探討數(shù)學(xué)知識(shí)在若干金融問題中的應(yīng)用

佘致遠(yuǎn)

【摘要】數(shù)學(xué)是現(xiàn)代金融理論與實(shí)踐的基礎(chǔ)，尤其是金融數(shù)學(xué)的形成，對我國現(xiàn)代金融事業(yè)發(fā)展起到了極大的推動(dòng)作用。在金融學(xué)研究活動(dòng)過程中，合理利用數(shù)學(xué)學(xué)科基本理論知識(shí)和處理技巧，將能有效解決金融領(lǐng)域的許多問題。文章主要探討數(shù)學(xué)知識(shí)在若干金融問題中的應(yīng)用，旨在為推進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用提供參考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識(shí) 金融問題 金融數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)科學(xué)，也是一種思想方法，可以深入地揭示出事物發(fā)展的一些本質(zhì)規(guī)律，同時(shí)具有嚴(yán)密邏輯性、高度抽象性以及廣泛的應(yīng)用性。伴隨人類社會(huì)的不斷進(jìn)步與信息科技的普及，現(xiàn)代數(shù)學(xué)也廣泛的滲透到社會(huì)科學(xué)中的各個(gè)領(lǐng)域，正在為科技發(fā)展提供強(qiáng)大動(dòng)力。金融數(shù)學(xué)作為新興的數(shù)學(xué)和金融學(xué)相互交叉的學(xué)科，其主要特點(diǎn)是利用有效的數(shù)學(xué)工具方法揭示出金融學(xué)的本質(zhì)特性和經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的普遍規(guī)律，對有潛在風(fēng)險(xiǎn)的各個(gè)未定權(quán)益的合理定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避策略進(jìn)行分析研究，以此來解決金融領(lǐng)域的問題。它的研究內(nèi)容主要為關(guān)于在不確定條件下的證券組合選擇以及資產(chǎn)定價(jià)理論，這一理論中最重要的三個(gè)概念就是套利、最優(yōu)和均衡?，F(xiàn)如今，伴隨著金融市場的快速發(fā)展，金融學(xué)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系越來越密切，數(shù)學(xué)理論和方法為金融學(xué)的發(fā)展提供了有力的工具，而現(xiàn)代金融學(xué)的發(fā)展也推動(dòng)了數(shù)學(xué)某些分支的進(jìn)步。

一、金融數(shù)學(xué)理論框架及研究的主要問題

在基本理論體系的建構(gòu)形成中，金融數(shù)學(xué)學(xué)科最主要的就是引用并運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科體系中非線性分析、鞅理論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、泛函分析、分形幾何、隨機(jī)分析、微分對策、隨機(jī)控制、數(shù)學(xué)規(guī)劃、倒向隨機(jī)微分方程等基本理論，和與之相關(guān)的應(yīng)用性處理方式。金融數(shù)學(xué)學(xué)科重要的理論框架為：資本資產(chǎn)定價(jià)模型，套期保值理論，利率期限結(jié)構(gòu)理論，套利定價(jià)理論，現(xiàn)代證券組合理論，期權(quán)定價(jià)理論等。以下幾個(gè)問題是金融領(lǐng)域的重點(diǎn)研究：一是不完備金融市場的風(fēng)險(xiǎn)控制理論與風(fēng)險(xiǎn)管理；二是利率衍生產(chǎn)品與利率的期限結(jié)構(gòu)的定價(jià)理論等；三是不完備金融市場中有價(jià)證券（如期權(quán)、期貨等衍生工具）的資本資產(chǎn)定價(jià)模型消費(fèi)理論與最優(yōu)投資；四是怎樣組合投資證券才能減少投資風(fēng)險(xiǎn)或者獲得最大收益。此外，也有在證券價(jià)格的分析中運(yùn)用了新的非線性分析工具，例如模式識(shí)別、小波分析、分形幾何以及混沌學(xué)等。有人在期貨市場創(chuàng)新的仿真研究中利用遺傳算法和模擬退火法，有人在股票種類和證券選擇的預(yù)測中運(yùn)用人工智能方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等。

用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決金融問題，已經(jīng)成為了現(xiàn)代的金融理論重要的研究方向，但最優(yōu)控制理論依舊是數(shù)學(xué)理論應(yīng)用中最直接的辦法。金融理論發(fā)展到一定時(shí)期后才興起隨機(jī)最優(yōu)控制理論，如果對隨機(jī)問題進(jìn)行有效果的分析和處理，可以運(yùn)用貝爾曼最優(yōu)原理，聯(lián)合函數(shù)分析法、測度理論。

二、數(shù)學(xué)知識(shí)在某些金融問題中的運(yùn)用

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)在金融投資和收益中的運(yùn)用

因?yàn)槔省R率、商品價(jià)格以及股票價(jià)格的波動(dòng)，一般被認(rèn)為是金融投資活動(dòng)中存在的風(fēng)險(xiǎn)，這項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致實(shí)際的投資活動(dòng)中經(jīng)濟(jì)收益偏離期望的收益值或者平均收益值?，F(xiàn)代金融工程基本理論發(fā)展過程中的重要組成內(nèi)容就是風(fēng)險(xiǎn)度量工作。常用的度量金融風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)方法有：確定性數(shù)學(xué)方法與非確定性數(shù)學(xué)方法。

1.確定性數(shù)學(xué)方法。確定性數(shù)學(xué)方法通過研究分析金融投資風(fēng)險(xiǎn)中的各項(xiàng)構(gòu)成因素與評估指標(biāo)，把這些因素與指標(biāo)抽象成確定性的數(shù)學(xué)變量，先進(jìn)一步將它們之間的相互關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)函數(shù)式、數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)計(jì)算公式，再通過數(shù)學(xué)演算得出相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果。人們?yōu)榱诉_(dá)到防范金融投資風(fēng)險(xiǎn)的目的，可以依據(jù)這些結(jié)果，度量與評估金融投資的風(fēng)險(xiǎn)，調(diào)整以及控制金融交易活動(dòng)。在此之間，投資風(fēng)險(xiǎn)分析的常用指標(biāo)是債券價(jià)格、債券收益率、股票價(jià)格以及股票指數(shù)。金融學(xué)研究員為了制定形成對現(xiàn)有金融活動(dòng)實(shí)踐行為的一系列改良方案，選取和實(shí)施即將要進(jìn)行的金融投資組合，提供充足的準(zhǔn)備條件，需要經(jīng)過對影響金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的一些數(shù)學(xué)指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算分析，實(shí)現(xiàn)對常見的金融活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確認(rèn)知，并在這樣的基礎(chǔ)上完成對正在發(fā)展中的金融交易活動(dòng)開展?fàn)顟B(tài)的準(zhǔn)確認(rèn)知。

2.非確定性數(shù)學(xué)方法。產(chǎn)生風(fēng)險(xiǎn)的原因是各種不確定因素的影響，這是依據(jù)金融投資風(fēng)險(xiǎn)的概念得出來的。只利用確定性數(shù)學(xué)方法是不能夠準(zhǔn)確地描述這些因素以及相互關(guān)系的。所以為了研究怎樣防范金融投資的風(fēng)險(xiǎn)，一定要應(yīng)用非確定性數(shù)學(xué)方法如數(shù)理統(tǒng)計(jì)、概率論、隨機(jī)過程等。把投資人在實(shí)際開展金融投資活動(dòng)中可能要遭受的經(jīng)濟(jì)資金損失，和收益率轉(zhuǎn)化成隨機(jī)數(shù)學(xué)變量，再借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科體系中的數(shù)學(xué)方差、期望以及標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算處理方法，從而完成相對具體數(shù)據(jù)對象計(jì)算分析處理的這一項(xiàng)過程，是非確定性數(shù)學(xué)理論應(yīng)用在控制金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)方面，最突出的表現(xiàn)形式。從一次金融投資活動(dòng)涉及兩項(xiàng)或者是多項(xiàng)投資產(chǎn)品對象的條件下，分析人員展開相對具體的數(shù)據(jù)度量處理活動(dòng)，還需要引入與應(yīng)用協(xié)方差、隨機(jī)向量以及相關(guān)系數(shù)等統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)處理工具。

（二）數(shù)學(xué)方法在金融預(yù)測和決策中的運(yùn)用

金融活動(dòng)中，存在很多不確定的因素，決策者是否做出正確的判斷是由怎樣對未來的金融變量如保貼率、儲(chǔ)蓄存款余額、通脹率等進(jìn)行預(yù)測決定的。在金融預(yù)測常用的數(shù)學(xué)方法有一次和二次移動(dòng)平均法、最小二乘法、修正指數(shù)曲線法、一次和二次及三次指數(shù)平滑法、一元線性回歸法、卡爾曼濾波法、生長曲線預(yù)測法、三點(diǎn)法、兩步預(yù)測法、馬爾可夫預(yù)測法等。在金融決策常用的數(shù)學(xué)方法有最大產(chǎn)量組合法、極值選優(yōu)決策法、期望值法、線性規(guī)劃決策法、邊際分析法、最小成本組合法、無差異曲線法等。

三、結(jié)語

綜上所述，伴隨著金融數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展和進(jìn)步，金融數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域的應(yīng)用也越來越廣泛。很多國際著名的金融數(shù)學(xué)家為此還發(fā)起成立了“金融學(xué)會(huì)”，來推動(dòng)數(shù)學(xué)理論在金融學(xué)中的應(yīng)用。不過，因?yàn)榻鹑谑袌鰯?shù)學(xué)模型是把理性預(yù)期的假設(shè)為前提條件的，但實(shí)際中，短期內(nèi)的預(yù)期甚至?xí)A向于投機(jī)的影響，所以金融市場的預(yù)期是非理性的；以市場均衡模式和線性數(shù)理方法為基礎(chǔ)，金融市場數(shù)學(xué)模型是在在新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)理論框架之中建立的；但實(shí)際上金融市場不均衡是絕對的，均衡是短暫的。此外，鑒于經(jīng)過定量分析或數(shù)學(xué)模型方法所得到的結(jié)論是半經(jīng)驗(yàn)半理性的這種現(xiàn)象，實(shí)際價(jià)格和數(shù)學(xué)模型理論計(jì)算之間會(huì)存在一定的偏差，雖然對歷史數(shù)據(jù)擬合較好，但是對未來預(yù)測并沒有太高的成功率。但毋庸置疑的是，，數(shù)學(xué)理論研究的方法與結(jié)果，將在現(xiàn)在所有的理論框架基礎(chǔ)之上不斷豐富，從而使得數(shù)學(xué)模型可以提高在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用效果，也能更好地詮釋現(xiàn)實(shí)。

參考文獻(xiàn)

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