化“折”為“直” 巧解最值

王學(xué)俊

化“折”為“直” 巧解最值

王學(xué)俊

轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問題的基本思路是：化未知為已知，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)的問題常規(guī)化，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，實(shí)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問題轉(zhuǎn)化為有章可循、容易解決的問題的思想.

【探索活動(dòng)】

引例：如圖1，在一條小河l（小河的寬度忽略不計(jì)）的兩側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，在小河邊修一碼頭P，使PA+PB和最短.

圖1

圖2

【分析】可能你不難發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的位置，連接AB與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖2.因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，求“共點(diǎn)折線”（有公共端點(diǎn)的折線段）的最值問題，把“折線”轉(zhuǎn)化為“直線”是解決這一類問題的基本模型.

變式：如圖3，若兩個(gè)村莊A、B在小河l的同側(cè)，在小河邊修一碼頭P，使PA+PB和最短.

圖3

圖4

【分析】這也是一道求“共點(diǎn)折線”的最值問題，但與上題的不同之處在于：兩定點(diǎn)位于動(dòng)點(diǎn)所在直線的同側(cè).如圖4，利用對(duì)稱性把同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為兩側(cè)問題，且可保證動(dòng)點(diǎn)P到A、A′的距離相等，要求PA+PB和最短，只要求PA′+PB和最短，這樣，化“折”為“直”即可解決.

【提煉方法】

求“共點(diǎn)折線”的最值問題方法：

（1）若兩定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在直線的同側(cè)，利用對(duì)稱性，把同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為兩側(cè)問題；

（2）通過化“折”為“直”來巧解最值.

【知識(shí)運(yùn)用】

一、兩折線問題

例1 如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且DP=1，Q是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，求：QP+QD的最小值.

圖5

圖6

【分析】求動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)D、P的距離和的最小值，就是求“共點(diǎn)折線”的最值問題，你能從復(fù)雜的圖形中找到熟悉的原型嗎？

【解題思路】

（1）化同側(cè)為兩側(cè)：如圖6，找到點(diǎn)D關(guān)于動(dòng)點(diǎn)Q所在直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B；

（2）化“折”為“直”：連接BP，線段BP的長(zhǎng)即為QP+QD的最小值.

因?yàn)樵赗t△BCP中，BC=4，CP=3，所以BP=5，即QP+QD的最小值為5.

變式：如圖7，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求：MN+BM的最小值.

圖7

【分析】這是一道求“共點(diǎn)折線”的最值問題，與之前有所不同的是：點(diǎn)N也是一個(gè)動(dòng)點(diǎn).要將其轉(zhuǎn)化為所學(xué)的方法解決，必需化“動(dòng)”為“定”，可先將點(diǎn)N看成一個(gè)定點(diǎn)來解決.

【解題思路】

（1）化“動(dòng)”為“定”：先把動(dòng)點(diǎn)N看成定點(diǎn)，利用化“折”為“直”找到線段和的最小值.如圖8，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′N，線段B′N的長(zhǎng)即為MN+BM的最小值.

（2）再把點(diǎn)N看成動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到B′N⊥AB時(shí)，線段B′N的長(zhǎng)度最小，如圖9.這樣問題就轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)B′到線段AB的距離.

圖8

圖9

因?yàn)锳B=4，所以AB′=4，

在△ANB′中，∠ANB′=90°，∠BAC=45°， sin45°=NB′∶AB′，∴B′N=22，即MN+BM的最小值為

【題后反思】求“共點(diǎn)折線”的最值問題，要能從復(fù)雜的圖形中找到熟悉的原型，從而把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.若兩定點(diǎn)變?yōu)橐粍?dòng)一定時(shí)，可將動(dòng)點(diǎn)看成定點(diǎn)，把非常規(guī)問題常規(guī)化.

二、三折線問題

例2 如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，3），B（4，1），在x軸上找一點(diǎn)M，在y軸上找一點(diǎn)N，使四邊形ABMN周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)M、N坐標(biāo).

圖10

【分析】圖中A、B為定點(diǎn)，M、N為動(dòng)點(diǎn)，所以AB長(zhǎng)度為定值，要使四邊形周長(zhǎng)最小，只要AN+NM+MB和最小，這是一道“三折線”和最小問題.要想用所學(xué)的知識(shí)來解決，必需遮擋住其中一條折線，使其轉(zhuǎn)化為“兩折線”問題，找出表示兩折線和的最小線段，再求出與第三條折線和的最小值.

【解題思路】

（1）化“三折”為“兩折”：遮擋住其中一條線段，如圖11，把點(diǎn)M看成定點(diǎn)，線段A′M長(zhǎng)即為AN+NM和的最小值.

（2）再求A′M+MB和的最小值，如圖12，線段A′B′長(zhǎng)即為AN+NM+MB和的最小值.

（3）要求M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，可先求出直線A′B′的函數(shù)關(guān)系式，再求它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

圖11

圖12

由對(duì)稱可知：A′（-1，3），B′（4，-1）.

【題后反思】求“三折線”和最小問題，我們可以遮擋一部分，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的“兩折線”問題求解，再依次求解.以后遇到多折線都可以用這方法.

變式：如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，3），B（4，1），在x軸上有兩點(diǎn)C（a，0），D（a+2，0），當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形ABDC周長(zhǎng)最小.

圖13

【分析】圖中A、B為定點(diǎn)，所以AB長(zhǎng)為定值，這也是一個(gè)“三折線”和最小問題，但從C、D坐標(biāo)可看出CD=2，要使四邊形周長(zhǎng)最小，只要AC+BD和最小.這與“共點(diǎn)折線”不同的是，這兩條線段沒有公共端點(diǎn).要想用所學(xué)知識(shí)來解決，就要使兩條線段有公共端點(diǎn)，可以通過平移變換將其轉(zhuǎn)化為“共點(diǎn)折線”來解決.

【解題思路】

（1）將兩線段轉(zhuǎn)化為“共點(diǎn)折線”：如圖14，將點(diǎn)B水平向左平移2個(gè)單位，連接CB′，即得到CB′=DB，AC+BD=AC+B′C；

（2）如圖15，當(dāng)AC+CB′的和最小時(shí)，確定點(diǎn)C的位置；

（3）求出直線AB″的函數(shù)關(guān)系式與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C坐標(biāo).

圖14

圖15

因?yàn)锽（4，1），所以B′（2，1），B″（2，-1），

直線AB″的函數(shù)關(guān)系式是y=-4x+7，

【題后反思】若兩線段無公共端點(diǎn)，要求它們和的最小值，可先通過平移將其轉(zhuǎn)化為“共點(diǎn)折線”，再化“折”為“直”來求和的最小值.

在解決上述問題的過程中，我們應(yīng)用了化“折”為“直”、化“動(dòng)”為“定”、化“三折”為“兩折”等方法，充分體現(xiàn)了用轉(zhuǎn)化思想解決問題的基本思路，也體現(xiàn)了把不易解決的問題轉(zhuǎn)化為有章可循、容易解決的問題的思想.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)直溪中學(xué)）