關(guān)于誤差橢圓教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的新思考

劉長建

(信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052)

關(guān)于誤差橢圓教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的新思考

劉長建

(信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052)

誤差橢圓既具有重要的實(shí)用價(jià)值又具有重要的理論基礎(chǔ)意義。近些年來，誤差橢圓的應(yīng)用范圍不斷拓展，該部分內(nèi)容在誤差理論與數(shù)據(jù)處理課程中更加值得重視。為適應(yīng)新的發(fā)展，本文對(duì)誤差橢圓教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了新的思考與設(shè)計(jì)，從點(diǎn)位精度與誤差橢圓、誤差橢圓的概率意義、參數(shù)向量的假設(shè)檢驗(yàn)3大部分進(jìn)行了闡述。

誤差橢圓；教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)；新思考

誤差橢圓一直是誤差理論與數(shù)據(jù)處理教材中比較獨(dú)立的章節(jié)[1-3]。傳統(tǒng)的控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)與質(zhì)量分析中，常常需要關(guān)注控制點(diǎn)的點(diǎn)位精度和某些特殊方向的點(diǎn)位精度，這一應(yīng)用背景是教材中引入誤差橢圓內(nèi)容的一般出發(fā)點(diǎn)，基本教學(xué)內(nèi)容如圖1所示。

圖1 誤差橢圓基本教學(xué)內(nèi)容

近些年來，誤差橢圓除繼續(xù)用于傳統(tǒng)控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)與質(zhì)量分析外[4]，還用于GIS基本幾何要素置信域與可視化研究[5]、衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)精度評(píng)估[6]、飛機(jī)導(dǎo)航性能實(shí)時(shí)評(píng)估與監(jiān)視[7]、戰(zhàn)場目標(biāo)位置不確定性研究與可視化[8]、雷達(dá)定位精度分析和圖形描述[9]、導(dǎo)彈落點(diǎn)誤差分析[10]等多種場合，維數(shù)也拓展到三維甚至更高維。

誤差橢圓既具有重要的實(shí)用價(jià)值，又具有理論基礎(chǔ)意義。為適應(yīng)新的發(fā)展，對(duì)誤差橢圓教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了新的設(shè)計(jì)，分為點(diǎn)位精度與誤差橢圓、誤差橢圓的概率意義、參數(shù)向量的假設(shè)檢驗(yàn)3大部分，下面分別加以闡述。

1 點(diǎn)位精度與誤差橢圓

1.1 點(diǎn)位精度

主要內(nèi)容可見文獻(xiàn)[1—3]，建議對(duì)點(diǎn)位方差的定義進(jìn)行引申。點(diǎn)位方差的定義為

(1)

實(shí)際等價(jià)于

(2)

1.2 任意方向點(diǎn)位精度及其極值

為了便于向三維誤差橢球乃至超橢球過渡，建議采用條件極值法推導(dǎo)任意方向點(diǎn)位精度及其極值，以下給出具體內(nèi)容。

(3)

其中

(4)

(5)

對(duì)式(3)應(yīng)用誤差傳播律，可得

(6)

其中

(7)

以上兩式展開后即

(8)

(9)

圖2 任意方向α上的點(diǎn)位誤差

由式(5)可知，向量s代表了α方向，是待求的方向向量。s的分量為α方向與x軸、y軸夾角的余弦，因此有

sTs=1

(10)

在滿足此條件的前提下，求式(7)表示的quα的極值，可組成函數(shù)

式中，λ為未知聯(lián)系數(shù)。令

可得

(11)

左乘sT，得

(12)

式(12)表明，quα的極值就是聯(lián)系數(shù)λ。

可解得

λ為二重根。令

(13)

取

(14)

(15)

(16)

將解出的λ1、λ2回代到式(11)中，顧及式(5)，便可解得σu的最大值、最小值方向及它們的方向向量，即

(17)

(18)

(19)

(20)

另外，由式(17)、式(19)還可以得出

(21)

式(21)是關(guān)于α1、α2的另外一種求法，但角度的象限判斷比較麻煩。

以上就是按求條件極值的方法，推導(dǎo)任意方向點(diǎn)位精度極值的過程。要強(qiáng)調(diào)的是，向量s1、s2既是對(duì)應(yīng)λ1、λ2的單位特征向量，又是使得任意方向點(diǎn)位精度取得最大值、最小值的方向向量。

另外，為討論需要，對(duì)矩陣

(22)

作一簡單分析。由線性代數(shù)可知，S為正交矩陣，且有

(23)

或

(24)

因s1、s2相互垂直，取α2=α1+90°并代入式(22)，S還可以表示為

(25)

以上關(guān)于推導(dǎo)過程的建議，進(jìn)一步加強(qiáng)了線性代數(shù)在本課程中的應(yīng)用，如式(23)形式的矩陣譜分解，在近代平差理論中經(jīng)常遇到。

1.3 誤差橢圓及其方程

這部分通常先介紹誤差曲線，再引入誤差橢圓。建議：給出橢圓方程；規(guī)定長軸方向角的取值范圍。

1.3.1 橢圓方程

在圖3所示的ξPη坐標(biāo)系中，誤差橢圓方程形式最為簡單，其標(biāo)準(zhǔn)形式為

(26)

圖3 誤差曲線與誤差橢圓

(27)

(28)

式中，S矩陣即式(25)表示的S。

考慮到式(24)，式(27)的左端還可以表示為

(29)

因此，xoy坐標(biāo)系中誤差橢圓方程為

(30)

類似的，誤差橢圓也可以擴(kuò)展到三維，即誤差橢球。

1.3.2 長軸方向角的規(guī)定

高斯平面坐標(biāo)由x軸方向到y(tǒng)軸方向的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成左手坐標(biāo)系，圖3中ξ軸(長軸)方向到η軸(短軸)方向的旋轉(zhuǎn)最好也采用左手坐標(biāo)系?？紤]到任意方向點(diǎn)位方差對(duì)稱于P點(diǎn)，建議將α1限制在小于180°的范圍內(nèi)，短軸方向取為α1+90°，這樣在利用式(17)求長軸方向時(shí)就規(guī)避了多值性問題，且不影響實(shí)際應(yīng)用。

此外，由于數(shù)字化程度的提高，誤差曲線的繪制不再是問題，建議將從誤差橢圓量取有關(guān)量中誤差的內(nèi)容加以弱化，僅簡要介紹做法。

以上建議體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)相關(guān)內(nèi)容在專業(yè)中的具體化應(yīng)用，特別是對(duì)式(30)二次型表示的橢圓方程的理解，同時(shí)，也通過式(28)引入了坐標(biāo)變換這一重要的基本知識(shí)點(diǎn)。

1.4 相對(duì)誤差橢圓

這部分內(nèi)容建議弱化從相對(duì)誤差橢圓量取有關(guān)量中誤差的內(nèi)容，僅簡要介紹做法。

2 誤差橢圓的概率意義

2.1 置信橢圓

誤差橢圓是圖4中xoy面上同族的置信橢圓之一，平差點(diǎn)落入置信橢圓內(nèi)的概率推導(dǎo)，可見文獻(xiàn)[1—2]。在得出概率計(jì)算式

(31)

(32)

圖4 二維正態(tài)分布密度曲面與置信橢圓

2.2 圓概率誤差

在導(dǎo)航、軍事等應(yīng)用領(lǐng)域，經(jīng)常使用圓概率誤差(circular error probable,CEP)[13]。所謂圓概率誤差，是以真實(shí)位置為圓心，隨機(jī)點(diǎn)落入其中概率為β%的圓的半徑，記為Rβ，常用的有R50、R90、R95等。

采用ξPη坐標(biāo)系，圓概率誤差可以描述為

(33)

類似的，圓概率誤差的概念也可以擴(kuò)展到三維，即球概率誤差。

3 參數(shù)向量的假設(shè)檢驗(yàn)

有了前述內(nèi)容作基礎(chǔ)，可以很容易理解式(30)的擴(kuò)展含義。以間接平差為例，t維參數(shù)的超橢球?yàn)?/p>

(34)

點(diǎn)位落入超橢球內(nèi)的概率表達(dá)式為

(35)

(36)

(37)

(38)

4 結(jié) 語

誤差橢圓既具有重要的實(shí)用價(jià)值又具有重要的理論基礎(chǔ)意義，是誤差理論與數(shù)據(jù)處理課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。近年來，誤差橢圓的應(yīng)用范圍仍在不斷拓展，該部分內(nèi)容在誤差理論與數(shù)據(jù)處理課程中更加應(yīng)該受到重視。

為適應(yīng)新的發(fā)展，對(duì)誤差橢圓教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)進(jìn)行了新的思考，主要有：更加突出了誤差橢圓概率意義的講解；采用了更易于向三維乃至多維擴(kuò)展的推導(dǎo)方法；加強(qiáng)了橢圓二次型方程與標(biāo)準(zhǔn)二次型方程的轉(zhuǎn)換與理解；引入了其他領(lǐng)域常用的圓概率誤差；對(duì)從圖上量取有關(guān)中誤差的講解進(jìn)行了弱化；對(duì)誤差橢圓長軸方向角的規(guī)定給出了建議。從知識(shí)的系統(tǒng)性角度，新的設(shè)計(jì)更加注重了概率論、線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)等課程知識(shí)在本課程中的應(yīng)用，同時(shí)也考慮了向近代平差內(nèi)容的過渡及與其他專業(yè)課程知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系。

[1] 武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平差學(xué)科組．誤差理論與測量平差基礎(chǔ)[M]．3版. 武漢：武漢大學(xué)出版社，2015:194-209．

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New Thinking about the Design of Error Ellipse Teaching Contents

LIU Changjian

(School of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China)

Error ellipse is of important practical value and the theoretical basis of significance. In recent years, the application range of error ellipse is expanding, and the part in the error theory and data processing course is more worthy of attention. In order to adapt to the new development, new thinking on the error ellipse of teaching content and design are elaborated, from the positional accuracy and error ellipse, the meaning of the probability of error ellipse and the parameter vector of hypothesis test.

error ellipse; design of teaching contents; new thinking

劉長建.關(guān)于誤差橢圓教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的新思考[J].測繪通報(bào)，2017(5)：143-146.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0175.

2016-05-06

國家自然科學(xué)基金(41374041)

劉長建(1973—)，男，博士，副教授，主要從事誤差理論和數(shù)據(jù)處理研究。E-mail: chxycj@163.com

G64

A

0494-0911(2017)05-0143-04