高中數(shù)學(xué)變形技巧在函數(shù)恒成立問題中的應(yīng)用

鄭桂芬

摘要：變形技巧是高中數(shù)學(xué)中常用的技巧之一.在數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生對(duì)函數(shù)恒等式的變形，能有效簡化復(fù)雜的題型，提高解題效率.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)變形技巧恒成立

變形技巧是數(shù)學(xué)解題的重要工具.高中學(xué)生運(yùn)用變形技巧的能力制約和影響了他們解題技能的高低，也是他們解題速度快慢的體現(xiàn).在解題過程中，條件不充分或者條件的表現(xiàn)形式較為隱蔽的情況經(jīng)常出現(xiàn)，在這種情況之下，變形的意義就被充分地體現(xiàn)出來，通過變形技巧的運(yùn)用，將題目中分散的元素集中起來，將問題從復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式.是一種將復(fù)雜問題簡單化的手段，是解決數(shù)學(xué)問題的重要途徑.

一、三角恒等變換技巧

1.三角函數(shù)變換的理論基礎(chǔ).三角函數(shù)是一個(gè)重要的基本初等函數(shù).它是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，也是一種描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和各個(gè)領(lǐng)域中的作用十分重要.三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)技能訓(xùn)練的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)部分.在三角函數(shù)教學(xué)中，三角函數(shù)的解題技巧是十分豐富的.同樣，三角函數(shù)中的解題復(fù)雜性也是相當(dāng)高的.三角恒等變換在整個(gè)初等數(shù)學(xué)中是關(guān)鍵的解題工具，而且三角公式眾多，方法靈活多變.學(xué)生若能熟練掌握三角恒等變換的技巧，不僅能加深對(duì)三角公式的記憶和理解，而且能提高自己的邏輯思維能力.

2.三角函數(shù)變換的具體方式.對(duì)于含同角的三角函數(shù)式，變換函數(shù)名法，是指利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式來進(jìn)行變換，通過“切割化弦”“切割互化”“正余互化”等途徑將所需變換的式子中函數(shù)的種類進(jìn)行減少或統(tǒng)一.從數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上來看，這是“歸一”思想的運(yùn)用，有利于問題的解決或者發(fā)現(xiàn)解題的途徑.例如，利用常用公式進(jìn)行三角函數(shù)名稱的變換，常見的萬能公式有：sinα=2tan（α2）1+tan2（α2）；cosα=1-tan2（α2）1+tan2（α2）；tanα=2tan（α2）1-tan2（α2）.將這三個(gè)公式的變換運(yùn)用在三角恒等變換中，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)名稱之間的變換，即可以解決很多三角函數(shù)問題.三角函數(shù)中函數(shù)名稱的自由變化是三角函數(shù)的一個(gè)重要屬性.在三角函數(shù)教學(xué)的初始過程中，學(xué)生即能掌握，但是在函數(shù)恒成立的證明問題上進(jìn)行論證，學(xué)生則不能熟練運(yùn)用這種方式進(jìn)行解題.因此，幫助學(xué)生掌握變形技巧，對(duì)于學(xué)生證明函數(shù)恒成立的問題大有裨益.

二、二次函數(shù)恒成立變換技巧

1.二次函數(shù)恒成立變形技巧的理論基礎(chǔ).函數(shù)的變形沒有固定的變形方法，其變形方法是多種多樣的，但是在函數(shù)恒成立的證明過程中，通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，往往具有事半功倍的作用.在函數(shù)恒成立中，一般會(huì)有兩個(gè)變量，但是變量不影響函數(shù)成立問題.二次函數(shù)恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)問題最重要的、也是最基本的工具之一.在函數(shù)恒成立問題中，許多問題本身就是可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)恒成立問題.因此，二次函數(shù)恒成立問題一直都是一個(gè)重點(diǎn)問題.同樣，這一問題對(duì)于高中生來說也是一個(gè)難點(diǎn)問題.

2.二次函數(shù)恒成立的實(shí)證解析.將函數(shù)恒成立變?yōu)槟艹闪⒚}，不僅能加深恒成立與能成立之間的聯(lián)系，讓學(xué)生了解這兩種函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)踐促進(jìn)理論進(jìn)步的重要內(nèi)容.二次函數(shù)、 一元二次方程及一元二次不等式三者有著密切的聯(lián)系， 一元二次不等式問題都能轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或一元二次方程問題， 并借助二次函數(shù)的圖象或一元二次方程的判別式解題.在求解二次函數(shù)時(shí)，通過將函數(shù)變形使參數(shù)與主元分離于等式的兩端，實(shí)現(xiàn)函數(shù)求解的等式轉(zhuǎn)化，這種方法本質(zhì)還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng).下面通過例題進(jìn)行簡單分析：f（x）[f（x）]max；F（x）>g（a）（a為參數(shù)）恒成立，g（a）<[f（x）]min.通過函數(shù)恒成立的變形求證不等式的成立在方式上來看，相較于其他求證方式，是十分簡捷的.此題中，函數(shù)恒成立問題的解決推導(dǎo)出不等式的成立，而解決不等式恒成立問題在近年高考試題中的比例在不斷上升，解決不等式恒成立的方法之一就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來簡化證明問題，而對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，確定合適的變量和參數(shù)，正確地揭示出隱性的函數(shù)關(guān)系，則是解題的關(guān)鍵.

總之，函數(shù)恒成立在數(shù)學(xué)教學(xué)中意義重大.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要加入有關(guān)變形技巧的思想，以實(shí)現(xiàn)函數(shù)恒成立“化復(fù)雜為簡單”.