科學(xué)定位，分類指導(dǎo)，多角度把握專題的關(guān)鍵

楊文金

在經(jīng)歷系統(tǒng)梳理數(shù)學(xué)知識(shí)、形成基本的知識(shí)體系和基本的數(shù)學(xué)技能的第一輪復(fù)習(xí)后，各校需要進(jìn)行第二輪復(fù)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行專題性的思考和總結(jié)，進(jìn)一步提高同學(xué)們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，優(yōu)化解題策略，提高思維品質(zhì)；而第二輪復(fù)習(xí)的目的是通過(guò)分門(mén)別類地對(duì)數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行專題性的思考和總結(jié)，進(jìn)一步提高同學(xué)們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，優(yōu)化解題方法，提高思維品質(zhì).并使同學(xué)們進(jìn)一步感悟常用的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、特殊與一般思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)建模思想等等.所以專題性研究對(duì)所有迎戰(zhàn)高考的同學(xué)們來(lái)說(shuō)是必要的.

一、發(fā)散思維，開(kāi)放探索性問(wèn)題

所謂開(kāi)放探索性問(wèn)題是指已知條件、解題依據(jù)、解題方法、問(wèn)題結(jié)論這四項(xiàng)要素中，缺少部分解題要素，或者條件、結(jié)論有待探求、補(bǔ)充等.在解決開(kāi)放探索問(wèn)題的時(shí)候，需要經(jīng)過(guò)探索確定結(jié)論或補(bǔ)全條件，將開(kāi)放性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為封閉性問(wèn)題，然后選擇合適的解題途徑完成最后的解答.這類試題已成為近年高考的熱點(diǎn)，重在考查學(xué)生的分析能力、探索能力、創(chuàng)新意識(shí)以及思維的發(fā)散性.根據(jù)其特征大致可分為四類：

（1）條件開(kāi)放型.這類問(wèn)題是指所給問(wèn)題中結(jié)論明確，需要完備條件的一類題.解這類題的一般思路是：從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，逆向推理，逐步探求結(jié)論成立的條件或把可能產(chǎn)生結(jié)論的條件一一列出，逐個(gè)分析；

（2）結(jié)論開(kāi)放型.是指題目中結(jié)論不確定，不唯一.解這類題的一般思路是：從剖析題意入手，充分捕捉題設(shè)信息，由因?qū)Ч?，順向推理或?lián)想類比、猜測(cè)等，從而獲得所求的結(jié)論；

（3）綜合開(kāi)放型.這類問(wèn)題沒(méi)有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有多樣性，需將已知的信息集中進(jìn)行分析，探索問(wèn)題成立所必須具備的條件或特定的條件應(yīng)該有什么結(jié)論，通過(guò)這一思維活動(dòng)得出事物內(nèi)在聯(lián)系，從而把握事物的整體性和一般性；

（4）存在探索型.是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目.解這類題的一般思路：假設(shè)結(jié)論存在，由此出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，得到某個(gè)結(jié)果，若合理，則假設(shè)成立，可得問(wèn)題的答案；否則假設(shè)不成立，所探索的結(jié)論不存在.

例1（2015年高考四川，文20）如圖，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是22，點(diǎn)P（0，1）在短軸CD上，且PC·PD=-1.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ，使得OA·OB+λPA·PB為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（0，-b），（0，b），

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），且PC·PD=-1，

于是1-b2=-1ca=22a2-b2=c2，解得a=2，b=2，

所以橢圓E方程為x24+y22=1.

（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，

A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），

聯(lián)立x24+y22=1y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，

所以x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1，

從而OA·OB+λPA·PB

=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1-1）（y2-1）]

=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1

=（-2λ-4）k2+（-2λ-1）2k2+1=-λ-12k2+1-λ-2，

所以，當(dāng)λ=1時(shí)，-λ-12k2+1-λ-2=-3，

此時(shí)，OA·OB+λPA·PB=-3為定值，

當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，

此時(shí)OA·OB+λPA·PB=OC·OD+PC·PD=-2-1=-3，

故存在常數(shù)λ=1，使得OA·OB+λPA·PB為定值-3.

點(diǎn)評(píng)：縱觀近幾年的全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)解析幾何與向量的交匯是解析題的重要形式，大部分的條件給出都是以向量形式出現(xiàn)，甚至題目的問(wèn)題也以向量形式描述圓錐曲線的幾何特征.因此理解向量條件所表達(dá)的幾何意義，用好向量的基本運(yùn)算是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

二、重視實(shí)踐，解決操作型問(wèn)題

操作型問(wèn)題是指通過(guò)動(dòng)手操作、作圖、計(jì)算等對(duì)某種現(xiàn)象獲得感性認(rèn)識(shí)，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考、探索、歸納概括、驗(yàn)證等來(lái)解決的一類問(wèn)題.它既考查考生的動(dòng)手能力、空間想象能力、分析和解決問(wèn)題的能力，更能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力及創(chuàng)新能力，也有助于培養(yǎng)學(xué)生勤于實(shí)踐的意識(shí)和習(xí)慣，符合新課程的“做中學(xué)”的新理念.

例2（2014年高考福建卷）在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示.

（1）求證：AB⊥CD；

（2）若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.

證明：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.

又CD平面BCD，∴AB⊥CD.

（2）過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD.

由（1）知AB⊥平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BD，BA的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.

依題意，得B（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A（0，0，1），M（0，12，12）.endprint

則BC=（1，1，0），BM=（0，12，12），AD=（0，1，-1）.

設(shè)平面MBC的法向量n=（x0，y0，z0），

則n·BC=0n·BM=0即x0+y0=012y0+12z0=0，

取z0=1，得平面MBC的一個(gè)法向量n=（1，-1，1）.

設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ，

則sinθ=|cos|=|n·AD||n|·|AD|=63，

即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為63.

點(diǎn)評(píng)：解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清楚處在折線同一個(gè)半平面的量是不變的，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口，然后根據(jù)折疊前后圖形及數(shù)量關(guān)系的變化，借助立體幾何與平面幾何知識(shí)即可求解.

三、以靜制動(dòng)，解決動(dòng)態(tài)型問(wèn)題

動(dòng)態(tài)型問(wèn)題是以各種幾何圖形為載體，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)探究幾何圖形變化規(guī)律的問(wèn)題.這類題的特點(diǎn)是：圖形中的某些元素（如點(diǎn)、線段、角等）或整個(gè)圖形按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)，圖形的各個(gè)元素在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中相互依存，相互制約.解題時(shí)，要對(duì)幾何元素的運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程有一個(gè)清晰、完整的認(rèn)識(shí)，不管點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)還是形動(dòng)，都要從特殊情形入手，過(guò)渡到一般情形，注意臨界位置，變中求不變，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng)，化動(dòng)為靜.解答這類題常常根據(jù)需要建立函數(shù)、不等式、方程等模型，考查同學(xué)們的分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法.

例3（2016年高考上海文科）如圖，已知點(diǎn)O（0，0），A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=1-x2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP·BA的取值范圍是.

解析：由題意，設(shè)P（cosα，sinα），α∈[0，π]，

則OP=（cosα，sinα），

又BA=（1，1），所以O(shè)P·BA=cosα+sinα=2sin（α+π4）∈[-1，2].

點(diǎn)評(píng)：本題解答利用數(shù)形結(jié)合思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到單位圓中，從而轉(zhuǎn)化成平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到OP·BA的取值范圍.本題主要考查考生的邏輯推理能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.

四、注重理解，解決閱讀型問(wèn)題

閱讀理解題是近幾年出現(xiàn)的一種新題型，考查同學(xué)們的閱讀理解能力、自主探索能力，同時(shí)考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，這類題目能夠幫助同學(xué)們實(shí)現(xiàn)從模仿到創(chuàng)造的思維過(guò)程，符合同學(xué)們的認(rèn)知規(guī)律.閱讀理解題一般是提供一定的材料，或介紹一個(gè)概念，或給出一種解法等，在閱讀材料、理解材料的基礎(chǔ)上，獲得探索解決問(wèn)題的思想、方法、途徑，進(jìn)而解決后面的問(wèn)題.解決閱讀理解問(wèn)題的基本思路是“閱讀→分析→理解→解決問(wèn)題”，在這一過(guò)程中，閱讀是基礎(chǔ)，分析、理解是關(guān)鍵，解決問(wèn)題是目的.

例4（2016年高考四川理數(shù)）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′（yx2+y2，-xx2+y2）；

當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題：

①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；

②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；

③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱；

④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.

其中的真命題是（寫(xiě)出所有真命題的序列）.

解析：對(duì)于①，若令P（1，1），則其伴隨點(diǎn)為P′（12，-12），而P′（12，-12）的伴隨點(diǎn)為（-1，-1），而不是P，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，設(shè)單位圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（cosx，sinx），其伴隨點(diǎn)為P′（sinx，-cosx）仍在單位圓上，故②正確；對(duì)于③設(shè)曲線f（x，y）=0關(guān)于x軸對(duì)稱，則f（x，-y）=0與方程f（x，y）=0表示同一曲線，其伴隨曲線分別為f（yx2+y2，-xx2+y2）=0與f（-yx2+y2，-xx2+y2）=0也表示同一曲線，又曲線f（yx2+y2，-xx2+y2）=0與曲線f（-yx2+y2，-xx2+y2）=0的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以③正確；對(duì)于④，直線y=kx+b上任一點(diǎn)P（x，y）的伴隨點(diǎn)是P′（yx2+y2，-xx2+y2），消參后點(diǎn)P′軌跡是圓，故④錯(cuò)誤.所以正確的序號(hào)為②③.

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義問(wèn)題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向.它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，新定義的概念實(shí)質(zhì)上只是一個(gè)載體，解決新問(wèn)題時(shí)，只要通過(guò)這個(gè)載體把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識(shí)即可.本題新概念“伴隨”實(shí)質(zhì)是一個(gè)變換，一個(gè)坐標(biāo)變換，只要根據(jù)這個(gè)變換得出新的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷，問(wèn)題就得以解決.

例5（2016年高考上海理數(shù)）若無(wú)窮數(shù)列{an}滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，則稱{an}具有性質(zhì)P.

（1）若{an}具有性質(zhì)P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；

（2）若無(wú)窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn判斷{an}是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè){bn}是無(wú)窮數(shù)列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）.求證：“對(duì)任意a1，{an}-都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.

分析：（1）根據(jù)已知條件，得到a6+a7+a8=a3+3+2，結(jié)合a6+a7+a8=21求解.

（2）根據(jù){bn}的公差為20，{cn}的公比為13，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，從而可得an=bn+cn=20n-19+35-n.

通過(guò)計(jì)算a1=a5=82，a2=48，a6=3043，a2≠a6，即知{an}不具有性質(zhì)Ρ.

（3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明.

解：（1）因?yàn)閍5=a2，所以a6=a3，a7=a4=3，a8=a5=2.

于是a6+a7+a8=a3+3+2，又因?yàn)閍6+a7+a8=21，解得a3=16.

（2）{bn}的公差為20，{cn}的公比為13，

所以bn=1+20（n-1）=20n-19，

cn=81·（13）n-1=35-n.

an=bn+cn=20n-19+35-n.

a1=a5=82，但a2=48，a6=3043，a2≠a6，

所以{an}不具有性質(zhì)Ρ.

（3）[證] 充分性：當(dāng){bn}為常數(shù)列時(shí)，an+1=b1+sinan.

對(duì)任意給定的a1，只要ap=aq，則由b1+sinap=b1+sinaq，必有ap+1=aq+1.

充分性得證.

必要性：用反證法證明.假設(shè){bn}不是常數(shù)列，則存在k∈Ν，

使得b1=b2=…=bk=b，而bk+1≠b.

下面證明存在滿足an+1=bn+sinan的{an}，使得a1=a2=…=ak+1，但ak+2≠ak+1.

設(shè)f（x）=x-sinx-b，取m∈Ν，使得mπ>|b|，則

f（mπ）=mπ-b>0，f（-mπ）=-mπ-b<0，故存在c使得f（c）=0.

取a1=c，因?yàn)閍n+1=b+sinan（1≤n≤k），所以a2=b+sinc=c=a1，

依此類推，得a1=a2=…=ak+1=c.

但ak+2=bk+1+sinak+1=bk+1+sinc≠b+sinc，即ak+2≠ak+1.

所以{an}不具有性質(zhì)Ρ，矛盾.

必要性得證.

綜上，“對(duì)任意a1，{an}都具有性質(zhì)Ρ”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)考生邏輯推理能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列及反證法是基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用已知條件進(jìn)行推理是關(guān)鍵.本題易錯(cuò)有兩原因，一是不得法，二是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維及推理能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.

五、重視建模，應(yīng)對(duì)應(yīng)用性問(wèn)題

應(yīng)用性問(wèn)題是指有實(shí)際背景或現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它貼近生活實(shí)際，具有時(shí)代氣息和教育價(jià)值.應(yīng)用性問(wèn)題呈現(xiàn)的方式多樣，往往將文字語(yǔ)言、圖形、表格、圖象融為一體.主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力.

例6（2016年高考新課標(biāo)1卷）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖（如圖）：

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；

（3）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

分析：（1）先確定X的取值分別為16，17，18，19，20，21，22，再用相互獨(dú)立事件概率模型求概率，然后寫(xiě)出分布列；（2）通過(guò)頻率大小進(jìn)行比較；（3）分別求出n=19，n=20的期望，根據(jù)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，應(yīng)選n=19.

解：（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而

P（x=16）=0.2×0.2=0.04；

P（x=17）=2×0.2×0.4=0.16；

P（x=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；

P（x=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；

P（x=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；

P（x=21）=2×0.2×0.2=0.08；

P（x=22）=0.2×0.2=0.04.

所以X的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

（2）由（1）知P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=068，故n的最小值為19.

（3）記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）.

當(dāng)n=19時(shí)，

E（Y）=19×200×0.68+（19×200+500）×0.2+（19×200+2×500）×0.08+（19×200+3×500）×0.04=4040，

當(dāng)n=20時(shí)，

E（Y）=20×200×0.88+（20×200+500）×0.08+（20×200+2×500）×0.04=4080.

可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n=19.

點(diǎn)評(píng)：本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)及函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，有一定綜合性但難度不是太大，求解關(guān)鍵是讀懂題意，所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問(wèn)題.endprint

例7（2014年高考江蘇卷18）如圖，為了保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：

新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=43.

（1）求新橋BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

（1）解法1：（兩角差的正切）如圖，連結(jié)AC，由題意知tan∠ACO=617，

則由兩角差的正切公式可得：tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=23，故BC=cos∠ACB·AC=150m.

答：新橋BC的長(zhǎng)度為150m.

解法2：（解析法）由題意可知A（0，60），C（170，0）；由tan∠BCO=43可知直線BC的斜率k=-43，則直線BC所在直線的方程為y=-43（x-170）；又由AB⊥BC可知，AB所在的直線方程為y=34x+60；聯(lián)立方程組y=-43（x-170）y=34x+60，解得x=80，y=120；

即點(diǎn)B（80，120），那么BC=（80-170）2+1202=150.

答：新橋BC的長(zhǎng)度為150m.

解法3：（初中解法）如圖，延長(zhǎng)CB交OA所在直線于點(diǎn)G，

由tan∠BCO=43可得OG=6803，CG=8503，AG=5003，cos∠CGO=sin∠GCO=45，故

BG=cos∠CGO·AG=4003，在△OCG中，由勾股定理得CG=8503，故BC=150m.

答：新橋BC的長(zhǎng)度為150m.

（2）解：由題意設(shè)M（0，a）（0≤a≤60），圓M的方程為x2+（y-a）2=r2，且由題意可知

r=|6803-a|1+（-43）2=680-3a5.

又古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m，那么r-a≥80r-（60-a）≥80，解得10≤a≤35；由函數(shù)r=680-3a5為區(qū)間[10，35]上的減函數(shù)，故當(dāng)a=10時(shí)，半徑取到最大值為130.

綜上可知，當(dāng)OM=10m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大，且最大值為16900π.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用題從考試角度來(lái)說(shuō)主要考查學(xué)生兩個(gè)方面的能力：建立數(shù)學(xué)模型的能力（簡(jiǎn)稱“建模”能力）、解決數(shù)學(xué)模型的能力（簡(jiǎn)稱“解?！蹦芰Γ瑥膽?yīng)試方法上如何突破呢？首先要系統(tǒng)研究所有可能出現(xiàn)的應(yīng)用題并做到能對(duì)癥下藥，?？疾榈膽?yīng)用題類型有：函數(shù)應(yīng)用題（以分式函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題、以分段函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題、以二次函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題）；三角測(cè)量應(yīng)用題（以三角函數(shù)的定義為載體的三角應(yīng)用題、以三角函數(shù)的圖象為載體的三角應(yīng)用題、以解三角形為載體的三角應(yīng)用題、以立體幾何為載體的三角應(yīng)用題、以追擊問(wèn)題為載體的三角應(yīng)用題）；數(shù)列應(yīng)用題；線性規(guī)劃應(yīng)用題；解析幾何應(yīng)用題.

六、滲透思想，挑戰(zhàn)選拔性問(wèn)題

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，感悟思想方法，可以以不變應(yīng)萬(wàn)變.類比思想是解決類似問(wèn)題的捷徑，如全等形和相似形、數(shù)和式、方程和不等式的類比等等；方程思想是利用已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過(guò)建立方程把未知量轉(zhuǎn)化為已知量；若知道一個(gè)變化過(guò)程中的兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系，則要用函數(shù)的思想；數(shù)形結(jié)合思想是溝通代數(shù)與幾何的橋梁；分類討論思想可以體現(xiàn)在許多問(wèn)題中，它是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).

例8（2015年高考浙江卷）已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=12，若空間向量b滿足b·e1=2，b·e2=52，且對(duì)于任意x，y∈R，|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），則x0=，y0=，|b|=.

解析：由題意得x=x0，y=y0時(shí)，|b-（xe1+ye2）|取得最小值1，把|b-（xe1+ye2）|平方，轉(zhuǎn)化為|b|2+x2+y2+xy-4x-5y，把x2+y2+xy-4x-5y看成關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值及取最值的條件.

對(duì)于任意x，y∈R，|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），說(shuō)明當(dāng)x=x0，y=y0時(shí)，|b-（xe1+ye2）|取得最小值1.

|b-（xe1+ye2）|2=|b|2+（xe1+ye2）2-2b·（xe1+ye2）=|b|2+x2+y2+xy-4x-5y，要使|b|2+x2+y2+xy-4x-5y取得最小值，需要把x2+y2+xy-4x-5y看成關(guān)于x的二次函數(shù)，即f（x）=x2+（y-4）x+y2-5y，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為x=2-y2，所以當(dāng)x=2-y2時(shí)，f（x）取得最小值，代入化簡(jiǎn)得f（x）=34（y-2）2-7，顯然當(dāng)y=2時(shí)，f（x）min=-7，此時(shí)x=2-y2=1，所以x0=1，y0=2.此時(shí)|b|2-7=1，可得|b|=22.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的模及代數(shù)運(yùn)算、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、抽象概括能力及運(yùn)算求解能力.

例9（2016年高考北京理數(shù)）設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x，x≤a-2x，x>a.

①若a=0，則f（x）的最大值為；

②若f（x）無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：如圖作出函數(shù)g（x）=x3-3x與直線y=-2x的圖象，它們的交點(diǎn)是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g′（x）=3x2-3，知x=-1是函數(shù)以g（x）的極大值點(diǎn)，

①當(dāng)a=0，f（x）=x3-3x，x≤0-2x，x>0，因此f（x）的最大值是f（-1）=2；

②由圖象知當(dāng)a≥-1時(shí)，f（x）有最大值是f（-1）=2；只有當(dāng)a<-1時(shí)，由a3-3a<-2a，因此f（x）無(wú)最大值，

∴所求a的范圍是（-∞，-1）.

點(diǎn)評(píng)：1.求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)首先確定所給自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.若自變量值為較大的正整數(shù)，一般可考慮先求函數(shù)的周期.若給出函數(shù)值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自變量的范圍；2.在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常需要先將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知的函數(shù)的單調(diào)性，因此掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過(guò)程.endprint