線性規(guī)劃實際應(yīng)用中的最優(yōu)值調(diào)整

王鐸

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)的學(xué)科，對于學(xué)生未來的發(fā)展有著很大的作用.在新的高中數(shù)學(xué)課本中增加了線性規(guī)劃的內(nèi)容.由于是新增加的內(nèi)容，很多學(xué)生沒有接觸過，對其比較陌生，因此學(xué)起來比較吃力，尤其是將線性規(guī)劃應(yīng)用到實際中，并且進(jìn)行最優(yōu)值的調(diào)整是一個難點.下面結(jié)合自己的教學(xué)實踐談點體會.

一、線性規(guī)劃求解

在線性約束的條件下，對于線性目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最值問題的求解的過程，稱為線性規(guī)劃.最優(yōu)解指的是，在目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）取得最大值或者最小值的時候，x與y的值的大小（x，y）就成為最優(yōu)解.其中若得到的最優(yōu)解皆為整數(shù)，則對應(yīng)的點（x，y）對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)，可以將這個解稱為整點.最優(yōu)解的求解方式是高中教材中的重要內(nèi)容.經(jīng)常見到的題型有：（1）題目中給出了一定量的人力、物力資源，以及一些已知條件，讓學(xué)生求解：如何安排，才能在一定的時間內(nèi)完成最多的任務(wù)或者取得最大的收益.（2）給出一項任務(wù)，以及一些已知的條件，讓學(xué)生求解：怎樣安排，才能在完成任務(wù)的情況下投入盡可能少的人員、物力資源.這部分內(nèi)容在教材中屬于新增加的內(nèi)容，介紹的比較籠統(tǒng)，使學(xué)生難以理解與掌握.調(diào)整優(yōu)值法是經(jīng)常采用的一種求解方式，通過這種方式，能得到最優(yōu)值，從而求得答案.

二、優(yōu)值調(diào)整方式

1.帶數(shù)值比較法.對于線性規(guī)劃的最優(yōu)解的調(diào)整，首先要找到一個范圍.在最優(yōu)解存在于可行域中時，對最優(yōu)值進(jìn)行調(diào)整是比較簡單的一種情況，此時只需要在可行域的范圍內(nèi)尋找出所有的可行解，然后將每一個解都帶入到目標(biāo)函數(shù)中進(jìn)行驗證即可.通過比較代入解值得出來的結(jié)果值，便可得到調(diào)整后的最優(yōu)值.這種調(diào)整方式，需要將每一個值都依次代入，適用于可行域中最優(yōu)解較少的情況.

2.調(diào)整理論值.這種對最優(yōu)值進(jìn)行調(diào)整的方式，就是首先根據(jù)理論上的分析得出最優(yōu)值存在的一個范圍區(qū)間，然后在計算出理論上的最優(yōu)解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的前提下對于目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行逐步調(diào)整，同時需要作出對應(yīng)的直線，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，并且在可行域內(nèi)的直線上尋找可能存在的最優(yōu)解.如果存在則最優(yōu)解就此找到，否則就需要對理論上的這個值進(jìn)行繼續(xù)調(diào)整，直到能夠出現(xiàn)最優(yōu)解為止.

3.根據(jù)范圍求解.這種對最優(yōu)解進(jìn)行調(diào)整的方式，就是在理論最優(yōu)解的基礎(chǔ)上計算出目標(biāo)函數(shù)值，并且對目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行逐步調(diào)整.在這樣的前提下，將最優(yōu)解帶入到線性約束條件中進(jìn)行消元處理，能夠求出未知量x和y的范圍，然后在這個范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解，并且進(jìn)行調(diào)整.

4.逐步調(diào)整法.這種方式是在得出理論上最優(yōu)值的基礎(chǔ)上求出對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，并且對目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行逐步調(diào)整.在調(diào)整時，將其看作是一個二元的不定方程，從而確定出這個方程的解值，然后對其進(jìn)行判斷是否為可行解.

三、典型例題分析

例假如你需要開一家小店，小店里主要經(jīng)營衣服和褲子.由于你的存款有限，所以在經(jīng)營過程中受到很多限制.（1）由于金額不足，你每次只能最多進(jìn)50件衣服；（2）最多只能進(jìn)30件褲子；（3）為了保證你的小店能正常營業(yè)，你必須要有衣服和褲子一共40件；（4）你的小店在進(jìn)貨時，每件衣服的進(jìn)價為36元，每條褲子的進(jìn)價為48元.現(xiàn)在你只有2400元錢，假如說小店中每賣一件衣服就會增加利潤18元，而一條褲子的利潤是在20元.那么，你需要怎樣進(jìn)貨，才能使小店獲得最大的收益？

解：設(shè)小店進(jìn)貨時，進(jìn)了x件衣服和y件褲子，取得的利潤為z元.根據(jù)題中的條件，能得出如下方程式：0≤x≤50，0≤y≤30，

x+y≥40，

36x+48y≤2400.

根據(jù)方程組，可以計算出可行域以及直線l：18x+20y=0.在可行域內(nèi)對直線l進(jìn)行平移，判斷在什么時候能取得最大值，最后能求出x和y的值，即（36，25）或者（46，16）.但這不是可行解.接下來令18x+20y=1146，得出解值.判斷是否是可行解，發(fā)現(xiàn)不是.令18x+20y=1144，得出的解（48，14）是可行解.此時，這個題的最優(yōu)解調(diào)整完畢，得出結(jié)論.這個例題，就是在得到可行解的范圍的前提下對線性規(guī)劃進(jìn)行最優(yōu)值調(diào)整的題型.在計算時，需要注意滿足實際要求，即根據(jù)應(yīng)用題對不可能的解值進(jìn)行排除，如此題中的非整數(shù)解.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，線性規(guī)劃實際應(yīng)用中的最優(yōu)值調(diào)整是一個難點，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考，促進(jìn)學(xué)生對于這部分內(nèi)容的掌握，從而提高教學(xué)效果.