相依項(xiàng)目反應(yīng)數(shù)據(jù)的Copula建模法

付志慧，劉羅曼，孟祥斌

(1.沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽 110034；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024；3.東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024)

相依項(xiàng)目反應(yīng)數(shù)據(jù)的Copula建模法

付志慧1，2，劉羅曼1，孟祥斌3

(1.沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽 110034；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024；3.東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024)

與經(jīng)典教育測(cè)量方法相比，基于項(xiàng)目反應(yīng)理論(IRT)的教育統(tǒng)計(jì)與心理測(cè)量技術(shù)呈現(xiàn)出愈來愈多的優(yōu)勢(shì).將Copula方法引入到IRT中來分析相依反應(yīng)數(shù)據(jù)，對(duì)題目的邊際反應(yīng)概率和題目反應(yīng)間的相依結(jié)構(gòu)分別建模，更好地解決了項(xiàng)目局部相依性問題.

項(xiàng)目反應(yīng)模型；局部相依性；Copula函數(shù)

0 引言

項(xiàng)目反應(yīng)理論(Item Response Theory，IRT)的核心是根據(jù)被試能力與被試者對(duì)測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目正確回答概率之間的關(guān)系建模，最常見的二級(jí)評(píng)分模型為L(zhǎng)ogistic(2PL)模型和正態(tài)卵形模型.標(biāo)準(zhǔn)的IRT模型一般建立在局部獨(dú)立性假設(shè)之下，而局部獨(dú)立性是指給定被試能力，同一被試在不同項(xiàng)目間的作答相互獨(dú)立(被試在不同題上答對(duì)概率只與被試能力有關(guān)，而與其他因素?zé)o關(guān)).[1-2]以二參數(shù)Logistic模型為例，假設(shè)被試p對(duì)項(xiàng)目i的反應(yīng)數(shù)據(jù)為ypi，取值為0或1，則二值變量Ypi取值為ypi的概率為

其中θp為被試的能力參數(shù)，αi與βi分別為題目的區(qū)分度參數(shù)和難度參數(shù).將Ypi轉(zhuǎn)換為連續(xù)潛在變量Xpi，其中Xpi服從尺度參數(shù)為1、位置參數(shù)為αi(θp-βi)的Logistic分布，[7]即

Xpi=αi(θp-βi)+pi.

(1)

令Yp為被試p在I個(gè)題目上的反應(yīng)向量，則由局部獨(dú)立性假設(shè)有

局部獨(dú)立性假設(shè)在實(shí)際中有時(shí)難以滿足.例如，當(dāng)測(cè)驗(yàn)中有些項(xiàng)目共用同一材料或刺激(閱讀短文、圖、表等)時(shí)，這些項(xiàng)目集稱為題組，顯然當(dāng)測(cè)驗(yàn)存在題組(多個(gè)項(xiàng)目共用同一刺激)時(shí)，同一題組內(nèi)的項(xiàng)目間難以滿足局部獨(dú)立性假設(shè).若此時(shí)仍用標(biāo)準(zhǔn)的IRT模型，會(huì)使參數(shù)的估計(jì)值有較大的誤差.[3-5]在我國(guó)的考試與測(cè)評(píng)中，許多測(cè)驗(yàn)或量表中均有題組類型的項(xiàng)目，如漢語考試和外語考試中的閱讀理解題、完形填空題、聽力短文理解題，人才測(cè)評(píng)中的情景判斷測(cè)驗(yàn)題以及數(shù)學(xué)試卷中的計(jì)算題等，同一題目中的不同子問題之間都是具有相關(guān)性的.因此在實(shí)際測(cè)驗(yàn)問題中，如何合理的對(duì)題組項(xiàng)目反應(yīng)數(shù)據(jù)建模成為關(guān)鍵問題.目前有一種解決方案是建立包含交互效應(yīng)的模型(CCI方法)[6]，簡(jiǎn)單起見，取區(qū)分度參數(shù)αi=1，則有

反應(yīng)變量Yp1和Yp2之間的相關(guān)性通過參數(shù)λ來表達(dá).當(dāng)λ=0時(shí)，上述模型退化為局部獨(dú)立性模型，利用聯(lián)合反應(yīng)概率，可求得項(xiàng)目1的邊際反應(yīng)概率為

易見當(dāng)λ≠0，即題目1與2之間存在相關(guān)性時(shí)，題目1的邊際反應(yīng)概率不再是2PL模型(1)，邊際分布函數(shù)也不再是Logistic函數(shù).因此CCI方法的局限性在于邊的不可復(fù)制性，此時(shí)β失去了原有模型中作為位置參數(shù)的解釋意義，題目1的邊際反應(yīng)概率還要依賴于題目2的參數(shù)β2以及參數(shù)λ.其他的一些方法如題組反應(yīng)模型法[8]和條件模型法[9]也會(huì)出現(xiàn)上述問題.

本文采用Copula方法.Copula理論要追溯到1959年，Sklar指出可以將一個(gè)K維聯(lián)合分布分解成K個(gè)邊緣分布和一個(gè)Copula函數(shù)，這個(gè)Copula函數(shù)描述了變量間的相關(guān)性.此方法對(duì)于邊際反應(yīng)概率和相依結(jié)構(gòu)進(jìn)行分別建模，克服了邊際反應(yīng)模型不可復(fù)制的問題.

1 Copula簡(jiǎn)介

定義[10]N元Copula函數(shù)是指具有如下性質(zhì)的函數(shù)：

(1) 定義域?yàn)镮N，即[0，1]N；

(2)C(·，…，·)有零基面且是N維遞增的；

(3)C的邊緣分布Cn(un)，n=1，2，…，N，滿足Cn(un)=C(1，…，1，un，1，…，1)=un，其中un∈[0，1]，n=1，2，…，N.

顯然，若F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)N(·)是連續(xù)的一元分布函數(shù)，令un=Fn(xn)，n=1，2，…，N，則C(u1，u2，…，uN)是一個(gè)邊緣分布服從[0，1]均勻分布的多元分布函數(shù).其具有以下性質(zhì)：

(Ⅰ) ?un，vn∈[0，1]，n=1，2，…，N，均有

(Ⅱ)

(Ⅲ) 若變量un∈[0，1](n=1，2，…，N)相互獨(dú)立，用C⊥表示獨(dú)立變量的Copula函數(shù)，則

(Ⅳ) ?a，b∈[0，1]N，?n=1，2，…，N，an

B=[a，b]=[a1，b1]×[a2，b2]×…×[aN，bN]，

Skalar定理 設(shè)F(·，…，·)為具有邊緣分布F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)N(·)的聯(lián)合分布函數(shù)，且存在一個(gè)Copula函數(shù)C(·，…，·)，滿足

F(x1，x2，…，xN)=C(F1(x1)，F(xiàn)2(x2)，…，F(xiàn)N(xN)).

若F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)N(·)連續(xù)，則C唯一確定；若F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)N(·)為一元分布，C為相應(yīng)的Copula函數(shù)，則F(·，…，·)是具有邊緣分布F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)N(·)的聯(lián)合分布函數(shù).

本文采用阿基米德Copula分布函數(shù)[11-12]，其表達(dá)式為

C(u1，u2，…，uN)=φ-1(φ(u1)+φ(u2)+…+φ(uN)).

其中：函數(shù)φ(·)為阿基米德Copula函數(shù)C(·，…，·)的生成元，是一個(gè)凸的減函數(shù)；φ-1(·)是生成元φ(·)的逆函數(shù)，在[0，∞)區(qū)間完全單調(diào).下面給出兩個(gè)比較重要的阿基米德Copula函數(shù).

Frank Copula函數(shù)：

當(dāng)N=2時(shí)，δ≠0.若δ→-∞，則C→C-；若δ→0，則C→C⊥；若δ→+∞，則C→C+.

Cook-Johnson Copula函數(shù)：

其中δ>0.若δ→0，則C→C⊥；若δ→+∞，則C→C+.

2 相依反應(yīng)數(shù)據(jù)的Copula模型

假定Ypi為被試p對(duì)題目i的取值為0或1的二值反應(yīng)變量，假定被試能力為θp，題目區(qū)分度參數(shù)和難度參數(shù)為αi，βi.定義連續(xù)型潛在變量Xpi，且Xpi=αi(θp-βi)+pi，反應(yīng)變量Ypi和潛變量Xpi滿足

Ypi=I(Xpi>0)=I(pi>-αi(θp-βi)).

根據(jù)不同的測(cè)驗(yàn)背景，假定將{1，2，…，I}分割為S個(gè)不交的子集J1，…，JS，其中Js中有Is個(gè)題目.類似地誤差向量p也分為S塊其中pi，i∈Js)，不同子集的殘差分量是相互獨(dú)立的，同一子集內(nèi)部的殘差項(xiàng)假定是可交換的.

被試p的反應(yīng)向量Yp的分布為

具體地，假定I=2，Js=1，2，則反應(yīng)向量(Yp1，Yp2)取值為(0，0)的概率為

由最后一個(gè)等式可見，Copula函數(shù)將離散型反應(yīng)向量(Yp1，Yp2)的聯(lián)合分布轉(zhuǎn)換為連續(xù)型向量(Xp1，Xp2)的分布.(Yp1，Yp2)取其他值的概率為：

P(Yp1=1，Yp2=1|θp)=1-FXp1|θp(0|θp)-FXp2|θp(0|θp)+Cs(FXp1|θp(0|θp)，F(xiàn)Xp2|θp(0|θp))；

P(Yp1=1，Yp2=0|θp)=FXp2|θp(0|θp)-Cs(FXp1|θp(0|θp)，F(xiàn)Xp2|θp(0|θp))；

P(Yp1=0，Yp2=1|θp)=FXp1|θp(0|θp)-Cs(FXp1|θp(0|θp)，F(xiàn)Xp2|θp(0|θp)).

為展示Copula的引入對(duì)反應(yīng)相依模型的擬合效果，給出計(jì)算題目1和題目2在給定能力θp下的條件優(yōu)勢(shì)比(odds ratio)指標(biāo)

其中C=C(FXp1|θp(0|θp)，F(xiàn)Xp2|θp(0|θp)).簡(jiǎn)單起見，取項(xiàng)目參數(shù)α1=α2=1，β1=β2=0，從而對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比可以看作關(guān)于δ和θ的函數(shù)，此時(shí)Frank Copula和Cook-Johnson Copula模型的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比見圖1.由圖1可見，優(yōu)勢(shì)比隨著δ的增加而增加，即Copula相依參數(shù)δ可以度量題目反應(yīng)的相依性.另外，固定δ時(shí)，OR值也依賴于θ的取值：Frank Copula模型反映出的兩個(gè)題目的相依性比較穩(wěn)定，從圖形上看就是OR值趨于平穩(wěn)，在δ取極端較大值或較小值時(shí)，OR關(guān)于θ取值對(duì)稱；相反，Cook-Johnson Copula模型的OR值隨著θ的增加而增加.兩種Copula函數(shù)體現(xiàn)的相依結(jié)構(gòu)截然不同.

(a) Frank Copula模型對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比

(b) Cook-Johnson Copula模型對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比>

采用邊際最大似然法(MML)來估計(jì)2PL Copula模型.[7，13]似然函數(shù)為

其中φ(θp|σ2)為參數(shù)θp的正態(tài)分布密度函數(shù)(θp～N(0，σ2)).一般將上式取對(duì)數(shù)，然后采用擬牛頓法求解，其中關(guān)于θp的積分需要Gauss-Hermite象限積分法近似.

3 算例

假定1 000人參加共10個(gè)題目的英語閱讀理解測(cè)驗(yàn)，反應(yīng)值為0或1.那么針對(duì)短文同一部分的幾個(gè)問題的反應(yīng)很有可能具有相關(guān)性.首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行探索性分析，運(yùn)用Mantel-Haenszel(MH)統(tǒng)計(jì)量法[14]檢驗(yàn)題目之間的相關(guān)性.MH計(jì)算兩題目反應(yīng)間的優(yōu)勢(shì)比是否關(guān)于θ是恒定的，MH值越大，題目間的相關(guān)性越強(qiáng).基于MH統(tǒng)計(jì)量的相關(guān)矩陣見圖2，聚類圖見圖3.易見，題目{4，5}的相關(guān)值為8.63，題目{6，7}，{6，8}，{7，8}之間的相關(guān)值分別為10.15，8.40，7.45，再結(jié)合聚類圖，將{4，5}和{6，7，8}分別歸為一類.綜上，對(duì)反應(yīng)數(shù)據(jù)分別采用兩種方法建模.

01.48472.41921.369701.809500.451890-0.21871-1.44580-0.2280800.577350001.18361.295700.955480.021093-1.99520-0.821210.306280-0.0455190000.941611.54790-1.125900-1.32040-2.32900-0.4330500.05447200008.62870-2.976300-3.41120-2.58670-0.0229430.18785000000-2.003400-2.98880-3.596901.967000-1.32080000000010.152708.40470-3.787900-3.26310000000007.44790-1.650900-2.70600000000000-0.408510-0.3298600000000002.1693000000000000?è????????????÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

圖2 題目間基于MH的相關(guān)矩陣

圖3 題目聚類圖

第一種模型，假定局部獨(dú)立性仍然成立，即

其中條件反應(yīng)概率為2PL模型

第二種模型，采用Copula函數(shù)建模，分別求出J1={4，5}和J2={6，7，8}的聯(lián)合反應(yīng)概率，各個(gè)題目的邊際反應(yīng)概率仍采用2PL模型.對(duì)于J1和J2分別采用Frank Copula和Cook-Johnson Copula，條件似然函數(shù)為

表1 2PL模型和2PL Copula模型的參數(shù)估計(jì)

4 討論

[1] ALLEN M J，YEN W M.Introduction to measurement theory[M].LongGrove：Waveland Press，2002：25-150.

[2] BAKER F B，KIM S H.Item response theory：parameter estimation techniques[M].New York：Marcel Dekker，2004：56-93.

[3] IP E H.Adjusting for information inflation due to local dependence in moderately large item clusters[J].Psychometrika，2000，65：73-91.

[4] IP E H.Testing for local dependence in dichotomous and polutomous item response models[J].Psychometrika，2001，66：109-132.

[5] IP E H.Locally dependent latent trait model and the Dutch identity revisited[J].Psychometrika，2002，67：367-386.

[6] HOSKENS M，DE BOECK P.A parametric model for local dependencies among test items[J].Psychological Methods，1997，2(3)：261-277.

[7] DE BOECK P，WILSON M.Explanatory item response models：a generalized linear and nonlinear approach[M].New York：Springer，2004：36-90.

[8] BRADLOW E T，WAINER H，WANG X.A Bayesian random effects model for testlets[J].Psychometrika，1999，64：153-168.

[9] VERHELST N D，GLAS C A W.A dynamic generalization of the Rasch model[J].Psychometrika，1993，58：395-415.

[10] NELSEN R B.An introduction to Copulas[M].New York：Springer，1999：15-50.

[11] JOE H.Parametric families of multivariate distributions with given margins[J].Journal of Multivariate Analysis，1993，46：262-282.

[12] JOE H.Multivariate models and dependence concepts[M].London：Chapman & Hall，1997：54-98.

[13] 徐俊彥，苗壯，劉慶懷.解多項(xiàng)式雙層規(guī)劃最優(yōu)解的參數(shù)化方法 [J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，47(3)：9-11.

[14] MANTEL N，HAENSZEL W.Statistical aspects of the analysis of data from retrospective studies of disease[J].Journal of National Cancer Institute，1959，22：719-748.

[15] LITTLE R J A，RUBIN D B.Statistical analysis with missing data[M].2nd ed.New York：John Wiley & Sons，2004：22-44.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

A Copula model for residual dependency in item response model

FU Zhi-hui1，2，LIU Luo-man1，MENG Xiang-bin3

(1.School of Mathematics and System Science，Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；3.Faculty of Education，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

In educational and psychological measurement，most item response theory models are not robust to violations of local independence.A new class of models that makes use of Copulas to deal with local item dependencies is introduced.These models belong to the bigger class of marginal models in which marginal and association structure are modeled separately.It is shown how this approach overcomes some of the problems associated with other local item dependency models.

item response model；local item dependency；Copula function

1000-1832(2017)02-0041-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.009

2015-12-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201313，11571069，11501094，31400897).

付志慧(1979—)，女，博士，副教授，主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究.

O 212.1 [學(xué)科代碼] 110·6735

A