基于隨機場的巖石邊坡三維穩(wěn)定性分析

牛燚煒+周小平+錢七虎

摘要：基于隨機場理論，考慮了巖石材料屬性的空間變異性對巖石邊坡穩(wěn)定性的影響，將邊坡主滑面上的摩擦系數(shù)和粘聚力視為高斯隨機變量，確定了主滑面上的摩擦系數(shù)和粘聚力的均值、方差和協(xié)方差，獲得了兩個隨機量之間的相關系數(shù)和互相關長度。在此基礎上，對巖石邊坡進行了三維穩(wěn)定性分析，確定了巖石邊坡的穩(wěn)定系數(shù)和失效概率。數(shù)值計算結果表明，摩擦系數(shù)和粘聚力的空間變異性對邊坡穩(wěn)定性有重要影響。

關鍵詞：巖石邊坡；穩(wěn)定系數(shù)；失效概率；隨機場

中圖分類號：TU475文獻標志碼：A文章編號：16744764（2017）03012909

Abstract：The stability of rock slopes is analyzed by considering the spatial variability of the rock materials based on theory of random fields. Both the cohesion and frictional coef cient along the main sliding surface are treated as Gaussian random elds， and the mean value， variance， covariance of the cohesion and frictional coef cient are determined. Spatial correlation lengths and the crosscorrelation between cohesion and coef cient are obtained. Threedimensional stability assessment of rock slopes is analyzed to obtain the factor of safety and probability of failure of rock slope. The numerical results show that the spatial variability of cohesion and coef cient of friction significantly affect the safety of rock slopes.

Keywords：rock slopes； factor of safety； probability of failure； random fields

邊坡失穩(wěn)已與地震、火山爆發(fā)并列成為世界三大地質災害（或地質災害源）[1]。當邊坡巖體內發(fā)育有層間軟弱夾層或較大的斷層、節(jié)理和裂隙時，則容易發(fā)生滑動破壞。在邊坡穩(wěn)定性分析過程中，需要考慮巖土工程是土木工程中最受不確定性主導的分支學科，因為它通常與高度變化的天然材料密切相關。巖性參數(shù)誤差有3個主要來源，即材料固有變異性、統(tǒng)計誤差、系統(tǒng)誤差[2]。固有變異性是指即使在各向同性巖石介質中，巖石性質表現(xiàn)出變異性。由于現(xiàn)場采樣和實驗室數(shù)據的有限性，巖石屬性的統(tǒng)計數(shù)據（例如均值和標準差）受（統(tǒng)計的）不確定性的影響，但是這類不確定性會隨樣品數(shù)量的增加而減少。系統(tǒng)不確定性是由于實驗室和原位條件存在不同因素，如實驗規(guī)模、各向異性和水飽和度等[3]。筆者重點研究材料的固有變異性（其在均質材料中也會比較大）及其對失效概率的影響。

傳統(tǒng)邊坡穩(wěn)定性的評價方法主要有剛體極限平衡法、赤平投影法、有限元法以及模擬試驗等。為了避免材料的不確定性所造成的影響，這些方法對于設計參數(shù)、穩(wěn)定系數(shù)等一般都采用偏保守的值進行設計。為了考慮參數(shù)的變異性和不確定性，在傳統(tǒng)方法基礎上引入隨機場理論十分必要。一般情況下，得出隨機變量的分布函數(shù)可以說是一個相當復雜的問題，并且找到精確解也有相當困難。祁小輝等[4]采用譜表現(xiàn)法建立了表征土體空間變異性的隨機場模型，提出了考慮土體空間變異性的邊坡最危險滑動面隨機分析方法。蔣水華等[5]提出了基于多重響應面與子集模擬的邊坡可靠度分析方法。舒蘇荀等[6]提出一種能合理考慮土性參數(shù)空間變異性的邊坡模糊隨機可靠度分析方法。Einstein等[7]在巖石邊坡中采用了蒙特卡羅方法計算。唐小松等[8]研究了表征抗剪強度參數(shù)間相關性的Copula函數(shù)對邊坡可靠度的影響，提出了無限邊坡失效概率計算的直接積分方法。Pantelidis等[9]和Griffiths等[10]等分別用一維跟二維隨機變量考慮巖石空間變異性對邊坡穩(wěn)定性的影響。Gravanis等[11]研究了巖石材料屬性的空間變異性對巖石邊坡失效概率的影響。然而，Gravanis僅僅研究了重力作用下巖石邊坡的二維穩(wěn)定性問題。但是實際邊坡或滑坡體是三維問題，將三維問題簡化為二維問題，會帶來計算結果的較大誤差。為了合理地評價巖石邊坡的穩(wěn)定性，筆者將Gravanis的二維隨機場方法延伸為三維隨機場方法，并把底面摩擦系數(shù)和粘聚力視為高斯隨機變量，分析巖石邊坡的三維穩(wěn)定性問題。

1基于隨機場理論的巖石邊坡三維穩(wěn)

定性分析1.1高斯隨機場的幾個假定

為簡化計算模型，做如下假設：

1）高斯過程：聯(lián)合概率分布函數(shù)為多元正態(tài)隨機分布過程，其巨大的優(yōu)勢是只需均值向量和協(xié)方差矩陣就可以確定其完整分布函數(shù)。

2）平穩(wěn)性或統(tǒng)計均勻性：聯(lián)合概率分布函數(shù)的空間非獨立性，即它依賴于點的相對位置關系。這個假設意味著均值、協(xié)方差和高階矩是常量，且聯(lián)合概率分布函數(shù)也是恒定的，不隨時間和空間變化。

3）各向同性：在二維或更高維度的隨機場中，各向同性是指旋轉不變形。在各向同性中，兩個點的相關性僅跟兩點之間距離有關，而與方向角度無關。

在上述假設下，只需知道3個數(shù)值即可求解：隨機場的均值μ、隨機場的方差σ2、隨機場的空間變異程度。其中，隨機場的空間變異程度由隨機場的聯(lián)合分布二階矩表征，可以從協(xié)方差函數(shù)中獲得[12]。

1.2邊坡穩(wěn)定極限平衡分析方法

假定巖石邊坡的可能滑動面如圖1所示。為了簡化計算，忽略孔隙水壓力和基礎荷載的作用，將上部巖體視為整體。邊坡三維示意圖如圖1所示，作用在與交棱線垂直的剖面圖如圖2。

2應用實例

2.1當邊坡體沿三面滑動時（γ3=0°），摩擦系數(shù)對邊坡穩(wěn)定性的影響

隨機場變量為tan φ（x，y），其均值和方差分別為μ和σ。此時，粘聚力為常量。如圖4和圖5所示，z軸坐標為pf，x和y軸坐標分別為L1/θ1和L2/θ2。計算參數(shù)為：β=30°、γ1=0°、γ2=0°、γ3=0°、c3=40kPa、c1=40 kPa、c2=40 kPa、L1=10 m、L2=20 m、L3=1.5 m、ex=0.5 m、ey=1 m、W=1.8×105 kN。

如圖4和圖5所示，當tan φ（x，y）的相關長度θ1和θ2分別遠遠大于滑面的長L1和寬L2時，即（L1/θ1，L2/θ2）的值趨于0。如式（16）所示，方差s2tanφ的值趨于σ2tanφ。失效概率對于不同的摩擦系數(shù)均值趨于相應的定值。當相關長度θ1和θ2變小時，失效概率在穩(wěn)定系數(shù)大于1時趨于0，在穩(wěn)定系數(shù)小于1時趨于1。從圖4和圖5右半部分可知：當方差越大時，失效概率的值偏差越大；從圖3和圖4左半部分可知：當方差越大時，失效概率的值越向0.5靠近。圖4和圖5與Griffths等[15]的計算結果吻合。

2.2當邊坡體沿三面滑動時（γ3=0°），摩擦系數(shù)和粘聚力對邊坡穩(wěn)定性的影響

如式（39）、（19）、（40）和（41）所示，失效概率pf與6個未知數(shù)（L1/θ1，L2/θ2）、（L1/θ1c，L2/θ2c）、（L1/θ1，c-tanφ，L2/θ2，c-tanφ）相關。在一張三維立體圖中表示失效概率與6個未知量的關系比較困難。假設：（L1/θ1=L2/θ2）、（L1/θ1c=L2/θ2c），并取L1/θ1，L2/θ2c作為2個變量，此時θ1，c-tanφ和θ2，c-tanφ取極大值，γ1（L1/θ1，c-tanφ，L2/θ2，c-tanφ）取極值為1。其他計算參數(shù)為：μtanφ=tan26.25°和μtanφ=tan30.75°、σtanφ=tan5°、μc=40 kPa、σc=20 kPa、ρc-tanφ=0.2。

如圖6所示，當摩擦系數(shù)和粘聚力的相關長度遠小于滑面的長L1和寬L2時，則L1/θ1和L2/θ2c的值相應很大。從圖6右半部分可知：失效概率pf的值在穩(wěn)定系數(shù)F大于1時趨于0，在穩(wěn)定系數(shù)F小于1時趨于1；當摩擦系數(shù)和粘聚力的相關長度遠大于滑面的長L1和寬L2時，則L1/θ1和L2/θ2c的值相應很小。從圖6左半部分可知：失效概率的值趨于定值。

2.3給定失效概率下的邊坡穩(wěn)定系數(shù)

對于給定的失效概率，穩(wěn)定系數(shù)的值與相關長度有關。當σtanφ=tan5°時，pfmax分別取10%、1%、0.1%，穩(wěn)定系數(shù)與相關長度（L1/θ1，L2/θ2）的關系如圖7所示。當（L1/θ1，L2/θ2）較小時，對不同失效概率，穩(wěn)定系數(shù)對應于相應的定值，且該值隨失效概率的減小而增加；當（L1/θ1，L2/θ2）較大時，對不同失效概率，穩(wěn)定系數(shù)趨于1。

2.4不同方法下邊坡失效概率對比

表1中列出了采用蒙特卡洛方法[16]計算的失效概率。表1中均值為滑動面摩擦角的平均值。從表1可知，該方法的計算結果與蒙特卡洛方法的計算結果吻合，最大誤差為4.83%，證明了該方法的有效性。需要指出的是：本文的計算條件為相關長度（L1/θ1，L2/θ2）趨近于（0，0），由式可知s2tanφ等于σ2tanφ。

3結論

在巖質或土質邊坡中，滑面材料的空間變異性對邊坡的穩(wěn)定具有重要的影響。采用隨機場理論對巖質邊坡進行了三維穩(wěn)定性分析，建立了邊坡失效概率與相關長度之間的關系。算例表明，相關長度對邊坡失效概率具有重要的影響，不同的相關長度，導致不同的失效概率。同時，該方法可以退化為二維問題，其結果和Gravanis的方法一致。隨機場理論的結果，與蒙特卡洛方法計算的結果吻合，驗證了方法的有效性。

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（編輯胡英奎）