辛對(duì)偶體系下薄壁圓柱殼強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析

李榆銀　張亞輝　秦朝紅

摘要：在辛對(duì)偶體系下，采用波傳播分析方法研究了薄壁圓柱殼在簡(jiǎn)諧外力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。首先，通過(guò)Hamilton函數(shù)將薄壁圓柱殼的振動(dòng)問(wèn)題導(dǎo)入辛對(duì)偶體系；然后，通過(guò)求解辛本征問(wèn)題建立了具有共軛辛正交性質(zhì)的波形矩陣，并將物理空間中的問(wèn)題轉(zhuǎn)換到波形空間中進(jìn)行描述；最后，結(jié)合外力作用處和邊界處的位移和內(nèi)力協(xié)調(diào)關(guān)系，以及圓柱殼軸向的波傳播關(guān)系，得到圓柱殼任意位置處的波幅表達(dá)式。與振型疊加法相比，此方法對(duì)高頻振動(dòng)問(wèn)題具有更高的計(jì)算精度和效率。另外，此方法可方便地處理復(fù)雜邊界條件。算例考慮了不同邊界條件的情況，與振型疊加法或NASTRAN的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了此方法的有效性。

關(guān)鍵詞：強(qiáng)迫振動(dòng)；薄壁圓柱殼；辛對(duì)偶體系；波傳播方法

引言

薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于土木、機(jī)械、航空航天和海洋等工程領(lǐng)域。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)薄壁圓柱殼在復(fù)雜環(huán)境動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究，發(fā)展了許多數(shù)值和解析的分析方法。以有限單元法為代表的數(shù)值方法通常用于處理結(jié)構(gòu)或邊界條件比較復(fù)雜的情況，而解析方法能夠提供對(duì)問(wèn)題的物理本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，且更容易獲得一些規(guī)律性的結(jié)論，因此更適合對(duì)一些基本構(gòu)件進(jìn)行機(jī)理性的力學(xué)分析。在薄壁圓柱殼振動(dòng)問(wèn)題的解析方法中，基于梁函數(shù)的振型疊加法和基于波傳播的方法是最常見的兩種方法。

由于薄壁圓柱殼的軸向振型接近相同邊界條件梁的振型，因此在使用振型疊加法時(shí)，可采用軸向梁函數(shù)和周向三角函數(shù)的組合形式來(lái)描述薄壁圓柱殼的解析振型。王宇等采用振型疊加法研究了薄壁圓柱殼在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和沖擊激勵(lì)下的響應(yīng)。Lee等利用振型疊加法分析了兩端簡(jiǎn)支約束的層合薄壁圓柱殼在脈沖激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Khalili等研究了有初始?jí)毫Φ膹?fù)合材料薄壁圓柱殼的自由振動(dòng)特性和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。由于梁的振型函數(shù)僅在兩端簡(jiǎn)支邊界條件下才有解析解，而其他邊界條件的振型函數(shù)需要通過(guò)求解超越方程得到；同時(shí)當(dāng)圓柱殼在軸向存在厚度不連續(xù)情況時(shí)，比如有環(huán)肋或者篦齒，則很難確定其軸向振型函數(shù)，因此基于軸向梁函數(shù)的振型疊加法僅能處理相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。另一方面，采用振型疊加法處理結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)問(wèn)題時(shí)需要大量的振型參與疊加，振型的截?cái)嗫赡軙?huì)導(dǎo)致精度或者計(jì)算效率問(wèn)題。

基于波傳播分析的方法也被廣泛應(yīng)用于薄壁圓柱殼的振動(dòng)問(wèn)題。zhang等采用波傳播法研究了薄壁圓柱殼自由振動(dòng)特性，并進(jìn)一步將研究拓展到了充液圓柱殼和水下圓柱殼的情況。Li將圓柱殼的軸向波形采用梁函數(shù)來(lái)近似，結(jié)合波傳播法研究了不同邊界條件下圓柱殼的振動(dòng)特性，并對(duì)這種方法的精度進(jìn)行了詳細(xì)的驗(yàn)證和討論。Chen等采用波傳播方法研究了存在厚度不連續(xù)的圓柱殼模型的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題，考慮了經(jīng)典邊界條件和彈性邊界條件等不同的情況。馬旭等在波傳播分析方法的基礎(chǔ)上，采用一種改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)模擬彈性約束邊界條件下的軸向波形，研究了邊界條件對(duì)圓柱殼振動(dòng)特性的影響?；诓▊鞑サ姆治龇椒芴峁┻B續(xù)體振動(dòng)的物理本質(zhì)上的解釋，在處理復(fù)雜邊界條件時(shí)有著天然的優(yōu)勢(shì)，這是振型疊加法所不具備的。此外，振型疊加法需要同時(shí)對(duì)周向振型和軸向振型進(jìn)行截?cái)啵▊鞑シ治龇ㄖ簧婕皩?duì)周向波數(shù)的截?cái)?，因此在處理高頻振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，后者的優(yōu)勢(shì)將更加明顯。

考慮到波傳播分析方法具有的上述優(yōu)勢(shì)，張亞輝等將其與辛狀態(tài)空問(wèn)理論結(jié)合，提出了針對(duì)矩形薄板和板列結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)問(wèn)題的辛空間波形展開方法，并將其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的中高頻振動(dòng)分析以及功率流分析。這種方法不僅具有波傳播分析方法的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)還繼承了辛方法高精度和高數(shù)值穩(wěn)定性的特點(diǎn)。xu等將圓柱殼在沖擊作用下的動(dòng)態(tài)屈曲問(wèn)題導(dǎo)人哈密頓體系，在辛空間中將臨界屈曲載荷和動(dòng)態(tài)屈曲模態(tài)歸結(jié)為辛本征值和本征函數(shù)的求解問(wèn)題，并討論了臨界屈曲載荷的影響因素以及屈曲模態(tài)的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，本文將辛空問(wèn)波形展開方法推廣到薄壁圓柱殼強(qiáng)迫振動(dòng)分析。首先將薄壁圓柱殼的振動(dòng)問(wèn)題導(dǎo)人由對(duì)偶變量表示的Hamilton體系，然后通過(guò)求解本征值問(wèn)題得到波傳播參數(shù)和波形，最后通過(guò)波的入射、反射以及傳播關(guān)系得到各波幅的表達(dá)式。本文方法在辛對(duì)偶體系下進(jìn)行求解，使得分離變量法及辛本征函數(shù)展開的直接解析法得以實(shí)施。與振型疊加法相比，本文的方法在處理復(fù)雜邊界條件方面優(yōu)勢(shì)明顯，且對(duì)于高頻振動(dòng)問(wèn)題，具有更高的計(jì)算效率和精度。