一種帶形狀參數(shù)的新曲線構造*

張丹丹, 勞志鴻

(安徽廣播電視大學安慶分校，安徽 安慶 246001)

一種帶形狀參數(shù)的新曲線構造*

張丹丹, 勞志鴻

(安徽廣播電視大學安慶分校，安徽 安慶 246001)

定義了帶兩個形狀參數(shù)α,β組成的混合函數(shù)，該混合函數(shù)組成的曲線具有Bézier曲線類似的幾何性質(zhì)；形狀參數(shù)α,β取不同的數(shù)值時，曲線的形狀可以進行調(diào)控，這種新的曲線具有簡單的光滑拼接條件；給出了曲線間G2光滑拼接條件，前面一條曲線的末控制邊與后一條曲線的首控制邊重合，最后通過實例說明了該方法的幾何造型中的有效性.

形狀參數(shù)；曲線設計；混合函數(shù)；曲線拼接

在計算機輔助幾何設計(CAGD)中，Bézier曲線和B樣條曲線是最主要的兩類曲線.這兩類曲線有很多優(yōu)點，因此在幾何設計中被人們廣泛應用，但在形狀設計中也存在著一定的缺陷.為此，人們不斷地研究出一些新的曲線來對它們進行改進.

為了調(diào)整這兩種曲線在形狀方面的靈活性，人們引入了形狀參數(shù)，定義了具有Bézier曲線、B樣條曲線類似幾何特性的新的曲線.文獻[1]利用de Casteljau算法進行遞推，定義了帶形狀參數(shù)的α、β的(n+2)次αβ-Bézier曲線.文獻[2]基于一種函數(shù)的高階逼近式，定義了帶形狀參數(shù)的廣義Bézier曲線，對目標導矢和目標二階導矢的系數(shù)可以進行調(diào)整.文獻[3-4]研究了帶一個和多個形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線，可對曲線的形狀進行靈活的調(diào)控.

此外，單一的Bézier曲線、B樣條曲線無法滿足實際造型設計中的需求，于是人們開始研究組合曲線的拼接問題.文獻[5]討論了帶多個形狀參數(shù)的3次擴展Bézier曲線的拼接問題.文獻[6-7]研究了TC-Bézier曲線曲面、TC-B樣條曲線曲面，并給出了兩曲線的G1和G2拼接條件.文獻[8]定義了一種由混合函數(shù)組成的n階新曲線，給出了組合曲線在公共連接點處的拼接條件.

本文在文獻[8]的基礎上，定義了由兩個形狀參數(shù)α，β的混合函數(shù)組成的n階新曲線，組合的新曲線具有簡單的光滑拼接條件，給出了曲線間的G2拼接條件.

1 混合函數(shù)的定義及性質(zhì)

定義1 設參數(shù)α∈(-3,1]，β∈(-3,1]，t∈[0,1].

(1)

稱為含參數(shù)α,β的2階混合函數(shù).當n≥3時，

圖1-圖4給出了參數(shù)α,β取不同值時的混合函數(shù)圖像，圖中實線為參數(shù)α=-2，β=-2時的混合函數(shù)圖形，虛線為參數(shù)α=-1，β=-1時的混合函數(shù)圖形，點線為參數(shù)α=1，β=1時的混合函數(shù)圖形.

圖1 二階α, β混合函數(shù)Fig.1 Two order α, β mixed function

圖2 三階α, β混合函數(shù)Fig.2 Three order α, β mixed function

圖3 四階α, β混合函數(shù)Fig.3 Four order α, β mixed function

圖4 五階α, β混合函數(shù)Fig.4 Five order α, β mixed function

參數(shù)α,β的混合函數(shù)具有以下性質(zhì).

(1) 非負性. 當α,β∈(-3,1]，n≥2時，任意n階混合函數(shù)bi,n≥0.

這艘船如同一棟別墅一樣，應有盡有。他們走進沙畫室，阿巴的眼前出現(xiàn)了許多他曾經(jīng)在沙灘上畫下的船只。韓貝告訴他，自己是住在貝殼里的小妖，貝殼就是用來收集寶貝的，阿巴的那枚貝殼是她送的。她收藏了阿巴畫下的船只，所以給他這枚貝殼船票。貝殼小妖們只邀請信得過的朋友上船。

證明 由二階混合函數(shù)知

設A1=(1-αt)(1-t)3，A2=(3+α)t-(3+3α)t2+(3α+β)t3-(α+β)t4，A3=(1-β+βt)t3.

其中，Bi4(i=0,1,2,3,4)為四次Bernstein基，則Bi4≥0.當α,β∈(-3,1]時，A1、A2、A3≥0.證畢.

(3) 對稱性. 當α,β∈(-3,1]且α=β時，bi,n(α,β;t)=bn-i,n(α,β;1-t).

2 曲線的定義及其性質(zhì)

定義2 給定控制頂點Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,…,n;n≥2)，參數(shù)α,β∈(-3,1]，稱

為由參數(shù)α、β的混合函數(shù)定義的n階α，β曲線.

該曲線具有如下性質(zhì).

(1) 凸包性.

(2) 幾何不變性.

(3) 對稱性. 當α,β∈(-3,1]且α=β時，p(t)=p(1-t).

(4) 端點性質(zhì).

圖5-圖8分別給出了參數(shù)α,β取不同值時的α,β曲線圖像，圖中實線為參數(shù)α=-2，β=-2時的曲線圖形，虛線為參數(shù)α=-1，β=-1時的曲線圖形，點線為參數(shù)α=1，β=1時的曲線圖形.

圖5 二階α, β曲線Fig.5 Two order α, β curve

圖6 三階α, β曲線Fig.6 Three order α, β curve

圖7 四階α, β曲線Fig.7 Four order α, β curve

圖8 五階α, β曲線Fig.8 Five order α, β curve

3 曲線之間的拼接

則兩條曲線在公共連接點處G2光滑拼接.

證明 由曲線的端點性質(zhì)知

當Q0=Pm-1，Q1=Pm時，有

p2(0)=p1(1)

所以兩條曲線在公共連接點處G2光滑拼接.證畢.

圖9為參數(shù)α=β=-2時，兩個四階曲線間的G2拼接圖形，圖10為參數(shù)α=β=-2時，兩個五階曲線間的G2拼接圖形， 圖11為參數(shù)α=β=-1時，三階、四階曲線間的G2拼接圖形，圖11、圖12為參數(shù)α=β=-1時，四階、五階曲線間的G2拼接圖形.

圖9 四階曲線間的拼接Fig.9 The splicing of the four order curves

圖10 五階曲線間的拼接Fig.10 The splicing of the five order curves

圖11 三階、四階曲線間的拼接Fig.11 The splicing of the three order and four order curves

圖12 四階、五階曲線間的拼接Fig.12 The splicing of the four order and five order curves

4 曲線拼接的實例

在曲線造型設計中，由于α，β曲線間G2拼接條件很容易滿足，在造型應用中極易實現(xiàn).下面給出了花瓣圖形及花瓶圖形的造型實例.圖13為α=β=-2，α=β=-1，α=β=1三階曲線組成的花瓣圖形.圖14為α=β=1三階、四階組成曲線組成的花瓶圖形.

圖13 花瓣圖形Fig.13 The petal figure

圖14 花瓶圖形Fig.14 The vase figure

5 結(jié) 論

定義的帶參數(shù)α，β的混合曲線，具有Bézier曲線類似的幾何性質(zhì)，相對于其他曲線而言，這種曲線光滑拼接條件比較簡單，例如,G2光滑拼接,只需要前一條曲線的控制多邊形的末邊與后一條曲線的控制多邊形的首邊重合即可.但是由于采用的混合函數(shù)作為基函數(shù)，大大增加了計算量，因此，如何克服這個不足之處，將是以后進一步研究的問題.

[1] 嚴蘭蘭,梁炯豐,黃濤.帶形狀參數(shù)的Bézier曲線[J].合肥工業(yè)大學學報(自然科學版),2009,32(11):1783-1788

YAN L L,LIANG J F,HUANG T.Bézier Curves with Shape Parameters[J].Journal of Hefei University of Technology (Natural Science Edition),2009,32(11):1783-1788

[2] 韓旭里,胡奇輝，彭豐富.廣義Bézier曲線[J].計算機輔助幾何設計與圖形學學報,2006，18(3):406-409

HAN X L,HU Q H,PENG F F.Generalized Bézier Curves[J].Journal of Computer-aided Design & Computer Graphics,2006，18(3):406-409

[3] 王文濤,汪國昭.帶形狀參數(shù)的均勻B樣條[J].計算機輔助幾何設計與圖形學學報,2004，16(6):783-788

WANG W T,WANG G Z.Uniform B-Spline with Shape Parameter[J].Journal of Computer-aided Design & Com-puter Graphics,2004,16(6):783-788

[4] 張莉,鄔弘毅.多形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線[J].合肥工業(yè)大學學報,2007,30(2):252-256

ZHANG L,WU H Y.Uniform B-spline Curves with Multiple Shape Parameter[J].Journal of Hefei University of Tech-nology,2007,30(2):252-256

[5] 胡鋼,張念娟,秦新強,等.帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線曲面的光滑拼接[J].西安理工大學學報,2009,25(4):482-486

HU G,ZHANG N J.QIN X Q,et al.Research on the Smooth Splice for CubicBézier Curves and Surfaces with Multiple Shape Parameters[J].Journal of Xi’an University of Tech-nology,2009,25(4):482-486[6] 孫潔保,江平,程彪,等.TC-Bézier曲線曲面拼接[J].山東理工大學學報(自然科學版),2011,25(3):39-43

SUN J B,JIANG P,CHENG B,et al.The Joining Between Adjacent TC-Bézier Curves Surfaces[J].Journal of Shandong University of Technology (Natural Science Edition),2011,25(3):39-43

[7] 陳柏,檀結(jié)慶.TC-B樣條曲線曲面的拼接[J].合肥工業(yè)大學學報(自然科學版),2011,34(5):781-785

CHEN B,TAN J Q.Joining of TC-B Spline Curves and Surfaces[J].Journal of Hefei University of Technology (Natural Science Edition),2011,34(5):781-785

[8] 嚴蘭蘭,韓旭里.一種新的曲線曲面[J].圖學學報,2014,35(4):528-535

YAN L L,HAN X L.A New Kind of Curves and Surfaces[J].Journal of Graphics,2014,35(4):528-535

責任編輯：羅姍姍

A New Kind of Curve Construction with Shape Parameters

ZHANG Dan-dan, LAO ZHI-hong

(Anqing Branch, Anhui Radio and Television University, Anhui Anqing 246001, China)

This paper defines the mixed function with shape parameterα,β, and the curve of the mixed function holds many similar geometrical qualities of Bezier curve. The shape of the curve can be adjusted when changing the value of the shape parameterα,βand this kind of new curve has simple smoothing match condition. This paper givesG2smoothing match condition between the curves, reveals that the last edge of the first curve’s control polygon and the first edge of the second curve’s control polygon are coincident, and finally uses the examples to illustrate the effectiveness of this modeling method in geometrical shape.

shape parameter; curve design; mixed function; curve match

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0003.003

2016-10-02；

2016-11-14. * 基金項目：安徽省高校自然科學研究重點項目(KJ2016A110)；安徽廣播電視大學青年教師科研資金項目(QN15-01).

張丹丹(1984-)，女，安徽安慶人，講師，碩士研究生，從事計算機輔助設計研究.

TP391

A

1672-058X(2017)03-0011-05