以簡馭繁簡中有道

摘要：解析幾何的求解思路清晰，但對運算能力的要求較高，不少學(xué)生往往會因為繁瑣的代數(shù)推導(dǎo)而心生畏懼，陷入進退失據(jù)的困境，以至出現(xiàn)因放棄不做、胡亂書寫、有始無終等找不到恰當(dāng)運算策略的行為習(xí)慣而導(dǎo)致得分率普遍較低的現(xiàn)象，因此，掌握必要的運算技能，避開繁瑣的計算，盡可能地簡化運算過程，就成為了準確、迅捷地解決此類問題的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：運算能力；代數(shù)推導(dǎo)；優(yōu)化過程

作者簡介：蔡勇全（1980-），男，四川遂寧人，碩士，中學(xué)一級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、回歸定義

“問渠那得清如許，為有源頭活水來”.定義正是一切概念的源頭活水，也是一切問題設(shè)計的出發(fā)點和落腳點.曲線的定義深刻地刻畫了曲線的本質(zhì)內(nèi)涵，所以在解析幾何問題面前感到無從下手、止步不前時，利用曲線的定義解決問題，往往能避繁就簡，省時省力，符合華羅庚先生提出的“復(fù)雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竊”，這里“最原始而不失去重要性的地方”其實就是研究對象的定義.

例1設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點A（6，4），則|PA|+|PF1|的最大值為.

解析由題意可知，|PF1|+|PF2|=10，F(xiàn)2（3，0），|AF2|=5，根據(jù)橢圓定義，|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10+（|PA|-|PF2|）≤10+|AF2|=15 （當(dāng)且僅當(dāng)P為線段AF2的延長線與橢圓的交點時等號成立），故應(yīng)填15.

變式1在平面直角坐標(biāo)系中，若方程k（x2+y2+6x-2y+10）-|x-y+3|=0表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍為（）

A.（0，12）B.（2，+∞）

C.（0，2）D.（12，∞）

解析觀察所給方程的左右兩邊結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)它們酷似兩種距離：兩點間的距離與點到直線的距離，而且該等式可變形為（x+3）2+（y-1）2|x-y+3|12+12=2k，由雙曲線的定義可知，該雙曲線的離心率為e=2k，所以2k>1，解得0

變式2已知直線l1∶4x-3y+6=0和直線l2∶x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為（）

A.2B.3C.115D.3716

解析直線l2∶x=-1為拋物線y2=4x的準線，由拋物線的定義可知，點P到l2的距離等于點P到焦點F（1，0）的距離，故本題轉(zhuǎn)化為：在拋物線上找一點P，使得點P到焦點F（1，0）的距離和點P到直線l1的距離之和最小，該最小值為焦點F（1，0）到直線l1的距離|4×1-3×0+6|42+（-3）2=2，故應(yīng)選A.

評注凡與離心率、焦距、焦點坐標(biāo)、準線等概念有關(guān)的解析幾何問題，幾乎都與相應(yīng)的圓錐曲線的定義有關(guān)，回歸定義求解往往是最直接的途徑，而且真正體現(xiàn)了定義的解題功能.此外，圓錐曲線的第二定義在現(xiàn)行教材中雖然是以閱讀材料的形式給出，但在拓展學(xué)生知識面以及幫助學(xué)生深刻理解圓錐曲線知識的內(nèi)涵方面有不容抹殺的價值.

二、借助平面幾何性質(zhì)

本質(zhì)上，解析幾何仍屬于幾何范疇，它與平面幾何圖形有著密切的聯(lián)系.在解決解析幾何問題時，若能根據(jù)圖形的特征，借助平面幾何性質(zhì)，如角平分線，中位線，切割線，相交弦，相似比等的性質(zhì)，往往能幫助我們更加看透問題的本質(zhì)，形成新穎獨特的解題思路，避免復(fù)雜運算，收到簡化運算步驟之效果.

例2橢圓x29+y24=1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的一個動點，當(dāng)∠F1PF2為銳角時，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

解析因為∠F1PF2為銳角，所以由圓的性質(zhì)可知，點P在以線段F1F2為直徑的圓的外部，又易知該圓與已知橢圓的四個交點的橫坐標(biāo)分別為±355，所以點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為（-3，-355）∪（355，3）.

變式1已知圓C∶（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過定點A（1，0），且與圓C相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2∶x+2y+2=0的交點為N，則AM·AN=.

解析由kAC=4-03-1=2，kl2=-12，所以AC⊥l2，設(shè)直線AC與l2交于點B，由垂徑定理可知，CM⊥PQ，故N，B，M，C四點共圓（以線段CN為直徑的圓），由相交弦定理可知，AM·AN=AC·AB=25×35=6，故應(yīng)填6.

變式2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C∶x2+（y-1）2=5，A為圓C與x軸負半軸的交點，過A作圓C的弦AB，記線段AB的中點為M.若OA=OM，則直線AB的斜率為.

解析設(shè)圓C與x軸正半軸的交點為N.由題意可知，OA=ON=OMAB⊥MN.因為M為弦AB的中點，所以由圓的性質(zhì)可知，直線MN一定經(jīng)過圓心C.又由題意可知，N（2，0），C（0，1），所以kMN=-12，kAB=2，故應(yīng)填2.

評注從條件類型來看，例2及其兩個變式是以解析幾何為載體、以平面幾何中發(fā)現(xiàn)的特征為背景而設(shè)計的.在解答過程中，巧妙地用到了平面幾何的性質(zhì)，極大地簡化了運算，這也告訴我們，不僅要善于發(fā)掘和利用隱含在解析幾何題目中的平面幾何特征，還要靈活運用平面幾何的性質(zhì)解答解析幾何問題.

三、利用向量方法

向量是溝通幾何與代數(shù)的重要橋梁，它具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份.它既能體現(xiàn)形的直觀的位置特征，又具有數(shù)的運算性質(zhì)，它可以將幾何問題數(shù)量化、坐標(biāo)化，尤其是可以使解析幾何中的“垂直問題”、“平行問題”、“角為鈍角或銳角”等問題輕松獲得解決.

例3已知A、B分別是橢圓x24+y23=1 （a>b>0）的左、右頂點，P是直線x=4上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓交于異于A、B的點M、N，求證：點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

證明由題意可知，A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（x0，y0），因為點M在橢圓上，所以y20=34（4-x20）①.又點M異于A、B，所以-20，所以BM·BP>0，故∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

變式1同例2.

解析由題意可知，F(xiàn)1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），設(shè)P（x0，y0），其中-30，即有（-5-x0）·（5-x0）+y20>0①.又點P在橢圓上，所以x209+y204=1，即y20=4-49x20②，將②代入①解得x0<-355或x0>355，又因-3

變式2設(shè)點A和B為拋物線y2=4x上異于原點的兩個動點，且OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線.

解析設(shè)M（x，y），A（4t21，4t1），B（4t22，4t2），其中x>0，t1t0≠0，且t1≠t2，所以O(shè)A=（4t21，4t1），OB=（4t22，4t2），OM=（x，y），AB=（4（t22-t21），4（t2-t1））.因為OM⊥AB，所以4t21·4t22+4t1·4t2=0，由t1t2≠0可知，t1t2=-1①.因為OM⊥AB，所以4（t22-t21）x+4（t2-t1）y=0，由t1≠t2可知，t1+t2=-yx②.又因A、B、M三點共線，所以AM∥BM，而AM=OM-OA=（x-4t21，y-4t1），BM=OM-OB=（x-4t22，y-4t2），由向量共線的充要條件可知，（x-4t21）（y-4t2）=（y-4t1）·（x-4t22），化簡得x-（t1+t2）y+4t1t2=0③，將①、②代入③可得，點M的軌跡方程為（x-2）2+y2=4 （x>0），它表示與y軸相切于原點的一個圓（不包括原點）.

評注從上述實例可以看到，向量方法的優(yōu)點是思路清晰，過程簡捷，不僅可以將幾何關(guān)系迅速地轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，具有事半功倍的效果，而且較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

四、設(shè)而不求

設(shè)而不求是指在解題時，可根據(jù)題意設(shè)出一些輔助元（參數(shù)），在求解的過程中，不必求出這些輔助元（參數(shù)）的值，僅把它作為橋梁或過渡元素，巧妙地消去這些輔助元（參數(shù)），達到降低難度的目的.在解決解析幾何問題時為優(yōu)化運算而常常采用這種方法.

例4過點（1，0）的直線l與中心在原點、焦點在x軸上且離心率為22的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=12x經(jīng)過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，求直線l和橢圓的方程.

解析設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦點為（c，0），則ca=22，所以a2=2c2=2（a2-b2）=2a2-2b2，a2=ab2，橢圓的方程為x22b2+y2b2=1x2+2y2=2b2.又a2=2c2=b2+c2，所以b=c.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以x21+2y21=2b2，x22+2y22=2b2，作差得kAB=y1-y2x1-x2=-（x1+x2）2（y1+y2）.設(shè)M（x，y）為AB的中點，則kAB=-x2y，因為M在直線y=12x，所以y=12（-2y）·kAB，則kAB=-1，于是l的方程為y=-x+1.又橢圓右焦點（b，0）關(guān)于y=-x+1的對稱點為（1，1-b）在橢圓x2+2y2=2b2上，故b=34，a2=98，所求橢圓C的方程為8x29+16y29=1.

變式1已知橢圓x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上有兩點A、B，線段AB的垂直平分線l與x軸交于點P（xp，0），求xp的取值范圍.

解析設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點坐標(biāo)為（x0，y0），則有x21a2+y21b2=1①，x22a2+y22b2=1②，由①、②兩式作差，得kAB=y2-y1x2-x1=-b2a2（x1+x2y1+y2）③.又k1=y0x0-xp=y1+y2x1+x2-2xp④.由AB⊥lkAB·kl=-1，③、④代入得xp=a2-b2a2，x1+x22.又x1+x22∈（-a，a），a2-b2>0，故xp∈（b2-a2a，a2-b2a）.

變式2已知拋物線y=x2的動弦AB滿足∠AOB=90° （O坐標(biāo)原點），求以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的交點Q的軌跡方程.

解析設(shè)A（x1，x21），B（x2，x22），Q（x，y），則以O(shè)A、OB為直徑的圓的方程分別為x2+y2-x1x-x21y=0①，x2+y2-x2x-x22y=0②，由①、②知x1、x2為關(guān)于t的方程yt2+xt-（x2+y2）=0的兩根，則x1x2=-x2+y2y③.又因OA⊥OB，所以x21x1·x22x2=-1，即x1x2=-1④，由③、④得x2+y2y=1，故點Q的軌跡方程為x2+y2-y=0.

評注在利用設(shè)而不求策略解題時，要注意韋達定理、判別式往往是與其相伴相隨出現(xiàn)的.此外，設(shè)而不求策略之下的“點差法”也是處理有關(guān)弦中點和斜率問題的常用辦法.

五、巧設(shè)方程

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，而方程無疑是代數(shù)方法的一個重要支撐，所以解決解析幾何問題時少不了從方程角度進行研究.解題時，若能根據(jù)題目的特點恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的設(shè)法，則往往能有效地避免分類討論，簡化運算，優(yōu)化解題過程.

例5過點P（2，4）且與拋物線y2=8x相切的直線方程為.

解析經(jīng)檢驗可知，點P在拋物線上，且過點P的切線不會與坐標(biāo)軸平行.設(shè)切線方程為x-2=m（y-4），即x=my-4m+2，聯(lián)立y2=8x，x=my-4m+2可得y2-8my+32m-16=0①，因為直線與拋物線相切于點P，所以方程①有兩個相等的實根4，由根與系數(shù)的關(guān)系可得4+4+=8m4×4=32m-16，解得m=1，所以所求切線方程為x-y+2=0，故應(yīng)填x-y+2=0.

變式求與圓x2+y2-4x-8y+15=0相切于點P（3，6）且經(jīng)過點Q（5，6）的圓的方程.

解析因為切點P（3，6）在已知圓上，將之設(shè)為“點圓”（x-3）2+（y-6）2=0，故可設(shè)所求圓的方程為x2+y2-4x-8y+15+λ（x-3）2+（y-6）2]=0.將點Q（5，6）代入所設(shè)方程中，解得λ=-2，于是所求圓的方程為x2+y2+8x-16y+75=0.

例5及其變式是通過設(shè)出曲線的一般方程來求解問題，事實上，根據(jù)題目的特點，還可以通過設(shè)出曲線的參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程來解答之，且看下面的例6、例7.

例6已知橢圓x224+y216=1，直線l∶x12+y8=1，P是l上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2，當(dāng)點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程.

解析設(shè)直線OP的傾斜角為α，設(shè)|OQ|=t1，|OR|=t2，|OP|=t3，所以t22=t1·t3①，則Q（t1cosα，t1sinα），R（t2cosα，t2sinα），P（t3cosα，t3sinα），把點R、P分別代入橢圓、直線方程可得t22cos2α24+t22sin2α16=1②，t3cosα12+t3sinα8=1③，將①代入②可得t1t3cos2α24+t1t3sin2α16=1④，由④與③作差可得t1cos2α24+t1sin2α16-cosα12-sinα8=0⑤，將⑤兩邊同×t1，得到（t1cosa）224+（t1sinα）216-t1cosα12-t1sinα8=0，所以點Q的軌跡方程為x224+y216-x12-y8=0，即2（x-1）25+3（y-1）25=1 （除去點（0，0））.

例7設(shè)A、B是橢圓x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上的兩點，且滿足OA⊥OB，求證：1OA2+1OB2為定值.

證明以O(shè)為極點，Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓x2a2+y2b2=1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θa2+ρ2sin2θb2=1，故1ρ2=cos2θa2+sin2θb2.在極坐標(biāo)系中，設(shè)A（ρ1，θ），B（ρ2，θ-π2），則1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=cos2θa2+sin2θb2+sin2θa2+cos2θb2=1a2+1b2（定值）.

評注解析幾何中常見的方程設(shè)法有：（1）若直線l過定點（m，n），則無論直線l的斜率存在與否，可設(shè)l的方程為A（x-m）+B（y-n）=0（A、B為常數(shù)），這里面有如下幾種情形：①若l的斜率為0，則l∶y=n；②若l的斜率不存在，則l∶x=m；③若l的斜率存在且不為0，則設(shè)l∶x=p（y-n）+m（p為常數(shù)）；④若l的斜率存在，則設(shè)l∶y=q（x-m）+n （q為常數(shù)）.（2）焦點位置不確定的橢圓方程（標(biāo)準型）常設(shè)為mx2+my2=1（m>0，n>0，m≠n）.（3）焦點位置不確定的雙曲線方程（標(biāo)準型）常設(shè)為mx2+ny2=1（mn<0）.（4）焦點位置不確定的拋物線方程（標(biāo)準型）常設(shè)為y=ax2或x=ay2（a≠0） .（5）與雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）有相同漸近線的雙曲線的方程常設(shè)為x2a2-y2b2=λ（λ≠0）.（6）與橢圓x2a2+

y2b2=1 （a>0，b>0，a≠b）有相同焦點的橢圓的方程常?？稍O(shè)為x2a2+m+y2b2+m=1 （m>-a2且m>-b2）.（7）與雙曲線x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）有相同焦點的雙曲線的方程常設(shè)為x2a2-m-y2b2+m=1（-b2

此外，例7也可用參數(shù)方程法解決：若OA與OB的斜率均存在，設(shè)A（acosα，bsinα），B（acosβ，bsinβ），由OA⊥OBkOA·kOB=-1batanα×batanβ=-1tanα=-a2b2tanβtan2α=a4b4tan2β①.1OA2+1OB2=1a2cos2α+b2sin2α+1a2cos2β+b2sinβ=1+tan2αa2+b2tan2α+1+tan2βa2+b2tan2β②，將①代入②得，

1OA2+1OB2=a2（a2+b2）+b2（a2+b2）tan2βa2b2（a2+b2tan2β）=（a2+b2）（a2+b2tan2β）a2b2（a2+b2tan2β）=a2+b2a2b2

=1a2+1b2 （定值）.

若OA的斜率不存在，不妨設(shè)A（0，b），B（a，0），顯然1OA2+1OB2=1a2+1b2 （定值）.對比前后兩種做法，我們發(fā)現(xiàn)，用參數(shù)方程法似乎比用極坐標(biāo)法運算量大一些，也即是說，也許一道題有多種不同的解法，但不同的解法的計算繁瑣程度是不一樣的，這就需要我們找到一種能切實簡化運算的針對性解法.

六、挖掘?qū)ΨQ性

解析幾何中的各類曲線往往有著優(yōu)美的對稱性，若在解題時能注意挖掘題目中的對稱關(guān)系，對某些式子的運算作代換處理，也能簡化運算，收到事半功倍的效果.

例8自點A（-3，3）發(fā)出的一束入射光線射到x軸上被x軸反射后，其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求入射光線所在的直線l的方程.

解析由題意可知已知圓的標(biāo)準方程為（x-2）2+（y-2）2=1，它關(guān)于x軸對稱的圓的方程為（x-2）2+（y+2）2=1，設(shè)直線l的方程為y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0.又由題設(shè)可知對稱圓的圓心（2，-2）到直線l的距離為1，即|5k+5|1+k2=1，解得k=-34或k=-43，直線l的方程為3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

變式1橢圓x24+y23=1的左焦點為F，直線x-y-1=0，x-y+1=0與橢圓交于點A，B，C，D，則AF+BF+CF+DF=.

解析由橢圓的中心對稱性和直線AB與CD的中心對稱性可知，AF=CF1，BF=DF1，由此AF+BF+CF+DF=DF+CF+DF1+CF1=4a=8，故應(yīng)填8.

變式2若圓C：x2+y2+8x-4y=0與以原點為圓心的某圓關(guān)于直線y=ax+β對稱.

（Ⅰ）求α、β之值；

（Ⅱ）若這時兩圓的交點為A、B，求∠ACB的度數(shù).

解析（Ⅰ）圓C的標(biāo)準方程為（x+4）2+（y-2）2=20，由題意可知，該圓的圓心C（-4，2）與坐標(biāo)原點O（0，0）關(guān)于直線y=ax+β對稱，又直線OC的斜率為-12，所以a=2，而OC中點（-1，1）滿足方程y=αx+β，所以α=2，β=5.

（Ⅱ）A、B為兩圓的交點，又兩圓關(guān)于直線y=2x+5對稱，因此A、B在對稱軸上.圓心C到對稱軸的距離d=5，因為圓C的半徑是20，所以cos12∠ACB=12，∠ACB=120°.

評注從上述實例可以看到，對稱為簡化計算、有效減少工作量提供了可能性，所以注意挖掘圖形的對稱性，實際上是為解題尋找一條便捷的路.

七、特殊化或極限化

把研究對象特殊化或極限化向來是探究數(shù)學(xué)問題的重要手段，在解答一些解析幾何問題時，若能善加運用，也可以極大地優(yōu)化運算，減少計算量.

例9設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓x2100+y264=1的兩個焦點，P在橢圓上，I為ΔPF1F2的內(nèi)心，直線PI交長軸于Q，且PI=λIQ，則λ

解析根據(jù)題意，不妨取特殊點，設(shè)點P與短軸上的端點B重合，則Q與O重合在直角三角形BF1O中，|F1B|=a=10，|F1O|=c=6因為F1I平分∠BF1O，所以PIIO=|F1B||F1O|=106=53，故λ=53，故應(yīng)填53

變式1已知圓O∶x2+y2=1和點A（-2，0），若定點B（b，0） （b≠-2）和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點，都有|MB|=λ|MA|，則：

（Ⅰ）b= ；（Ⅱ）λ=

解析根據(jù)題意，不妨取特殊點，取M（1，0）和M（0，1）代入|MB|=λ|MA|可得b2+1=5λ2，（b-1）2=9λ2，解得b=-12，λ=12

變式2過拋物線y=ax2 （a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF，F(xiàn)Q的長分別為p，q，則1p+1q=

解析根據(jù)題意，不妨考慮直線PQ的特殊位置，即PQ∥x軸，因為點F的坐標(biāo)為0，14a，所以p=q=12a，則1p+1q=4a，故應(yīng)填4a

例10若雙曲線x2-y2=a2 （a>0）的左、右頂點分別為A、B，點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點，若直線PA、PB的傾斜角分別為α、β，且β=mα （m>1），那么α的值是（ ）

A.π2m-1B.π2m

C.π2m+1D.π2m+2

解析當(dāng)P趨向于無窮遠時，直線PA、PB趨近于直線PO，它們都趨近于漸近線y=x，此時α→π4，β→π4，m→1，驗證選項即知π2m+2→π4，故應(yīng)選D.

評注一般來說，在利用特殊化或極限化策略探究問題之后，對于得到的結(jié)論，我們還應(yīng)及時驗證，即把解題過程轉(zhuǎn)化為有目的性的證明，這樣既可以縮短我們憑空猜想的時間，又能提高解題正確率.