理論力學(xué)中的“教”與“學(xué)”

張思團(tuán)

摘 要：理論力學(xué)是機(jī)械類本科專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，也是后期學(xué)習(xí)機(jī)械設(shè)計(jì)和機(jī)械原理必要的先期基礎(chǔ)知識(shí)。本文主要從教與學(xué)兩方面講述如何結(jié)合實(shí)踐和后期學(xué)習(xí)掌握理論力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué) ；牛頓定律

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】1008-1216（2017）06B-0035-03

《理論力學(xué)》是建立在牛頓三大定律之上的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，研究領(lǐng)域?qū)俳?jīng)典力學(xué)范疇，也就是說固定坐標(biāo)系是建立在地球上，以地球?yàn)閰⒖肌＠碚摿W(xué)中的物體的運(yùn)動(dòng)線圖：力、位移、速度、加速度等等恰恰是機(jī)械原理當(dāng)中重要的、重復(fù)的組成部分，兩者在分析處理問題方面完全一樣。因此學(xué)好理論力學(xué)與更好地掌握后期理論課程學(xué)習(xí)以及解決工程實(shí)踐問題息息相關(guān)。

一、《理論力學(xué)》的基本理論

《理論力學(xué)》的理論支柱是牛頓三大定律：①慣性定律；②力與加速度關(guān)系定律；③作用與反作用定律。其中最主要的是第二定律，建立了物體受力與運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，確定了力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系表達(dá)式，把靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)結(jié)合在一起，貫穿了理論力學(xué)的全部基礎(chǔ)知識(shí)。其表達(dá)式為：

F=ma （1）

其中：F—?jiǎng)傮w所受全部力；包括主動(dòng)力、約束力、（以及后期學(xué)習(xí)的慣性力）。

m—?jiǎng)傮w質(zhì)量；工程實(shí)際中分析對(duì)象的質(zhì)量往往是不變的。

a—?jiǎng)傮w運(yùn)動(dòng)加速度；與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)實(shí)時(shí)緊密相關(guān)，工程實(shí)際中也是時(shí)變的參數(shù)。

注：以后的表達(dá)式中，除了質(zhì)量m、時(shí)間t為標(biāo)量外，其余均為矢量，后面不再特別注釋。

（一）靜力學(xué)

靜力學(xué)只分析剛體靜止（或慣性即加速度為零）狀態(tài)下所受力，也就是僅僅考慮（1）式的左邊部分，分析剛體所受的力包括：主動(dòng)力、約束力、摩擦力以及后期要學(xué)習(xí)的慣性力。這是理論上的灌輸，實(shí)踐中或日常生活中的例子處處可見，如沒有摩擦力人們不能走路等等提醒學(xué)生分析問題要考慮齊全，不遺漏。這里問題出現(xiàn)最多的地方是涉及物體重力的兩物體相互作用，物體的重力是由于地球的引力作用所引起的，如圖1所示，分析A、B間的力，雖然他們都有重力，卻不是兩者間的作用與反作用力，重力是第三者（地球）施加的，這個(gè)概念必須清楚。分析物體受力時(shí)，最好按某一類學(xué)生熟練的分析方法。將剛體的全部受力分析齊全，無一遺漏，然后列平衡方程：和。熟練掌握二力桿和三力匯交等定理可以有效地減少未知參數(shù)，極大地簡(jiǎn)化計(jì)算量。圖2是一個(gè)比較經(jīng)典的例題。題目是畫出帶符號(hào)構(gòu)件及整體受力圖。

對(duì)于初學(xué)者而言，分析受力最常見和最容易出現(xiàn)問題的地方就是少力、漏力（力分析不全面）。因此，就這個(gè)例子來說，給大家一個(gè)建議：不管是整體還是某個(gè)構(gòu)件，先畫已知力，然后在所有與其他構(gòu)件接觸的地方（約束）用正交分量來表示力（約束），包括與固定墻壁（地面等安裝接觸地方），作用與反作用力用帶撇的符號(hào)分開（這個(gè)不清楚也沒關(guān)系，先保證分析力齊全），如圖3的（a）、（b）、（c）、（d）（需要強(qiáng)調(diào)的是在加約束力的時(shí)候，一定要先解除約束，以力代之，不要又有力又有約束同時(shí)出現(xiàn)在一處，因?yàn)楹笃谶€有只求某個(gè)方向的約束力的問題）。如圖3的（d）中的o、b處是與地面機(jī)架接觸的，畫了正交分量后就不要再出現(xiàn)約束，因?yàn)檎环至烤捅硎玖舜颂幍募s束，如果既有約束又有正交分量，則表示兩個(gè)力重復(fù)，其他地方也類似）。平衡方程列好后緊接著要求解方程，必須掌握靜力學(xué)基本定理，不然，未知數(shù)太多，而平衡方程才三個(gè)（矢量方程兩個(gè)），則難以求解。從圖3的（d）來看，整體只受三個(gè)力，利用三力匯交，可以確定O處的力肯定過B點(diǎn)，無形中少個(gè)未知數(shù)，如圖3中（h）（這里可以先不管物體受力具體方向，因?yàn)橛?jì)算結(jié)果會(huì)得出力的方向，所求結(jié)果為正，表示力方向與假設(shè)一致，否則與假設(shè)方向相反）；再分析D點(diǎn)約束類型可以確定D點(diǎn)力垂直于AB（應(yīng)牢記約束力指向?yàn)榇怪庇诠忻婊蚬芯€的法線方向），在此基礎(chǔ)上分析CDE構(gòu)件又是三力匯交，確定C點(diǎn)力的方向，如圖3中的（c）→（g）；確定C、O點(diǎn)后，回到ACO構(gòu)件，再次利用三力匯交確定A點(diǎn)力，如圖3中的（a）→（e）；確定A點(diǎn)后，回到構(gòu)件ADB，同樣確定B點(diǎn)受力，如圖3中的（b）→（f）；確定方向后的力不再用正交分量來表示（正交分量是分析過程），去除多余的正交分量，包括圖3中最后（h）圖中B點(diǎn)處。從這個(gè)例子也可以看出，受力分析是一個(gè)反復(fù)的過程，因?yàn)槭孪炔⒉恢滥男┓至渴欠翊嬖诨驗(yàn)榱?，只有正確分析物體受力后，才可以利用題目所給幾何條件或三角關(guān)系等來求解各處力。否則，未知數(shù)太多，沒辦法求解，或分析受力不正確，最后得到錯(cuò)誤結(jié)論。

摩擦力總是阻礙物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，分析與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反，求解摩擦力的時(shí)候，平衡方程要補(bǔ)充摩擦定理，其他沒什么不同了，摩擦力除了臨界狀態(tài)外，都是一個(gè)范圍值。

（二）運(yùn)動(dòng)學(xué)

運(yùn)動(dòng)學(xué)首先要搞清楚坐標(biāo)。

理論力學(xué)中坐標(biāo)只有2個(gè)：一是定系，理論力學(xué)既然是經(jīng)典力學(xué)范疇，那么工程中常用地球作為固定坐標(biāo)系；二是與運(yùn)動(dòng)物體固接在一起的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，稱為動(dòng)系，所謂固接就是坐標(biāo)系與物體是渾然一體的，物體如何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)系就如何運(yùn)動(dòng)。

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，只要寫出直角坐標(biāo)方程，然后就是高等數(shù)學(xué)的微積分了。熟練掌握點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)很重要，很多物體的運(yùn)動(dòng)都可以簡(jiǎn)化為某些特殊點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，或在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上合成分析。

清楚確定坐標(biāo)后，三種運(yùn)動(dòng)關(guān)系就好描述了。圖4是兩個(gè)坐標(biāo)及其相對(duì)關(guān)系描述。oxy和o'x'y'分別表示定系和動(dòng)系，i、j和i'、j'分別是坐標(biāo)軸上的單位矢量。理論力學(xué)中涉及剛體的運(yùn)動(dòng)只有三種，分別是平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。

有兩點(diǎn)必須明白：

A.對(duì)于平移運(yùn)動(dòng)，i'、j'大小和方向均不變，因此為常矢量。常矢量有個(gè)特點(diǎn)是其導(dǎo)數(shù)為零。

B.對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，i'、j'大小不變，方向改變，不能作為常矢量處理，導(dǎo)數(shù)也就不為零。這一點(diǎn)在接下來數(shù)學(xué)推導(dǎo)物體運(yùn)動(dòng)速度、加速度關(guān)系式的時(shí)候顯示無疑。endprint

相對(duì)運(yùn)動(dòng)是動(dòng)點(diǎn)對(duì)動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)，與絕對(duì)坐標(biāo)無關(guān)，i'、j'為常矢量，變化的是相對(duì)坐標(biāo)；在對(duì)矢徑r = x'i'= y'j'求導(dǎo)時(shí)i'、j'的導(dǎo)數(shù)為零；牽連運(yùn)動(dòng)是動(dòng)系對(duì)定系的運(yùn)動(dòng)，與動(dòng)點(diǎn)無關(guān)，因此i'、j'方向變化，大小不變，不能作為常矢量處理，即其導(dǎo)數(shù)不為零，而x'、y'為不變量，導(dǎo)數(shù)為零。所以，在對(duì)矢徑r = x'i'= y'j'求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)來分別對(duì)待，不能籠統(tǒng)作為常量處理。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是動(dòng)點(diǎn)對(duì)定系運(yùn)動(dòng)，因此相對(duì)坐標(biāo)和方向矢量均變化。可以參看圖4中的C。

運(yùn)動(dòng)學(xué)描述了剛體（或質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即位移、速度、加速度三者之間的關(guān)系，從數(shù)學(xué)角度而言，三者為微積分關(guān)系，均為矢量。不同的參考系，剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有不同的描述，因此在分析求解問題的過程中，必須指明參考坐標(biāo)系。但是，對(duì)于工程應(yīng)用而言，地球?yàn)楣潭▍⒖枷?，剛體的運(yùn)動(dòng)描述有且僅有一種。

運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析就是分析（1）式右邊，也同時(shí)為后期動(dòng)力學(xué)知識(shí)做鋪墊。

運(yùn)動(dòng)學(xué)的矢量方程即：

位移通式：

速度通式：（點(diǎn)的速度分析和剛體的速度分析有相似之處，因?yàn)閯傮w上有個(gè)重要的點(diǎn)——質(zhì)點(diǎn)，而剛體的運(yùn)動(dòng)可以分解成隨質(zhì)點(diǎn)的平移和繞質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，因此速度表達(dá)式可以通用。）

加速度通式：

表達(dá)式中的腳標(biāo)a、r、e分別表示絕對(duì)、相對(duì)和牽連（英文單詞首寫字母），ac表示科氏加速度。

把矢量圖和矢量方程緊密聯(lián)合起來有助于求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。同時(shí)也可以用圖像法檢查自己的分析過程和結(jié)論。

（三）動(dòng)力學(xué)

動(dòng)力學(xué)揭示了力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，即牛頓第二定律，綜合考慮 ，在前面兩節(jié)已經(jīng)分析并求解了力、質(zhì)心（剛體）加速度，因此，只要把二者結(jié)合起來，即可求解未知量。動(dòng)力學(xué)有兩類問題：一是已知運(yùn)動(dòng)求力，再一個(gè)就是已知力求運(yùn)動(dòng)，第一類問題是高等數(shù)學(xué)求導(dǎo)數(shù)問題的應(yīng)用，第二類問題是高等數(shù)學(xué)積分求解，需要有比較扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

這一部分涉及到一個(gè)重要知識(shí)就是質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)分析，也就是前面提到的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析的相關(guān)知識(shí)，當(dāng)然比點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析復(fù)雜一點(diǎn)，需要自己熟練掌握相關(guān)知識(shí)并不斷練習(xí)。

二、總結(jié)

理論力學(xué)既然是建立在牛頓三大定律之上，因此理論力學(xué)中的全部定理均可由牛頓三大定律導(dǎo)出。不管物體是運(yùn)動(dòng)還是靜止?fàn)顟B(tài)。

由（1）式F=ma

左邊：上述靜力學(xué)分析部分指明，剛體的全部受力分析；

右邊：上述運(yùn)動(dòng)學(xué)分析部分指明，剛體的運(yùn)動(dòng)分析，特別是質(zhì)心的加速度分析。靜止或慣性狀態(tài)是特例，加速度為零，變成靜力學(xué)知識(shí)。

理論力學(xué)三大定理：

動(dòng)能定理：F=ma=m，兩邊點(diǎn)積：

F·dr=m·dr=mdv·=mdv·v=d（mv2）/2

反映了外力所做功與物體動(dòng)能增量間關(guān)系

動(dòng)量定理：F=ma=m， Fdt=d（mv）

反映了力（沖量）與動(dòng)量增量間關(guān)系

動(dòng)量矩定理：F=ma，

兩邊叉積：F×R=m×R=（mv×R）

反映了力矩與動(dòng)量矩能間關(guān)系

達(dá)朗貝爾原理：F=ma，即F-ma=0，其中-ma即為慣性力。

這里有個(gè)誤區(qū)就是慣性力究竟是不是力的問題，這里說明一下慣性力是不存在的，按照前期知識(shí)，這個(gè)力沒有施力體，也沒有受力體，只具有力的量綱，是假想的、虛加的，目的是用靜力學(xué)方法分析運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。

掌握了牛頓三大定律是構(gòu)造理論力學(xué)的理論基礎(chǔ)，在教學(xué)過程中應(yīng)始終貫徹這一基本理論，第一步：先分析力（靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)），力要分析齊全；第二步：分析運(yùn)動(dòng)，分析清楚點(diǎn)、剛體（質(zhì)心）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如軌跡、相對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)是何種形式，在此基礎(chǔ)上寫出運(yùn)動(dòng)矢量方程，繪制矢量圖，然后兩者結(jié)合求解；第三步：動(dòng)力學(xué)結(jié)合了前兩步：較靜力學(xué)而言，多了慣性力和慣性矩，較運(yùn)動(dòng)學(xué)而言，多了受力分析。

理論力學(xué)綜合知識(shí)的應(yīng)用特別考查大家對(duì)理論力學(xué)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。隨著知識(shí)的不斷深入，解決問題的方法有很多，也涉及到多方面，特別是三大定理的綜合應(yīng)用。大家普遍感到困難的就是不知道怎么入手解決。理論力學(xué)道理很簡(jiǎn)單，說起來容易，題目做起來很困難，需要大家不斷練習(xí)，前后知識(shí)融會(huì)貫通才能得心應(yīng)手。

參考文獻(xiàn)：

[1]王鐸.理論力學(xué)[M].北京 ：高等教育出版社，2009.

[2]程靳，程燕平.理論力學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)[M].北京：高等教育出版社，2003.endprint