有如下關(guān)系[3]：

S(U[f])(x)=f(x).

(1)

且容易證明下面的結(jié)論成立：

(1)給定兩個(gè)集合A和B，若A?B，則S[A](x)≤S[B](x)；

(2)對(duì)任意g和f，g?f的充要條件是U[g]?U[f]．

對(duì)于?(x,y),(h,k)∈U[f]，將向量的點(diǎn)運(yùn)算 “·” 及逆元[3]概念擴(kuò)展到U[f]中：

(x,y)·(h,k)=(x·h,y+k),

(2)

同時(shí)，引入灰值圖像函數(shù)f的旋轉(zhuǎn)變換fh,k：

(3)

性質(zhì)1 (1)U[fh,k]=(U[f])·(h,k)；

(2)Sh,k(U[f])(x)=fh,k(x).

證明 (1)

{(x·h,y+k)|x∈D[f],y≤f(x)}=

{(x,y)·(h,k)|(x,y)∈U[f]}=(U[f])·(h,k).

利用二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子的性質(zhì)[3]，可建立本影變換、表面算子與極大極小運(yùn)算及集合的交并運(yùn)算之間的關(guān)系．

性質(zhì)2 (1)U[f∧g]=U[f]∩U[g] ；

(2)S(U[f]∩U[g])=f∧g；

(3)U[f∨g]=U[f]∪U[g] ；

(4)S(U[f]∪U[g])=f∨g.

證明 (1)U[f∧g]={(x,y)|x∈D[f∧g],y≤(f∧g)(x)}={(x,y)|x∈D[f]∩D[g],y≤min{f(x),g(x)}}=

{(x,y)|x∈D[f],y≤f(x);x∈D[g],y≤g(x)}=

U[f]∩U[g] ;

(2)S(U[f]∩U[g])=S(U[f∧g])=f∧g;

(3)U[f∨g]={(x,y)|x∈D[f]orx∈D[g],y≤max{f(x),g(x)}}=

{(x,y)|x∈D[f],y≤f(x) orx∈D[g],y≤g(x)}=U[f]∪U[g] ;

(4)S[U[f]∪U[g]]=S[U[f∨g]]=f∨g.

3 灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子的結(jié)構(gòu)性質(zhì)

利用本影變換和表面算子，在二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子[3]的基礎(chǔ)上引入結(jié)構(gòu)元素g對(duì)于目標(biāo)圖像f的灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕、膨脹及開、閉算子：

(4)

(5)

這里Θr,⊕r,°r,·r表示二值及灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子，以區(qū)別于平移形態(tài)算子．利用性質(zhì)1和性質(zhì)2，可以推出灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子與灰值平移形態(tài)算子類似的表示及性質(zhì)．下面首先研究灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子的結(jié)構(gòu)特征，以下性質(zhì)給出了灰值旋轉(zhuǎn)算子的數(shù)學(xué)表達(dá)式．

性質(zhì)3 (1) (fΘrg)(x)=min{f(z·x)-g(z)|

z∈D[g],z·x∈D[f]};

證明 利用二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕和膨脹的表達(dá)式[3]，有：

(1) (fΘrg)(x)=S[U[f]ΘrU[g]](x)=

max{y|(x,y)∈U[f]ΘrU[g]}=

max{y|U[g]·(x,y)?U[f]}=

max{y|(z,w)·(x,y)∈U[f],?z∈D[g],w≤g(z)}=

max{y|(z·x,w+y)∈U[f],z∈D[g],w≤g(z)}=max{y|w+y≤f(z·x),z∈D[g],w≤g(z),z·x∈D[f]}=

max{y|y≤f(z·x)-g(z),z∈D[g],z·x∈D[f]}=

min{f(z·x)-g(z)|z∈D[g],z·x∈D[f]};

(2) (f⊕rg)(x)=S[U[f]⊕rU[g]](x)=

max{y|(x,y)∈U[f]⊕rU[g]}=

(3) (f°rg)(x)=((fΘrg)⊕rg)(x)=

(4) (f·rg)(x)=((f⊕rg)Θrg)(x)=

性質(zhì)4 (1)U[fΘrg]=U[f]ΘrU[g];

(2)U[f⊕rg]=U[f]⊕rU[g].

證明 利用二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕和膨脹的表示式[3]和性質(zhì)3，有：

(1)U[fΘrg]={(x,y)|x∈D[fΘrg],y≤(fΘrg)(x)}=

{(x,y)|x∈D[f]∩D[g],y≤f(z·x)-g(z),?z∈D[g],z·x∈D[f]}=

{(x,y)|x∈D[f]∩D[g],y+g(z)≤f(z·x),z∈D[g],z·x∈D[f]}=

{(x,y)|y+w≤f(z·x),z·x∈D[f],w≤g(z),z∈D[g]}=

{(x,y)|(z·x,y+w)∈U[f],(z,w)∈U[g]}=

{(x,y)|(x,y)·(z,w)∈U[f],(z,w)∈U[g]}=

U[f]ΘrU[g];

(2)U[f]⊕rU[g]={(x,y)·(z,w)|(x,y)∈U[f],(z,w)∈U[g]}=

{(x·z,y+w)|x∈D[f],y≤f(x);z∈D[g],w≤g(z)}=

{(t,s)|t=x·z∈D[f]⊕rD[g],s=y+w≤f(x)+g(z)}=

{(t,s)|t∈D[f⊕rg],s≤(f⊕rg)(t)}=U[f⊕rg].

性質(zhì)5 (1)f°rg=(fΘrg)⊕rg；

(2)f·rg=(f⊕rg)Θrg.

證明 (1)由二值旋轉(zhuǎn)開運(yùn)算的性質(zhì)[3]及(5)式，有：

f°rg=S(U[f]°rU[g])=

S((U[f]ΘrU[g])⊕rU[g])=

S(U[fΘrg]⊕rU[g])=

S(U[fΘrg⊕rg])=fΘrg⊕rg,

同理可證(2)．

該性質(zhì)表明，灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)開、閉算子是灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕和膨脹算子的復(fù)合形式．

性質(zhì)6

(1)U[f°rg]=U[f]°rU[g];

(2)U[f·rg]=U[f]·rU[g].

證明 利用性質(zhì)4和性質(zhì)5，得：

U[f°rg]=U[(fΘrg)⊕rg]=U[fΘrg]⊕rU[g]=

(U[f]ΘrU[g])⊕rU[g]=U[f]°rU[g],

同理可證(2)．

下面的性質(zhì)表明灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子滿足對(duì)偶性．

性質(zhì)7

證明 (1) (fΘrg)(x)=

min{f(z·x)-g(z)|z∈D[g],z·x∈D[f]}=

-max{-f(z·x)+g(z)|?z∈D[g],z·x∈D[f]}=

(3)f°rg=(fΘrg)⊕rg=

(4)f·rg=(f⊕rg)Θrg=

性質(zhì)8

(1)f⊕rg=g⊕rf；

(2)f⊕r(g⊕rh)=(f⊕rg)⊕rh；

(3)fΘr(g⊕rh)=(fΘrg)Θrh.

4 灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子的代數(shù)性質(zhì)

在研究了結(jié)構(gòu)特征之后，進(jìn)一步研究灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子與其它相關(guān)運(yùn)算之間的代數(shù)關(guān)系，首先，可以證明灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子與極大、極小運(yùn)算滿足可交換性．

性質(zhì)9

(1) (f∧g)Θrh=(fΘrh)∧(gΘrh)；

(2)fΘr(g∨h)=(fΘrg)∧(fΘrh)；

(3)f⊕r(g∨h)=(f⊕rg)∨(f⊕rh).

同時(shí)，灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子對(duì)于目標(biāo)對(duì)象滿足旋轉(zhuǎn)不變性，即灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子具有旋轉(zhuǎn)不變性，是一類旋轉(zhuǎn)不變算子．

性質(zhì)10

(1)fh,kΘrg=(fΘrg)h,k;

(2)fh,k⊕rg=(f⊕rg)h,k;

(3)fh,k°rg=(f°rg)h,k;

(4)fh,k·rg=(f·rg)h,k.

證明

(1)fh,kΘrg=S[U[fh,k]ΘrU[g]]=

S[((U[f])·(h,k))ΘrU[g]]=

S[(U[f]ΘrU[g])·(h,k)]=

S[(U[fΘrg])·(h,k)]=(fΘrg)h,k；

(2)fh,k⊕rg=S[U[fh,k]⊕rU[g]]=

S[((U[f])·(h,k))⊕rU[g]]=

S[(U[f]⊕rU[g])·(h,k)]=

S[(U[f⊕rg])·(h,k)]=(f⊕rg)h,k;

(3)fh,k°rg=(fh,kΘrg)⊕rg=

(fΘrg)h,k⊕rg=((fΘrg)⊕rg)h,k=

(f°rg)h,k;

(4)fh,k·rg=(fh,k⊕rg)Θrg=(f⊕rg)h,kΘrg=

((f⊕rg)Θrg)h,k=(f·rg)h,k.

灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)膨脹對(duì)于結(jié)構(gòu)元素同樣滿足旋轉(zhuǎn)不變性.結(jié)構(gòu)元素的位置對(duì)灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕和膨脹的結(jié)果有影響，但不會(huì)對(duì)灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)開、閉運(yùn)算的結(jié)果產(chǎn)生影響．

性質(zhì)11

(2)f⊕rgh,k=(f⊕rg)h,k;

(3)f°rgh,k=f°rg;

(4)f·rgh,k=f·rg.

證明 (1)fΘrgh,k=S[U[f]ΘrU[gh,k]]=

S[U[f]Θr(U[g]·(h,k))]=

(2)f⊕rgh,k=S[U[f]⊕rU[gh,k]]=

S[U[f]⊕r(U[g]·(h,k))]=

S[(U[f]⊕rU[g])·(h,k)]=

S[(U[f⊕rg])·(h,k)]=(f⊕rg)h,k;

(3)f°rgh,k=(fΘrgh,k)⊕rgh,k=

((fΘrgh,k)⊕rg)h,k=

(4)f·rgh,k=(f⊕rgh,k)Θrgh,k=

灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子還具有相關(guān)的保序性：

性質(zhì)12 如果f?g,則有：

(1)fΘrh?gΘrh;

(2)f⊕rh?g⊕rh;

(3)f°rh?g°rh;

(4)f·rh?g·rh.

證明 由f?g?U[f]?U[g]，及二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕、膨脹的遞增性，得：

U[f]ΘrU[h]?U[g]ΘrU[h],

U[f]⊕rU[h]?U[g]⊕rU[h],即

U[fΘrh]?U[gΘrh],

U[f⊕rh]?U[g⊕rh],故

fΘrh?gΘrh,f⊕rh?g⊕rh;

進(jìn)而有(fΘrh)⊕rh?(gΘrh)⊕rh，(f⊕rh)Θrh?(g⊕rh)Θrh，即：

f°rh?g°rh，f·rh?g·rh.

性質(zhì)13 如果g?h,則有fΘrh?fΘrg,f⊕rg?f⊕rh.

證明 由g?h?U[g]?U[h]，利用二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕、膨脹的相關(guān)性質(zhì)得：

U[f]ΘrU[h]?U[f]ΘrU[g],

U[f]⊕rU[g]?U[f]⊕rU[h],

即U[fΘrh]?U[fΘrg]，U[f⊕rg]?U[f⊕rh]，

故有：

fΘrh?fΘrg,f⊕rg?f⊕rh.

性質(zhì)14 如果U[g]包含單位原點(diǎn)，則fΘrg?f?f⊕rg.

證明 當(dāng)(1,0)∈U[g]時(shí)，由二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)膨脹的擴(kuò)展性和腐蝕的非擴(kuò)展性及性質(zhì)4知：

U[f]?U[f]⊕rU[g]=U[f⊕rg],

U[fΘrg]=U[f]ΘrU[g]?U[f],

故有f?f⊕rg;fΘrg?f.

由二值旋轉(zhuǎn)形態(tài)開、閉運(yùn)算的非擴(kuò)展性、擴(kuò)展性和冪等性，可證明灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)開、閉運(yùn)算具有類似的性質(zhì)：

性質(zhì)15f°rg?f?f·rg.

性質(zhì)16 (f°rg)°rg=f°rg,(f·rg)·rg=f·rg.

5 結(jié)語

本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，通過將點(diǎn)積運(yùn)算擴(kuò)展到本影集合，提出了本影集合中的點(diǎn)積和逆元方法，以此將平面旋轉(zhuǎn)變換引入到函數(shù)中，建立了灰值圖像函數(shù)的旋轉(zhuǎn)變換，為利用本影變換和表面算子構(gòu)造旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子提供了必備條件．函數(shù)的旋轉(zhuǎn)變換與本影和表面算子之間關(guān)系的建立為研究旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子提供了基礎(chǔ)．

本文研究了灰值旋轉(zhuǎn)形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子結(jié)構(gòu)的建立及相關(guān)性質(zhì)、方法，得出了有關(guān)算子表示、結(jié)構(gòu)特征、代數(shù)性質(zhì)等一系列重要結(jié)論，使得基于旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)形態(tài)學(xué)的理論和方法更加完善．

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[2] Heijmans H. Morphological image operator[M]. Boston: Academic Press,1994：17-96.

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Gray-Value Morphological Operators Based on Rotation Transform

DuanShan1,FanJindong2

(1 College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China;2 Shanghai Kuping Information Technology Systems Co., Ltd, Shanghai 200080,China )

Based on the binary rotation morphological operators, the research on related theory and method of the gray-value morphological operator with rotation transform was proposed. By introducing the dot product operation of the umbra set and gray-value rotation transform for gray-value images, umbra transform and surface operator were applied to build gray-value rotation morphological transform, including erosion, dilation, opening and closing operator. The main structures and properties were considered, and the methods for solving them within the framework of rotation morphological operator were described,some important properties were obtained and they enriched the rotation morphology.

gray-value rotation morphological transform; umbra transform; surface operator; binary rotation morphological transform

2017-02-22

段 汕(1962-)，女，教授，博士，研究方向：數(shù)學(xué)應(yīng)用方法與圖像處理，E-mail:duanshan@mail.scuec.edu.cn

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374085)

TP391.41

A

1672-4321(2017)02-0138-05