萬(wàn)變不離其宗
——有關(guān)含字母的一元一次不等式（組）的綜合應(yīng)用的變式探究

北京師范大學(xué)附屬中學(xué) 楊 維

因?yàn)榻庖辉淮畏匠毯徒庖辉淮尾坏仁降牟襟E非常類似，在學(xué)完解一元一次方程以后學(xué)生再學(xué)習(xí)解一元一次不等式會(huì)很快入手。而解二元一次方程組和一元一次不等式組卻存在較大差異，主要差在最后解（解集）的尋找過(guò)程中，二元一次方程組只需要用大括號(hào)連接求出的兩個(gè)未知數(shù)的值，而不等式組的解集學(xué)生憑空卻不太容易寫(xiě)出來(lái)，需要通過(guò)畫(huà)數(shù)軸找出不等式組的解集。這也說(shuō)明在解不等式尤其是不等式組中畫(huà)數(shù)軸很重要，而當(dāng)不等式（組）中含字母時(shí)，畫(huà)數(shù)軸更加重要，既要會(huì)畫(huà)數(shù)軸，還要會(huì)用數(shù)軸來(lái)確定不等式（組）中字母的范圍，可謂真正做到數(shù)形結(jié)合。本文結(jié)合自己做的一節(jié)研究課——有關(guān)含字母的一元一次不等式（組）的綜合應(yīng)用，在這節(jié)課中進(jìn)行的變式探究，與同行交流。

一、引入

我以大家熟悉的比較常規(guī)的一元一次不等式組引入，讓大家重溫解一元一次不等式組的步驟：分別解兩個(gè)一元一次不等式，在數(shù)軸上表示出解集，結(jié)合數(shù)軸確定最后不等式組的解集。有的學(xué)生可能也可以不畫(huà)數(shù)軸直接得出最后的正確答案。

二、變式

將不等式組（1）中的不等式中的常數(shù)1換作字母a，當(dāng)然題目由解不等式組變成在不等式組有解的情況下求a的取值范圍。如果題1中畫(huà)數(shù)軸還不那么突出和重要的話，變式1中數(shù)軸是解題的重要工具，是不畫(huà)不行了。初步凸顯了數(shù)軸在解含字母的不等式組中的重要性。

解法：

第一步：像題1一樣分別解出不等式組中的兩個(gè)不等式的解集，第二個(gè)不等式的解集是確定的：x〈1，第一個(gè)不等式的解集不確定：x〉-a；

第二步：畫(huà)數(shù)軸，首先畫(huà)x〈1對(duì)應(yīng)的解集，結(jié)合題意不等式組有解，說(shuō)明兩個(gè)解集有公共部分，確定-a的大致位置，在1的左側(cè)；

第三步：通過(guò)試驗(yàn)，讓-a和1相等確定界點(diǎn)可否取到，從而確定-a的具體范圍，進(jìn)一步得到a的取值范圍。

三、提升

2. 已知關(guān)于x的不等式2x-b〈0的正整數(shù)解恰是1, 2, 3, 則b的取值范圍是 _______.

這是一個(gè)含字母的一元一次不等式，給了正整數(shù)解，要確定字母b的取值范圍。在變式1的基礎(chǔ)上，稍微有點(diǎn)提升，好多學(xué)生可能只會(huì)想到b有下限，實(shí)則還需要確定字母b的上限。應(yīng)該說(shuō)有點(diǎn)難度。但是畫(huà)了數(shù)軸后，學(xué)生就會(huì)豁然開(kāi)朗了。

如上圖，先畫(huà)出數(shù)軸標(biāo)出1，2，3，完成解題第一步；根據(jù)題意，解集中恰好僅包含1，2，3這三個(gè)正整數(shù)解，確定在3右側(cè)，好多學(xué)生在這會(huì)丟掉b的上限，因?yàn)轭}目中有個(gè)“恰”字，說(shuō)明只能到3，而不能包含4，這樣進(jìn)一步確定在4左側(cè)，也就是說(shuō)在3和4之間，完成解題的第二步；第三步，確定是否包含臨界點(diǎn)（3和4），可以通過(guò)帶進(jìn)去試的方法，最后確定 的具體范圍，從而求出b的范圍。

四、綜合

此題在第2題的基礎(chǔ)上又有了提升，不等式變?yōu)椴坏仁浇M，字母?jìng)€(gè)數(shù)由一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)，當(dāng)然條件由正整數(shù)解恰為1，2，3變?yōu)檎麛?shù)解只有1,2, 3。題目形式上有了變化，看似變難了。但如果掌握了前面畫(huà)數(shù)軸的辦法，本質(zhì)上又沒(méi)有變。

不等式②中b的范圍的確定和剛才題2完全一樣，不等式①中a的范圍的求法和②中b的范圍的求法完全一樣，區(qū)別在于在界點(diǎn)的確定上。所以有了解第2題的基礎(chǔ)，解第3題就輕而易舉了。

五、變式

此題在題3的基礎(chǔ)上，又有了變化。將題3中的不等式②變成了絕對(duì)值不等式，看似變得更難。但結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義，還是通過(guò)數(shù)軸畫(huà)出圖形后，本質(zhì)上基本沒(méi)有變。解法和剛才一樣。

解法：第一步：由不等式②得到，由不等式①得到

第二步：畫(huà)數(shù)軸，同樣先在數(shù)軸上標(biāo)出已經(jīng)確定的1，2，3，然后讓在數(shù)軸上動(dòng)起來(lái)，但要注意與是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，這樣就容易確定在3和4之間，對(duì)應(yīng)的-一定會(huì)在-4和-3之間，所以下限必須由來(lái)控制，也就是說(shuō)，在0和1之間，不等式組的解集是

數(shù)軸如下圖所示：

第三步：確定是否包含界點(diǎn)，從而最后確定a,b的范圍。

在變式2的基礎(chǔ)上條件有了變化，如果掌握了如何通過(guò)畫(huà)數(shù)軸來(lái)確定待定字母在數(shù)軸上的位置，這道題也就手到擒來(lái)了。

在變式2的基礎(chǔ)上，我們知道在2和3之間，此時(shí)-一定會(huì)在-3和-2之間，也就是說(shuō)原不等式組的解集一定是而不再是換言之，此時(shí)應(yīng)該在-的左側(cè)。其實(shí)在畫(huà)數(shù)軸的時(shí)候也很容易發(fā)現(xiàn)-2，-1和1, 2是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，如果上限由確定，那么下限一定由-來(lái)控制。

數(shù)軸如下圖所示：

結(jié)合數(shù)軸可以更直觀地看出變式2和變式3之間的關(guān)系，也可以直接看出不等式組中解集之間的關(guān)系。

綜合所述，有關(guān)含字母的一元一次不等式（組）的綜合應(yīng)用的題目雖千變?nèi)f化，不勝枚數(shù)，但解這類題有通法：

1. 求不等式(組)的解集；

2. 根據(jù)題意,把不等式(組)的解集表示在數(shù)軸上；

3. 利用數(shù)軸,確定有關(guān)字母的取值范圍；

4. 確定是否包含邊界點(diǎn)；

5. 確定結(jié)論。

當(dāng)然在解此類題的過(guò)程中畫(huà)好數(shù)軸特別重要。只要掌握了“萬(wàn)變不離其宗”的解題技巧，將會(huì)使形式多樣的有關(guān)含字母的一元一次不等式（組）的綜合應(yīng)用的問(wèn)題迎刃而解。