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    p-內(nèi)平凡kG-模上的Green對應(yīng)

    2017-06-05 15:09:38黃文林
    關(guān)鍵詞:西羅子群同構(gòu)

    黃文林

    (中國人民大學(xué) 信息學(xué)院, 北京 100872)

    p-內(nèi)平凡kG-模上的Green對應(yīng)

    黃文林

    (中國人民大學(xué) 信息學(xué)院, 北京 100872)

    將內(nèi)平凡kG-模擴充為p-內(nèi)平凡kG-模,并證明了若H是群G的強p-嵌入子群,那么Green對應(yīng)建立了一個從不可分解p-內(nèi)平凡kH-模的同構(gòu)類到不可分解p-內(nèi)平凡kG-模同構(gòu)類之間的一一對應(yīng).

    p-可除模;p-內(nèi)平凡模; Green對應(yīng)

    在有限群表示論中,p-可除kG-模被稱為絕對p-可除kG-模,并被用于研究Green環(huán)中的冪零元素[1].文獻[2]從可裂跡模的角度對p-可除kG-模也進行了細致地研究,得到將張量積分解為不可分解模直和的方法,還得到與有限群表示相關(guān)的幾乎可裂序列的結(jié)論.

    E. Dade[3]首次提出內(nèi)平凡kG-模,內(nèi)平凡kG-模在p-塊代數(shù)的穩(wěn)定范疇上的自等價和Dade群的結(jié)構(gòu)方面扮演著關(guān)鍵角色,而且與源模和源代數(shù)有關(guān)的一些問題可以約化到內(nèi)平凡kG-模上來處理[3-5].本文利用p-可除kG-模,將內(nèi)平凡kG-模擴充為p-內(nèi)平凡kG-模.一方面,p-內(nèi)平凡kG-模是內(nèi)平凡kG-模的廣義化[3];另一方面,任何p-內(nèi)平凡kG-模也是可裂跡模[2].由此,本文研究了一類特殊的可裂跡?!猵-內(nèi)平凡kG-模.

    Green對應(yīng)在有限群表示論中具有根本的重要性,沿著Green的工作思路,本文得到p-內(nèi)平凡kG-模上誘導(dǎo)和限制的系列結(jié)論,特別地,證明了若H是群G的強p-嵌入子群,那么Green對應(yīng)建立了一個從不可分解p-內(nèi)平凡kH-模的同構(gòu)類到不可分解p-內(nèi)平凡kG-模的同構(gòu)類之間的一一對應(yīng).

    本文設(shè)定:p是素數(shù),G是階含有素因子p的有限群,k是特征為p的代數(shù)封閉域;本文中所有的模都是有限生成的,所有的群都是有限群;關(guān)于本文的記號和術(shù)語,請參考文獻[6-7].

    1 p-內(nèi)平凡模及其Green對應(yīng)

    定義 1 對于kG-模V和素數(shù)p,若V的任意不可分解直因子的維數(shù)能被p整除,則稱V為p-可除kG-模[1].

    讀者可證明下面的關(guān)于p-可除kG-模的基本結(jié)論.

    引理 2 設(shè)U和V都是p-可除kG-模,W是kG-模,P是G的真p-子群,則:

    1)P-投射kG-模是p-可除kG-模,特別地,投射kG-模是p-可除kG-模;

    2)V*是p-可除kG-模;

    3)U⊕V是p-可除kG-模,反之也成立;

    4)U?W是p-可除kG-模;

    5) Hom(U,V)是p-可除kG-模;

    6)U的直因子是p-可除kG-模,特別地,k不是U的直因子,也不是End(U)的直因子.

    2) 限制到代數(shù)封閉域k,任何不可分解kG-模是絕對不可分解的[1],由此,本質(zhì)上,p-可除kG-模是由素數(shù)p控制的,并且文獻[1]中的絕對p-可除kG-模即是本文中的p-可除kG-模.

    3)p-可除kG-模是一個較大的模類,它包含所有的P-投射kG-模(特別地,所有的投射kG-模),然而,平凡kG-模k不是p-可除kG-模,從而給出下面的定義.

    定義 4 設(shè)V是kG-模,若內(nèi)同態(tài)(自同態(tài))模End(V)在kG-模同構(gòu)的意義下可以分解為平凡kG-模k和p-可除kG-模U的直和,也即End(V)?k⊕U,則稱V是p-內(nèi)平凡kG-模.

    p-內(nèi)平凡kG-模推廣了熟知的內(nèi)平凡kG-模[3].平凡kG-模k是最簡單的p-內(nèi)平凡kG-模,p-內(nèi)平凡kG-模的維數(shù)與p互素,并且,p-可除kG-模一定不是p-內(nèi)平凡kG-模.

    引理 5 設(shè)V是p-內(nèi)平凡kG-模,W是p-可除kG-模,則:

    1)V⊕W是p-內(nèi)平凡kG-模;

    2) 在kG-模同構(gòu)的意義下,V有唯一一個p-內(nèi)平凡kG-模直因子.

    證明 1) 一方面,有下面典范的kG-模同構(gòu)

    End(V⊕W)?End(V)⊕End(W)⊕
    Hom(V,W)⊕Hom(W,V);

    另一方面,由引理2得知End(W)、Hom(V,W)、Hom(W,V)都是p-可除kG-模.綜上得知End(V⊕W)是平凡kG-模k和p-可除kG-模的直和,也即V⊕W是p-內(nèi)平凡kG-模.

    2) 相反,設(shè)U是V的不可分解非p-可除直因子,則End(U)|End(V),由Krull-Schmidt定理,以及V是p-內(nèi)平凡kG-模得知End(U)=k⊕M,這里M是p-可除kG-模,再由定義4得知U是p-內(nèi)平凡kG-模.

    進一步,若X是V的另一個不可分解p-內(nèi)平凡直因子,且U⊕X|V,則k⊕k|End(V),矛盾.因此,在kG-模同構(gòu)的意義下,V有唯一一個p-內(nèi)平凡kG-模直因子.

    引理5表明對于任何p-內(nèi)平凡kG-模V,在kG-模同構(gòu)的意義下,V是它的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡kG-模直因子和p-可除kG-模的直和.

    引理 6 設(shè)G≥H,P是G的p-子群,U是kP-模,以及V是kG-模.

    3) 若U不是p-可除kP-模,則IndGHU是p-可除kG-模當且僅當P是G的真p-子群.

    證明 1) 由Krull-Schmidt定理可知結(jié)論成立.

    然而,由Frobenius互反律[7]得知

    引理 7 設(shè)G≥H,V是kG-模,則:

    另一方面,

    其中M是p-可除kH-模.

    2) 設(shè)End(V)?k⊕Y,其中Y是p-可除kG-模,則

    性質(zhì) 8 設(shè)U和V都是p-臨界kG-模,則U*、U?V、Hom(U,V)也都是p-臨界kG-模,而且任何p-臨界kG-模都是p-內(nèi)平凡kG-模.

    證明 由引理2得知U*和U?V都是p-臨界kG-模,而且Hom(U,V)也是p-臨界kG-模;又因為k是p-內(nèi)平凡的,結(jié)合引理5和7得知任何p-臨界kG-模都是p-內(nèi)平凡kG-模.

    性質(zhì) 9 設(shè)V是p-內(nèi)平凡kG-模,若V是不可分解的,則V的頂是G的西羅p-子群,并且V屬于G的滿虧p-塊;若V是H-投射的,則H包含G的某個西羅p-子群.

    證明 反證法.若不可分解模V的頂P是G的真p-子群,則p|dim(V),矛盾.所以P是G的西羅p-子群,并且V屬于G的滿虧p-塊.若V是H-投射的,則V的不可分解直因子仍是H-投射的,從而H包含G的某個西羅p-子群.

    dim(V)=|G∶H|dim(U),

    所以p不能整除dim(V).與此同時,

    (1)

    稱H是群G的強p-嵌入子群,若p||H|且對于任意x∈G-H有p|H∩xH|;強p-嵌入子群在有限單群分類中有重要的應(yīng)用;注意到群G的強p-嵌入子群H包含G的任何p-子群在G中的正規(guī)化子,以及若群G有平凡西羅交,則G一定有強p-嵌入子群.

    證明 由定理10和強p-嵌入子群定義即知本結(jié)論成立.

    設(shè)H是群G的子群,P是G的p-子群,并且G≥H≥NG(P),著名的Green對應(yīng)定理建立了頂為P的不可分解kG-模的同構(gòu)類和頂為P的不可分解kH-模的同構(gòu)類之間的一一對應(yīng)[7].特別地,若P是G的西羅p-子群,V是不可分解p-內(nèi)平凡kG-模,以及U是不可分解p-內(nèi)平凡kH-模,下面的結(jié)論表明V的Green對應(yīng)仍是p-內(nèi)平凡的;然而,一般地,U的Green對應(yīng)可能是,也可能不是p-內(nèi)平凡的.

    性質(zhì) 13 設(shè)H是G的子群,P是G的西羅p-子群,并且G≥H≥NG(P);又設(shè)U是不可分解p-內(nèi)平凡kH-模,V是U的Green對應(yīng);若對于任何g∈G-H有p||G:H∩gH|,則V是不可分解p-內(nèi)平凡kG-模.

    定理 14 設(shè)H是G的子群,P是G的西羅p-子群,并且G≥H≥NG(P);若H是G的強p-嵌入子群,那么Green對應(yīng)建立了一個從不可分解p-內(nèi)平凡kG-模的同構(gòu)類到不可分解p-內(nèi)平凡kH-模同構(gòu)類之間的一一對應(yīng).

    證明 當H是G的強p-嵌入子群時,推論11和性質(zhì)12和13共同表明:不可分解p-內(nèi)平凡kG-模V的Green對應(yīng)是p-內(nèi)平凡kH-模,以及不可分解p-內(nèi)平凡kH-模U的Green對應(yīng)是p-內(nèi)平凡kG-模,而且它們有公共的頂P;既然U和V有公共的頂P,以及Green對應(yīng)建立了具有公共頂?shù)牟豢煞纸鈑G-模的同構(gòu)類和不可分解kH-模同構(gòu)類之間的一一對應(yīng),綜上得知Green對應(yīng)在不可分解p-內(nèi)平凡模上封閉,并且也建立了一個從不可分解p-內(nèi)平凡kG-模的同構(gòu)類到不可分解p-內(nèi)平凡kH-模同構(gòu)類之間的一一對應(yīng).證畢.

    定理14說明若H是G的強p-嵌入子群,則不可分解p-內(nèi)平凡模作為頂為P的不可分解模的子類,它的同構(gòu)類也在從頂為P的不可分解kG-模到頂為P的不可分解kH-模的Green對應(yīng)下保持封閉.

    [1] BENSON D, CARLSON J. Nilpotent elements in the Green ring[J]. J Algebra,1986,104(2):329-350.

    [2] AUSLANDER M, CARLSON J. Almost-split sequences and group rings[J]. J Algebra,1986,103(1):122-140.

    [3] DADE E. Endo-permutation modules overp-groups II[J]. Ann Math,1978,108(2):317-346.

    [4] BOLTJE R, XU B. OnP-permutation equivalences: Between Rickard equivalences and isotypies[J]. Trans Am Math Soc,2008,360(10):5067-5087.

    [5] PEREPELITSKY P.p-permutation equivalences between blocks of finite groups[D]. San Diego:University of California,2014.

    [6] THEVENAZ J.G-algebras and Modular Representation Theory[M]. New York:Oxford University Press,1995.

    [7] WEBB P. A Course in Finite Group Representation Theory[M]. New York:Cambridge University Press,2016.

    [8] CARLSON J, MAZZA N, NAKANO D. Endo-trivial modules for the general linear group in a nondefining characteristic[J]. Mathematics,2014,278(3/4):901-925.

    [9] CARLSON J, THEVENAZ J. The classification of torsion endo-trivial modules[J]. Ann Math,2005,162(2):823-883.

    [10] CRAVEN D. The modular representation theory of finite groups[D]. Birmingham:University of Birmingham,2006.

    2010 MSC:20C05; 20C20

    (編輯 周 俊)

    The Green Correspondence for thep-EndotrivialkG-Modules

    HUANG Wenlin

    (Schoolofinformation,RenminUniversityofChina,Beijing100872)

    In this paper, we extend the ordinary endo-trivialkG-module to thep-endotrivialkG-module, and prove that Green correspondence sets up a bijection between the isomorphism classes of the indecomposablep-endotrivialkG-modules and that of the indecomposablep-endotrivialkH-modules, whenHis stronglyp-embedded inG.

    p-divisible module;p-endotrivial module; Green correspondence

    2016-11-08

    國家自然科學(xué)基金(10826057)

    黃文林(1977—),男,博士,主要從事有限群表示論的研究,E-mail:wenlinhuang@163.com

    O152.6

    A

    1001-8395(2017)03-0320-04

    10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.008

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