BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與多項式擬合在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

王存友，黃張裕，汪閂林，歐陽經(jīng)富

（1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 21009）

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與多項式擬合在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

王存友1，黃張裕1，汪閂林1，歐陽經(jīng)富1

（1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 21009）

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多項式擬合的數(shù)據(jù)處理方法并在MATLAB中編程實現(xiàn)，將兩種模型在隧道沉降監(jiān)測與預(yù)報中的可行性和精確性進(jìn)行對比，得出兩種模型的適用范圍和預(yù)報精度。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；多項式擬合；MATLAB；隧道沉降；預(yù)報

在施工過程中對隧道進(jìn)行長期監(jiān)測不僅能夠得出隧道的沉降量，還能根據(jù)長期的監(jiān)測數(shù)據(jù)分析出隧道變形的發(fā)展趨勢?，F(xiàn)階段預(yù)測沉降的模型和方法有很多，本文采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多項式擬合模型對隧道的沉降進(jìn)行預(yù)測并在MATLAB中實現(xiàn)，通過對兩種方法進(jìn)行比較得到模型各自的特點和適用范圍。

1 兩種模型的基本原理

1.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

傳統(tǒng)的變形監(jiān)測預(yù)報都是尋求影響因子與變形量之間的線性關(guān)系，但通常情況下變形體的變形都呈現(xiàn)非線性特征。根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特征可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過函數(shù)直接尋求輸入和輸出的關(guān)系，不考慮問題內(nèi)部的機理。因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理內(nèi)部機理比較復(fù)雜的問題上具有非常獨特的優(yōu)勢，為非線性系統(tǒng)的建模、識別和預(yù)測提供了一個嶄新而有效的途徑。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種按誤差逆向傳播算法訓(xùn)練出來的多層前饋網(wǎng)絡(luò)，是目前應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一。其學(xué)習(xí)規(guī)則是使用最速下降法，通過誤差反向傳播來不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，使實際輸出相對于期望輸出的誤差平方和最小。一個完整的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括輸入層、隱含層和輸出層，各層之間由權(quán)值實現(xiàn)連接。其結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理圖

1.2 BP網(wǎng)絡(luò)算法的數(shù)學(xué)描述

假設(shè)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的三層節(jié)點分別為輸入層節(jié)點Xi、隱含層節(jié)點Pi和輸出層節(jié)點Yi，輸入層和隱含層之間的權(quán)值為Wij，隱含層和輸出層之間的權(quán)值為Tij，預(yù)測的期望值為tl。則隱含層節(jié)點的計算公式為：

輸出層節(jié)點的計算公式為：

式（1）和式（2）中的θi代表網(wǎng)絡(luò)的閾值，與權(quán)值一樣在網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程中不斷地被修正，利用以上兩個公式就可以計算出網(wǎng)絡(luò)正向傳播的結(jié)果，得出輸出值。

在網(wǎng)絡(luò)的反向傳播時，根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)規(guī)則可知期望輸出tl與實際輸出Yi的誤差平方和公式為：

當(dāng)計算的E值大于限定的數(shù)值時就說明網(wǎng)絡(luò)不合格，需要通過調(diào)整各連接的權(quán)值和閾值來對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，直到最后的E值小于限定的數(shù)值網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練才結(jié)束，從而得到合適的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測。網(wǎng)絡(luò)的校正是從后向前反向進(jìn)行的，因此又叫做誤差逆?zhèn)鞑?。將式?）和式（2）代入（3）式展開得到：

分別對E求Tli和Wij的偏導(dǎo)數(shù)，化簡后得出權(quán)的修正值ΔTli和ΔWij正比于誤差函數(shù)沿梯度下降。因此，輸出層到隱含層連接權(quán)的修正量為：

隱含層到輸入層連接權(quán)值的修正量為：

1.3 多項式擬合

多項式擬合又叫作最小二乘擬合，常用于把離散的數(shù)據(jù)歸納總結(jié)為連續(xù)的函數(shù)。多項式擬合具體過程如下：

假設(shè)給定數(shù)據(jù)(Xi,Yi)（i=0,1,…,m)，f為所有次數(shù)不超過n（n≤m）的多項式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求pn(x)=使得：

滿足式（7）的Pn(x) 稱為最小二乘擬合多項式。當(dāng)n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。根據(jù)I=可以得出式（7）為a,a,a,…,a的多012n元函數(shù)，因此可以將上述問題轉(zhuǎn)化為求I=I (a0,a1,…，an)的極值問題。對I分別求aj的偏導(dǎo)數(shù)得：

將式（8）展開為：

這是關(guān)于a0, a1, a2, …, an的線性方程組，寫成向量與矩陣的形式為：

式（10）稱為法方程，可以證明此線性方程組的系數(shù)矩陣為非奇異矩陣，所以方程組存在唯一解pn(x)=可以求出唯一的a(k=1, 2, 3, …, n)，從而得出k多項式。

2 實例分析

2.1 數(shù)據(jù)處理

本文所分析的數(shù)據(jù)來源于某隧道19期的沉降實測資料，其中多項式擬合階數(shù)選用了4階和5階進(jìn)行擬合，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用前13期的實測數(shù)據(jù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測后6期。表1為某一點前13期的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)。

根據(jù)多項式擬合模型，利用某點前13期的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)分別建立4階和5階多項式函數(shù)曲線趨勢模型。根據(jù)多項式趨勢模型預(yù)測后續(xù)觀測時段的高程值，并與實際值比較，其預(yù)測結(jié)果如表2所示。

表1 某點前13期沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)

表2 多項式擬合預(yù)測結(jié)果

通過表2可以看出，多項式擬合模型前幾期預(yù)測精度很高，但后面誤差逐漸增大，精度下降。主要由于隧道在后期變形逐漸趨緩，漸漸穩(wěn)定，沒有延續(xù)前期的增長趨勢。

根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，同樣利用前13期的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)建立模型，預(yù)測后6期的高程值并與觀測值進(jìn)行比較，預(yù)測結(jié)果如表3所示。

表3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果

通過表3可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測精度較好，高于表2的多項式擬合模型。主要是由于隨著施工的進(jìn)展，隧道載荷基本固定而且地基壓縮空間減小，隧道變形趨勢逐漸趨緩，沒有延續(xù)前期的增長趨勢。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比較適合處理非線性的問題，預(yù)測精度較好，但隨著時間的推移，預(yù)測精度仍然有明顯降低。

以中誤差比較上述多項式擬合模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的優(yōu)劣，其結(jié)果為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的中誤差1．02 mm，4階多項式的中誤差3．06 mm，5階多項式的中誤差1．78 mm。

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和多項式擬合模型對監(jiān)測點進(jìn)行預(yù)測，不同模型的預(yù)測結(jié)果與實測值不盡相同。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度在mm級，高于多項式擬合的精度，而且BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理非線性問題上優(yōu)于多項式擬合，比較適合隧道變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理與預(yù)測。

2.2 結(jié) 論

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)簡單、可操作性強，在MATLAB的環(huán)境下可以實現(xiàn)預(yù)報的可視化，更直觀地反映沉降的趨勢。但每種模型都有各自的適用范圍、特點和局限性，對于短期的沉降監(jiān)測因為沒有足夠的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果精度不高，但隨著預(yù)測期數(shù)的增加，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度會提高。多項式擬合是一種趨勢分析法，其預(yù)測精度要高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)選擇過高的階數(shù)進(jìn)行擬合時增加了計算量且預(yù)測精度不會有明顯提高，因此采用多項式擬合模型時選擇合適的階數(shù)十分重要。

3 結(jié) 語

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在變形監(jiān)測分析與預(yù)報方面表現(xiàn)出了非常好的優(yōu)越性。但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自身也存在一些缺陷，比如誤差收斂速度慢，學(xué)習(xí)時間過長，學(xué)習(xí)過程易陷入局部極小值從而無法得到全局最優(yōu)解，網(wǎng)絡(luò)的泛化能力差和構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)缺乏統(tǒng)一原則等問題。針對這些問題，對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還需要更多的研究來完善，在變形監(jiān)測分析與預(yù)報方面有很好的應(yīng)用前景。

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B文章編號：1672-4623（2017）06-0107-02

10.3969/j.issn.1672-4623.2017.06.033

王存友，碩士研究生，研究方向為變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理。

2015-08-07。