觀察、比較和想象：生長空間觀念的土壤
——以“認(rèn)識平行四邊形”一課為例

◇吳 賢

在“認(rèn)識平行四邊形”一課中，我以一組平面圖形為觀察素材，提出了不同的觀察要求，在層層遞進(jìn)的比較中，在一次次富有挑戰(zhàn)的想象中，嘗試豐富兒童對幾何圖形的感受，突破兒童對高這一概念理解的難點(diǎn)，建立更為立體和豐厚的高的認(rèn)識，溝通圖形學(xué)習(xí)中各個概念之間的聯(lián)系，讓兒童的空間觀念得到真正有生命力的生長。

一、在觀察中喚醒已有認(rèn)知

師：（出示圖1）這些圖形中，哪幾個是你心目中的平行四邊形？

圖1

生1：②號、③號和⑤號。

（其他學(xué)生紛紛表示贊同）

師：和他想法一樣的同學(xué)請舉手。的確，通過二年級的學(xué)習(xí)，我們憑感覺就能很容易從這些圖形中正確挑選所有的平行四邊形。不過，在對長方形、平行線等內(nèi)容有了進(jìn)一步認(rèn)識之后，相信同學(xué)們再來觀察平行四邊形，一定會有更深入的發(fā)現(xiàn)。

思考：二年級時，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識了平行四邊形，但那時候，他們對圖形的區(qū)分基本還是憑借整體的感知和把握，或者說，憑借直覺和模糊的理解。如何將這種尚不能宣之于口的認(rèn)識調(diào)取出來呢？在6個看似接近實(shí)則各有用意的多邊形中遴選出平行四邊形，很好地調(diào)動了學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)。①號雖然是四邊形，但沒有平行的對邊；④號盡管有兩組平行的對邊，卻不是四邊形；⑥號圖形只有一組對邊平行。雖然學(xué)生還不能明確地概括出平行四邊形的特點(diǎn)，但對于平行四邊形的整體把握，卻能夠讓其順利地進(jìn)行判斷和選擇，而這種數(shù)學(xué)觀察、思考、判斷的過程，正是學(xué)生將內(nèi)部認(rèn)識表征的過程，也是認(rèn)識平行四邊形的喚醒過程。

二、在操作中驗(yàn)證內(nèi)部認(rèn)識

師：為什么說②、③、⑤號圖形是平行四邊形呢？和其他圖形比較，你覺得平行四邊形具有什么特點(diǎn)呢？先在小組里說一說你的想法，再借助手邊的工具，擺一擺、畫一畫，量一量、比一比，看看平行四邊形究竟有怎樣的特點(diǎn)。

（學(xué)生借助上面6個圖形開展小組研究）

生1：我們把平行四邊形上下兩條邊、左右兩條邊分別延長，發(fā)現(xiàn)它們永遠(yuǎn)不會相交，所以說平行四邊形上下、左右的邊分別平行。

生2：我們也有同樣的發(fā)現(xiàn)，用證明平行的方法，推移尺子也能看出相對的邊是互相平行的。

（學(xué)生操作演示）

生3：我們是在上下兩條邊之間畫了很多條垂直線段，測量后可以看出，這些垂直線段的長度都是2厘米。我們知道，只有平行線之間的距離才能處處相等，所以這兩條邊一定互相平行。

師：大家發(fā)現(xiàn)，平行四邊形有兩組對邊，它們分別平行。

生4：我們還測量了平行四邊形的四條邊的長度和四個角的度數(shù)。發(fā)現(xiàn)平行四邊形對邊不僅平行，長度也相等。另外，對角也相等。

生5：平行四邊形雖然能被分成兩個完全一樣的三角形，但它不是軸對稱圖形，對折后不能完全重合。

師：通過剛才的研究，你們覺得平行四邊形有哪些特點(diǎn)？

（學(xué)生從邊、角等方面總結(jié)）

師：有了今天的認(rèn)識，回頭再看這幾個不是平行四邊形的圖形，相信你們現(xiàn)在不僅僅是憑感覺，而是有了新的依據(jù)，對嗎？

生：①號對邊不平行，④號不是四邊形，⑥號只有一組對邊平行。

師：體會一下，我們在判斷一個圖形是不是平行四邊形的時候，最喜歡用平行四邊形的什么特點(diǎn)？

生：是不是平行，是不是四邊形。

師：是的，再來讀一讀這個圖形的名稱，（和學(xué)生一起讀）你有什么想說的？

生：平行四邊形的名字就表示出它的特點(diǎn)了。

生：這個名字真是特別形象，一下子就告訴我們，對邊平行、四邊形，就是平行四邊形。

思考：學(xué)生對平行四邊形的特點(diǎn)有自己的理解，有的可能更關(guān)注邊的位置關(guān)系，有的對邊的長度、角的大小之間的相等關(guān)系有著自己的判斷。讓學(xué)生在小組中充分地交流、操作、驗(yàn)證，可以將他們對平行四邊形模糊的猜測、認(rèn)識變得更加具體、真實(shí)，相互的交流和補(bǔ)充又能讓這些認(rèn)識更為清晰和準(zhǔn)確。

不過，對圖形的認(rèn)識，只有正例，還不足以凸顯基本質(zhì)特點(diǎn)。借助反例的辨析，從不同的角度再次體會，可以讓學(xué)生對平行四邊形的本質(zhì)特點(diǎn)有更為清楚的體驗(yàn)。學(xué)生原有的空間感受，通過有價值的猜測、操作、驗(yàn)證活動得到了確認(rèn)，在反例的再次審視中得到了提升，這讓學(xué)生對平行四邊形的內(nèi)在特點(diǎn)，與其他圖形的聯(lián)系和區(qū)別有了更深刻的認(rèn)識。

三、在比較中感知新的概念

師：繼續(xù)觀察②號和③號平行四邊形，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這兩個平行四邊形四條邊的長度分別相等，可是它們的形狀卻不一樣。

師：的確，不僅如此，再觀察一下，還有什么發(fā)生了變化？

生：這兩個圖形的大小不同。

生：圖形中的角變了。

生：這兩個圖形的高也不相同。

師：真的嗎？能用手勢比畫一下，你們所說的高到底在哪兒嗎？

（學(xué)生有的用兩手比畫一組平行線，有的用手描畫出一條垂直線段）

師：有了自己的理解后，能用合適的工具畫出這條高，量出它的長度嗎？每人選一個平行四邊形，畫一畫，量一量。

（學(xué)生用三角尺畫出上下對邊之間的一條垂直線段）

師：和他畫的方法差不多的同學(xué)請舉手。

（大部分學(xué)生能畫對，個別學(xué)生雖然畫得不夠標(biāo)準(zhǔn)，但都希望畫出的是高）

師：這一條是高嗎？（展示學(xué)生畫出的不同位置的高）誰來說明一下？

生：是高，它和這一條高只是位置移動了一下，但依然是這里的一條垂直線段，長度也一樣。

師：回憶我們畫高的過程，什么樣的線段是平行四邊形的高？

生：只要是在平行四邊形一組對邊之間畫出的垂直線段，就是這個平行四邊形的高。

師：說得對，在平行四邊形一組對邊之間畫出的垂直線段都是它的高，而這組對邊就是這條高所對應(yīng)的底。在畫高的時候，我們可以從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)出發(fā)，向它的對邊畫一條垂直線段，這就是一條高。一般來說，高要用虛線來畫，因?yàn)槭谴怪本€段，還要加上直角符號。

思考：我們都知道，平行四邊形的高是一個非常重要的新概念，在教材中，是借助起點(diǎn)和終點(diǎn)的方法定義這條圖形內(nèi)部的特殊線段的。在教學(xué)中，我們往往會把這個定義當(dāng)作是數(shù)學(xué)上的一個規(guī)定，讓學(xué)生按照文字的表述去理解和操作。但實(shí)際的學(xué)習(xí)效果往往不夠理想。

值得我們思考的是，平行四邊形的高的實(shí)質(zhì)究竟是什么呢？生活中的高與數(shù)學(xué)上的高之間有沒有聯(lián)系？在教學(xué)中，我利用課始6個圖形中兩個特殊的平行四邊形，讓學(xué)生直觀感知高的變化，模糊地找到高的位置。嘗試畫高后方法的比較，讓學(xué)生真正體會到，平行四邊形的高，實(shí)際上就是它一組對邊間的垂直線段，且由于對邊平行的特點(diǎn)，學(xué)生更容易理解高有無數(shù)條，處處相等。而建立在對邊之間垂直線段這一理解上的高，也容易讓學(xué)生對底的認(rèn)識有所突破。

四、在想象中體會圖形性質(zhì)

讓學(xué)生觀察②號和③號這兩個平行四邊形，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形邊的長度不變，高卻會發(fā)生變化。利用教具，讓學(xué)生演示高的變化，體會在這一過程中，什么沒有變、什么變了，說明平行四邊形還很容易變形。

提問：當(dāng)高最大的時候，平行四邊形會變成什么圖形？這個特殊平行四邊形的高就是什么？

讓學(xué)生體會平行四邊形與長方形之間的聯(lián)系和區(qū)別。

思考：這是一次對平行四邊形的重新觀察，從變與不變的角度，學(xué)生在靜態(tài)的圖和動態(tài)的框架的多次感知中，體會平行四邊形易變形的特性。而觀察中，對高的體會，還能巧妙地溝通平行四邊形和長方形的聯(lián)系，讓學(xué)生在初步觀察時產(chǎn)生的疑惑得到解答。

五、在矛盾中加深概念理解

師：（指②號和③號圖形）這兩個平行四邊形，不僅高不相等，形狀也發(fā)生了變化。想一想，還有沒有這樣一個平行四邊形，它的四條邊和這兩個平行四邊形分別相等，形狀卻不相同？

（生比畫交流）

師：（出示平行四邊形框架）這里有一個平行四邊形，你能借助它說明你的想法嗎？

生：這樣的平行四邊形還有很多，大家看，我只要推一點(diǎn)兒，這個圖形的高就變了，但它的四條邊的長度是不會變化的。

師：看來，平行四邊形很容易變形。繼續(xù)想象一下，這個圖形的高如果不斷變高，變到最高的時候，是怎樣的呢？

生：高最高時，平行四邊形就變成一個長方形了。這時候，高就跑到長方形的邊上來了。

（學(xué)生邊說邊用框架演示）

生：我覺得長方形就是一個特殊的平行四邊形。

師：通過這一次想象之旅，我們對平行四邊形和它的高又有了新的認(rèn)識?，F(xiàn)在，請你在⑤號圖形中，畫出并量出它的底和高。

（學(xué)生畫完后展示不同的畫法）

師：觀察②號和⑤號平行四邊形，它們其實(shí)是完全一樣的圖形。（剪出一個圖形與另一個重合）可是，同樣的平行四邊形，量出的底和高怎么會不相同呢？

生：一個是較長的邊上的高，一個是較短的邊上的高。

生：它們是畫在不同的對邊里的，對邊不同，高的長度也不同。

生：我發(fā)現(xiàn)，底邊比較短，高就比較長；底邊要是比較長，高就比較短。

師：看來，觀察的角度不同，底就不同，對應(yīng)的高也不同，較長的邊做底，對應(yīng)的高就比較短；較短的邊做底，對應(yīng)的高就比較長。平行四邊形的底和高是相互依存的，也是相互制約的。

思考：再次畫高，既是一次對底和高的鞏固練習(xí)，也為之后的比較提供了素材。在發(fā)現(xiàn)②號和⑤號其實(shí)是完全一樣的平行四邊形后，學(xué)生自然地產(chǎn)生這樣的疑問：怎么同一個平行四邊形，底和高卻不同呢？在對這一問題的思考中，學(xué)生會基于各自的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：同一個平行四邊形，都能夠畫出兩組不同的底和高，底和高必須對應(yīng)存在，且長度之間是一種互相制約的關(guān)系。這為以后學(xué)習(xí)平行四邊形的面積、靈活解決問題都提供了很好的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。