例析函數(shù)選擇壓軸題的解題策略

珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)(519100) 唐學(xué)寧

例析函數(shù)選擇壓軸題的解題策略

珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)(519100) 唐學(xué)寧

函數(shù)選擇壓軸題由于其“數(shù)式”的變換及“形”的千姿百態(tài),展示了它特有的數(shù)形結(jié)合思想,對培養(yǎng)學(xué)生的觀察力,訓(xùn)練思維的廣闊性與深刻性發(fā)揮其特有的作用.然而,高考函數(shù)選擇題的得分率歷年來都較低,尤其是函數(shù)選擇題中的壓軸題得分率更是如此.為此,筆者通過對近年來的試題進(jìn)行分類解析,希望能給讀者一些啟示.

一、巧選特殊函數(shù) 用特殊值法

在函數(shù)問題中,如果已知條件中含有某些不確定的量,但題目暗示答案可能是一個(gè)定值時(shí),可以將一般函數(shù)取一個(gè)特殊的函數(shù)來求出這個(gè)定值,從而達(dá)到簡化求解過程的目的.

例1已知函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f(x)＜2f′(x)恒成立,且f(ln4)=2,則不等式f(x)＞的解集是( )

A. (ln2,+∞) B. (2ln2,+∞)

C. (?∞,ln2) D. (?∞,2ln2)

例2定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若對任意的實(shí)數(shù)x都有2f(x)+xf′(x)＜2恒成立,則使x2f(x)?f(1)＜x2?1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為( )

分析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù),我最快想到的函數(shù)是f(x)=0,計(jì)算f′(x)并代入驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)完全滿足條件2f(x)+xf′(x)＜2,因此可以直接取f(x)=0.

解令f(x)=0,計(jì)算可知滿足條件,則要解的不等式x2f(x)?f(1)＜x2?1變?yōu)閤2?1＞0,解之得(?∞,?1)∪(1,+∞),答案為B.

點(diǎn)評聯(lián)系已知條件和結(jié)論,構(gòu)造特殊函數(shù)是解高中數(shù)學(xué)函數(shù)選擇題中的巧妙方法,如果在題目中給出奇偶性與單調(diào)性,往往取多項(xiàng)式函數(shù)做為特殊函數(shù).

二、精挑選擇項(xiàng)值 用排除法

在函數(shù)選擇題中,如果一時(shí)沒有什么好的思路,也可以從選擇支中挑選一些值,代入題目中去驗(yàn)證,如果滿足條件,則表示該選擇支有可能就是要選的答案,這種方法對一些難、偏、繁問題有奇效.

例3已知函數(shù)f(x)=aex?x2?(3a+1)x,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,ln3)上有極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

分析觀察四個(gè)選擇項(xiàng),可以發(fā)現(xiàn),如果我們?nèi)=?2代入驗(yàn)證,可以一次性排除兩個(gè)答案.

解令a=?2,則f(x)=?2ex?x2+5x,得f′(x)=?2ex?2x+5,故f′(0)=?2+5=3＞0,f′(ln3)=?2×3?2ln3+5＜0,知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,ln3)上有極值,a=?2滿足條件,排除C、D兩個(gè)答案.觀察A、B,發(fā)現(xiàn)只須選a=?1進(jìn)行驗(yàn)證即可.此時(shí)f(x)=?ex?x2+2x,f′(x)=?ex?2x+2,而f′(0)=?1+2=1＞0,f′(ln3)=?3?2ln3+2＜0,也滿足條件.因此選A答案.

點(diǎn)評用排除法的一般情況下要做兩次,第一次在四個(gè)選擇項(xiàng)里選值時(shí),應(yīng)選兩個(gè)包含這個(gè)值,另兩個(gè)不包含這個(gè)值,這樣就能排除兩個(gè)答案;第二次選值時(shí)怎么簡單怎么選.

例4若函數(shù)f(x)=ex(sinx+acosx)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

A.(?∞,?1] B.(?∞,?1) C.[1,+∞) D.(1,+∞)

分析四個(gè)選擇支這么有規(guī)律,不使用排除法都可惜了.取a=1可以一次排除兩個(gè)答案.

解令a=1,則

點(diǎn)評有些同學(xué)可能觀察到C、D答案全正,而A、B有正有負(fù),因此先選a=0,然后再選a=1,這其實(shí)也是一樣.在使用排除法過程中,選值非常重要,選值好,能簡化運(yùn)算,方便解題,選值不好,可能讓整個(gè)題目繁難復(fù)雜不可計(jì)算.

三、細(xì)畫函數(shù)圖像 用數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的基本研究對象,它們之間存在著對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系.數(shù)形結(jié)合思想,就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,通過對圖形的認(rèn)識、數(shù)形轉(zhuǎn)化,以提高思維的靈活性、形象性、直觀性,使問題化難為易,化抽象為具體.

例5.已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f(f(x))=a存在2個(gè)實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍為( )

A. [?24,0) B. (?∞,?24)∪[0,2)

C. (?24,3) D. (?∞,?24)∪[0,2]

分析方程f(f(x))=a是一個(gè)嵌套函數(shù),f(x)是一個(gè)分段函數(shù),如果直接去求f(f(x))的解析式,難度將相當(dāng)大.而如果畫出f(x)的圖像,根據(jù)圖像分析結(jié)果,難度將小很多.

解畫出y=f(x)的圖像如圖所示,觀察四個(gè)選擇項(xiàng),可選取a=?6.如果a=?6滿足條件,則可排除B、D,否則排除A、C.由f(f(x))=?6,得f(x)=?8或f(x)=2,而f(x)=?8有兩個(gè)根,f(x)=2有一個(gè)根,共3個(gè)根,因此不滿足條件,排除A、C.觀察B、D,選a=2,f(f(x))=2得f(x)=0,而當(dāng)f(x)=0時(shí)只有一個(gè)根x=?2(x=1是空心點(diǎn)),所以應(yīng)選答案B.

點(diǎn)評本題采用了數(shù)形結(jié)合與排除法,簡單易行,比使用直接求函數(shù)f(f(x))的解析式要簡單得多.其中選a=?6是為了更好的計(jì)算出根.

圖1

例6已知函數(shù)則下列關(guān)于函數(shù)y=f[f(x)]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是( )

A. 當(dāng)k＞0時(shí),有3個(gè)零點(diǎn);當(dāng)k＜0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn)

B. 當(dāng)k＞0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)k＜0時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)

C. 無論k為何值,均有2個(gè)零點(diǎn)

D. 無論k為何值,均有4個(gè)零點(diǎn)

分析方程y=f[f(x)]+1是一個(gè)嵌套函數(shù),求其解析式有一定難度,因此采用數(shù)形結(jié)合法.

圖2

圖3

解畫出函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,y=f[f(x)]+1的零點(diǎn)相當(dāng)于求方程f[f(x)]=?1的根.當(dāng)k＜0時(shí),由f[f(x)]=?1可得f(x)≈0.5,而f(x)=0.5只有一個(gè)根.這樣就可以判斷答案為B.當(dāng)k＞0時(shí),由f[f(x)]=?1可得f(x)≈0.5或f(x)≈?1左右,而f(x)=0.5有兩個(gè)根,f(x)=?1也有兩個(gè)根,因此共有四個(gè)根.

點(diǎn)評本題使用了f(x)≈0.5即近似值為0.5,可以這樣做的原因是:本題只要求零點(diǎn)個(gè)數(shù),不需要具體的值,采用近似值可以節(jié)約時(shí)間.

四、嘗試特殊位置 用試根法

函數(shù)零點(diǎn)問題是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的核心問題,對于一些特殊的函數(shù),如果適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用試根法,可以取得化腐朽為神奇的效果.

例7(根據(jù)2011年浙江卷理科 22題改編)設(shè)函數(shù)如果對于任意的x∈(1,3],都有f(x)≥?2e成立,則a的取值范圍是( )

A.(?∞,3e]B.(?∞,1) C.[3e,+∞) D.(1,+∞)

分析要求a的取值范圍,可以先使用分離變量,然后求最值的思想.

取(1,3e]中的x,使式子可以求值,自然想到x=e,代入發(fā)現(xiàn)果然是g′(x)=0的根.又因?yàn)楹瘮?shù)在(1,3e]上為增函數(shù),所以g′(x)=0有且只有x=e這個(gè)根,而x∈(1,e)時(shí),g′(x)＜0,x∈(e,3e)時(shí),g′(x)＞0.因此g(x)min=g(x)=3e,可知選A.

點(diǎn)評試根時(shí)如果是多項(xiàng)式函數(shù),常用的是0,±1,±2等等,如果含有式子lnx,則常用的是等等.

綜上所述,對于函數(shù)選擇壓軸題可以采用特殊值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法等方法簡便巧妙的選出答案;可能有部分同學(xué)認(rèn)為,不直接做,而是使用上述這些方法感覺上好像沒有把題目做出來一樣,心里不踏實(shí).事實(shí)上,到了高三,我們需要的是分?jǐn)?shù),高考兩個(gè)小時(shí),時(shí)間緊迫,短短的時(shí)間內(nèi)要解決完大量的試題,就必須做到分秒必爭,而直接做其實(shí)就是“小題大做”;只要能選出正確答案,沒有人關(guān)心你是直接求的,還是用其他什么方法的解出來的.在實(shí)際解題中,必須有意識的培養(yǎng)這些特殊思想,平時(shí)做試卷還應(yīng)該多加練習(xí),到考場時(shí)自然熟能生巧,事半功倍.