一類具有飽和發(fā)生率和時(shí)滯的SEIQR傳染病模型穩(wěn)定性分析

李冬梅+張煜+董在飛

摘要：考慮了隔離和接種對(duì)疾病的控制影響，建立了一類具有飽和發(fā)生率的時(shí)滯SEIQR傳染病模型，給出了模型無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)存在條件及模型的持久性，借助持久性構(gòu)造了 Liapunov函數(shù)，證明了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了模型動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：時(shí)滯；隔離；持久性，穩(wěn)定性

DOI：10.15938/j.jhust.2017.02.015

中圖分類號(hào)：

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2017）02-0078-06

Abstract：Considering the effect of isolation and vaccination on control of disease， a SEIQR epidemic model with saturated incidence and time delay is established. Then， the existence condition of the diseasefree equilibrium and endemic equilibrium and the permanence of model are obtained. The global stability of the diseasefree equilibrium and endemic equilibrium are proved by constructing an appropriate Liapunov function， numerical simulations are presented to verify the properties of the models dynamics.

1預(yù)備知識(shí)

傳染疾病爆發(fā)初期，或者易感者數(shù)量較多時(shí)，染病者多以雙線性βSI、標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率βSI/N傳播疾病[1-3]。在傳染病流行期間，染病者接觸易感人群有局限性，如Capasso、Serio在研究霍亂疫情傳播過程中，發(fā)現(xiàn)染病者的行為變化以及人群擁擠效應(yīng)作用，發(fā)生率會(huì)趨近于一個(gè)穩(wěn)定值，采用飽和發(fā)生率βSI/（1+αI）更符合實(shí)際[4]。若傳染病可以治愈，而不采取其它防控措施，用帶有飽和發(fā)生率的SEIR傳染病模型可揭示疾病的傳播規(guī)律[5-6]

若地方病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定（R0>1），即疾病存在，模型（2）中的其他參數(shù)不變，只改變潛伏期時(shí)間，分別取τ=3，τ=0.1，計(jì)算得基本再生數(shù)分別為R0=1.22，R0=1.63，模擬如圖3，圖4所示。

由圖3、圖4觀察地方病平衡點(diǎn)P*的變化發(fā)現(xiàn)，若潛伏時(shí)間τ減少時(shí)，患病者人數(shù)隨之增多，說明潛伏期較長的疾病相對(duì)容易控制。因此潛伏期較長的疾病，可以采用接種疫苗控制疾病，對(duì)潛伏期較短的疾病采用隔離控制方法較好。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1]馬知恩， 周義倉， 王穩(wěn)地， 等. 傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M]. 北京：科技出版社， 2004 ： 147-163， 178.

[2]LIPSITCH M， COHEN T， COOPER B， et al. Transmission Dynamics and Control of Severe Acute Respiratory Syndrome[J]. Science， 2003， 300 （ 5627） ：1966-1970.

[3]MENALORCA J， HETHCOTE H W.Dynamic Models of Infectious Diseases as Regulators of Population Sizes[J]. Journal of Mathematical Biology， 1992， 30（ 7）： 693-716.

[4]CAPASSO V， SERIO G. A Generalization of the KermackMcKendrick Deterministic Epidemic Model[J]. Mathematical Biosciences， 1978， 42 （12） ： 43-61.

[5]王蕾， 劉浩， 王凱. 一類具有飽和發(fā)生率及免疫的時(shí)滯SEIR傳染病模型的 全局漸近穩(wěn)定性[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2012，42（13）：180-184.

[6]楊俊仙， 閆 萍. 一類具飽和發(fā)生率的時(shí)滯SEIR傳染病模型的分析[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2015，32（4）： 439-447.

[7]章培軍，李維德，李自珍.具有連續(xù)預(yù)防接種的雙線性接觸率SEIQR流行病模型的定性分析[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2009，45（4）：118-126.

[8]劉杰，胡志興，廖福成. SEIQR流行病模型的定性分析[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)， 2015，54（3）： 51-55.

[9]周艷麗， 王美娟.含時(shí)滯具有飽和傳染率的SIQRS接種傳染病模型[J]. 上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009，31（5）： 417-421.

[10]CHAHRAZED L， LAZHAR R F. Stability of a Delayed SIQRS Model with Temporary Immunity[J]. Advance in Pure Mathematics， 2013， 3： 240-245.

（編輯：溫澤宇）