整環(huán)上的u-算子及其同調特征

李 慶

(西南民族大學 計算機科學與技術學院, 四川 成都 610041)

整環(huán)上的u-算子及其同調特征

李 慶

(西南民族大學 計算機科學與技術學院, 四川 成都 610041)

u-算子; UP整環(huán);u-正合列;u-模

1 預備知識

在擬Frobenius環(huán)研究中,Faith猜測,即完全的單邊自內射環(huán)是擬Frobenius環(huán),成為眾多學者關注的焦點;由此將內射性進行推廣成為眾多學者研究的課題,參見文獻[1-3].文獻[3]引入極大性內射模的概念;文獻[4]研究了交換環(huán)上的極大性內射模,特別在MFG整環(huán)上通過極大性內射模來構造一個星型算子,深入刻畫了極大性內射模的性質;文獻[5]在文獻[4]的基礎上將極大性內射模推廣到U-內射模并展開了一系列的討論.本文期望類通過U-內射模建立一個新的星型算子,將乘法理想理論與同調性質結合起來展開對U-內射模較為系統(tǒng)的討論.

2 自U-內射環(huán)

首先回顧文獻[5]中的幾個重要概念.

定義 2.1[5]設R是交換環(huán),M是R-模,U-Tor(M)={x∈M|存在J∈U,使得Jx=0}，則U-Tor(M)是M的子模,稱為M的U-撓子模.若U-Tor(M)=M,稱M為U-撓模;若U-Tor(M)=0,稱M為U-無撓模.

定義 2.3 設R是交換環(huán),若R作為R-模是U-內射模,則稱R為自U-內射環(huán).若環(huán)R中的理想作為R-模是U-內射模,稱該理想為U-內射理想.

定理 2.4 設R是U-無撓的自U-內射環(huán),則以下各條等價:

1) M是U-無撓模;

2) 對任何x∈M,annR(x)是R的U-內射理想;

3) 對任何X?M,annR(X)是R的U-內射理想.

證明 1)?2) 設J∈U,a∈R,Ja?annR(x),故Jax=0.因M是U-無撓模,則ax=0.故a∈annR(x).由文獻[5]的定理3.4,annR(x)是U-內射模.

2)?3) 因ann(X)=∩{ann(x)|x∈X},由文獻[5]的推論3.5,ann(X)是U-內射模.

3)?1) 設x∈M,Jx=0,其中J∈U,故J?ann(x).因R是U-內射模,故由文獻[5]的定理3.4,1∈ann(x).故x=0.因此,M是U-無撓模.

由文獻[5]的定理3.9易得出以下結論.

命題 2.5 設R是U-無撓的自U-內射環(huán),M是R-模,則對偶模M*和二次對偶模M**都是U-無撓的U-內射模.從而自反模是U-無撓的U-內射模.

命題 2.6 設R是U-無撓的自U-內射環(huán),則R的非極大的素w-理想都是U-內射理想.

證明 設P是R的非極大的素w-理想,故對任意的J∈U,JP.若x∈R,Jx?P,故x∈P.由文獻[5]的定理3.4,P是U-內射理想.

為方便敘述,說R滿足(P),是指任意J∈U至少包含一個有限生成子理想I∈U.

命題 2.9 設R是交換環(huán),M是R-模,則有以下結論:

1)M?Mu;

2)M是U-內射模當且僅當M=Mu;

3) 如果A是R-模且A?M,則Au?Mu;

4) 若N是U-內射模,M?N,則Mu?N;

5) 若R滿足(P),則有

i) 設I是R的理想,有(IM)u=(IuMu)u;

ii) (Mu)u=Mu;

iii)Mu是U-內射模.

證明 1)、3)都是基本驗證,此處不再贅述.

2)由文獻[5]的定理3.4易得結論.

4)設x∈Mu?E(M)?E(N),存在J∈U使得Jx?M?N.故x∈Nu.因N是U-內射模,故N=Nu.所以x∈N.故Mu?N.

5)i)因IM?IuMu,故(IM)u?(IuMu)u.反過來,設x∈(IuMu)u,存在J∈U使得Jx?IuMu.由R滿足(P),故存在有限生成I?J,I∈U使得Ix?IuMu.故存在J′∈U使得J′x?IM,于是x∈(IM)u.

5)ii)顯然,Mu?(Mu)u.反過來,設x∈(Mu)u,存在J∈U使得Jx?Mu.由R滿足(P),故存在有限生成I?J,I∈U使得Ix?Mu.故存在J′∈U使得J′x?M,于是x∈=Mu.

5)iii)由2)和5)中的ii)可得結論.

命題 2.10 設R是交換環(huán),M是R-模,a∈R.

1)aMu?(aM)u;

2) 若a不是M的零因子,R滿足(P),則aMu=(aM)u.

證明 1)設任意x∈Mu,則存在J∈U使得Jx?M,從而Jax?aM,故ax∈(aM)u.

2)容易知道a不是Mu的零因子.由aMu?Mu,由命題2.9,aMu是U-內射模,即aMu=(aMu)u.由aM?aMu,故(aM)u?aMu.再由1)可得(aM)u=(aM)u.

推論 2.11 設R是交換環(huán),I是R的理想,R滿足(P),a∈T(R)(這里T(R)為交換環(huán)R的完全分式環(huán)),則aIu?(aI)u.

推論 2.12 設R是整環(huán),R滿足(P),I是R的理想,0≠a∈K,則aIu=(aI)u.

熟知的w-全局變換環(huán)Rwg={x∈qf(R)|Jx?R,其中J∈U}實際上就是整環(huán)R的U-包絡,Rwg=Ru.一般情況下,R≠Ru,因此,一般情況下R不是U-內射R-模.由命題2.9可知,當交換環(huán)R滿足(P)時,u-算子就是半星算子.進一步,當R是滿足(P)的自U-內射環(huán)時,u-算子就是一類星型算子.期望利用發(fā)展較成熟的星型算子工具來研究U-內射模.因此,下面主要對滿足(P)的自U-內射整環(huán)R上的u-算子和u-模展開一系列的討論.

3 UP整環(huán)上的u-算子

定義 3.1 設R是U-無撓的自U-內射整環(huán)，且R滿足(P)，則稱R是UP整環(huán).

引理 3.2 設R是交換環(huán),對任何U-無撓模M,Mu/M是U-撓模.

定理 3.3 設M是R-模,則以下各條等價:

1)M是U-撓模；

證明 1)?2) 不妨記ker(g)=A,由命題2.9,AU?B.設任意的x∈B,g(x)∈M.由M是U-撓模,故存在J∈U使得Jg(x)=g(Jx)=0.故Jx∈ker(g)=A,從而x∈Au.

3)?1) 由引理 3.2,M?F/A=Au/A是U-撓模.

定理 3.4 設M是R-模,則以下各條等價:

1)M是U-內射模;

3)?4) 由引理3.2易得結論.

命題 3.5 1) 若J∈U,J是有限生成的,則J∈GV(R);

2)GV-無撓模是U-無撓模;

3)w-模是u-模.

證明 1)因R是自U-內射模,且J∈U是有限生成的,故由文獻[5]的定理3.4有HomR(J,R)?R.因此J∈GV(R)；

2)設M是GV-無撓模,x∈M,J∈U,有Jx=0.故存在J的有限生成子理想I∈U且由1),有I∈GV(R).因M是GV-無撓模,故由Ix=0可推出x=0；

3)由1)和文獻[5]的定理3.4易得結論.

命題 3.6 1)R中的極大u-理想是素理想;

2) 設I是R的u-理想,則存在R的極大u-理想P使得I?P.

證明 1)設P是R的極大u-理想,a,b∈R,ab∈P,且(a)P,從而(P+Ra)u=R.故b∈Rb=b(P+Ra)u=(b(P+Ra))u?Pu=p.故P是素理想.

2)設Γ={A|A是R的u-理想且I?A}.由于I是R的u-理想,所以Γ非空.由Zorn引理,Γ中有極大元P.容易知道P就是R的極大u-理想.

命題 3.7R-模M是U-撓模當且僅當對R的任何極大u-理想m,Mm=0.

反過來,令T=U-Tor(M),N=M/T，則N是U-無撓模.任取x∈N,由定理2.4,ann(x)是u-理想.對任何極大u-理想m,由已知條件Nm=0.故存在s∈Rm,使得sx=0.故s∈ann(x).故ann(x)m.從而ann(x)=R.因此,x=0.故N=0,即M是U-撓模.

命題 3.8 設p是R的素u-理想,M是U-無撓模.則Mp=(Mu)p.

證明 由引理3.2,Mu/M是U-撓模.由命題3.7,(Mu/M)p=0.故Mp=(Mu)p.

命題 3.9 設M是U-無撓模,A,B是M的子模.則Au=Bu當且僅當對R的任何極大u-理想m,有Am=Bm.從而若A、B是M的u-子模,則A=B當且僅當對R的任何極大u-理想m,有Am=Bm.

證明 設Au=Bu,故由命題 3.8,Am=(Au)m=(Bu)m=Bm.

反過來,設對R的任何極大u-理想m,有Am=Bm.設x∈Au.令I=(Bu∶x)={r∈R|rx∈Bu}.任取y∈Iu,則存在J∈U,使得Jy?I,故Jyx?Bu.因此,存在J′∈U,使得J′Jyx?B.故yx∈Bu.從而y∈I.故I=Iu.故I是R的u-理想.由于對任何極大u-理想m,有(Bu)m=Bm=Am=(Au)m.從而有Im=(Bu∶x)m=((Bu)m∶xRm)=((Au)m∶xRm)=Rm,其中最后一個等號是因為x∈Au,故xRm?(Au)m.因此對R的一切極大u-理想m,Im.又因I是R的u-理想,故I=R,從而x∈Bu.故Au?Bu.同理,Bu?Au.因此,Au=Bu.

命題 3.10 設p是R的素u-理想,N是Rp-模，則N作為R-模是u-模.

證明 設J∈U,x∈N,Jx=0.因Jp,故可以選擇s∈Jp,有sx=0.因N作為R-模,根據(jù)其模的構造方式,有x.又因在Rp中是單位,故x=0.從而N是U-無撓模.設J∈U,x∈E(N),Jx?N.同上述一樣,選擇s∈Jp,有sx∈N.因在Rp中是單位,與上述同理,有x∈N.故N作為R-模是u-模.

命題 3.11 設N是U-無撓模,B是任何R-模,

2) 設N是u-模,A是B的子模.若B/A是U-撓模,則HomR(A,N)=HomR(B,N).特別,若A是U-撓模,則HomR(A,N)=HomR(Au,N).

特別,把B替換成Au,同理有HomR(A,N)=HomR(Au,N).

4 UP整環(huán)上的u-正合列

1) f可以唯一擴張為Au到Bu的同態(tài);

2)若x∈Au,g(x)=0,則存在J∈U,使得Jx?A.故f(Jx)=g(Jx)=Jg(x)=0.因f是u-同構,故fm是單同態(tài),從而Jx=0.又因A是U-無撓模,故x=0.故g是單同態(tài).

3)知道

((im(f)+ker(g))/im(f))m=(im(f)m+ker(g)m)/im(f)m=(im(fm)+ker(gm))/im(fm),

((im(f)+ker(g))/ker(g))m=(im(f)m+ker(g)m)/ker(g)m=(im(fm)m+ker(gm))/ker(gm),

引理 4.6 (u-算子下的廣義5引理)設下圖是兩行都是u-正合列的交換圖.

則有：

1) 若α,γ是u-單同態(tài),且δ是u-滿同態(tài),則β是u-單同態(tài);

2) 若α,γ是u-滿同態(tài),且τ是u-單同態(tài),則β是u-滿同態(tài).

特別地,若δ,α,γ,τ都是u-同構,則β是u-同構.

證明 對極大u-理想作局部化即證.

是正合列.

是正合列,故

致謝 西南民族大學中央高校基本科研業(yè)務費專項資金(2015NZYQN69)對本文給予了資助,謹致謝意.

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2010 MSC：13G05; 13C11; 13D07

(編輯 陶志寧)

u-Operation over an Integral Domain and Its Homological Characterizations

LI Qing

(SchoolofComputerScienceandTechnology,SouthwestUniversityforNationalities,Chengdu610041,Sichuan)

We define an UP domain，u-operation and u-modules by using U-injective modules．We prove that，over an UP-domain， M is U-torsion if and only if for each exact sequence 0 →A →B → g M →0，where B is a U-injective module，Au =B holds． We also prove that M is a U-injective module if and only if a morphism f: A →M can be extended to Au，if and only if for each U-torsion module C，Ext1 R( C，M) = 0． Moreover，we give the definition of u-exact sequences over a UP-domain and prove that A → f B → g C is a u-exact sequence if and only if both( im( f) +ker( g) ) /im( f) and ( im( f) +ker( g) ) /ker( g) are U-torsion modules．Finally，we show that over a UP-domain，if A → f B → g C →0 is a u-exact sequence and N is a u-module，then 0 →HomR( C，N) →HomR( B，N) → HomR( A，N) is an exact sequence．

u-operation; UP-domain;u-exact sequence;u-module

2017-01-04

國家自然科學基金(11401493)和四川省教育廳自然科學重點基金(14ZB0463)

李 慶(1980—),女,副教授,主要從事交換代數(shù)、同調代數(shù)與代數(shù)K-理論的研究,E-mail:lqop80@163.com.

O153.3; O154.2

A

1001-8395(2017)03-0301-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.004