基于修正Burgers模型的澆筑式瀝青混合料黏彈性參數(shù)確定方法

周驁，謝發(fā)祥*，章登精，吉伯海，陳林

(1.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，南京210024；2.南京重大路橋建設(shè)指揮部，南京210019)

基于修正Burgers模型的澆筑式瀝青混合料黏彈性參數(shù)確定方法

周驁1，謝發(fā)祥1*，章登精2，吉伯海1，陳林1

(1.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，南京210024；2.南京重大路橋建設(shè)指揮部，南京210019)

黏彈性是澆筑式瀝青混合料的重要特性之一。首先利用Laplace變換，將修正Burgers模型的黏彈性參數(shù)轉(zhuǎn)化為剪切松弛模量的Prony級數(shù)形式，以滿足ANSYS等有限元軟件的黏彈性材料參數(shù)輸入要求，并通過ANSYS模擬驗證了公式的正確性；對澆筑式瀝青混合料進行了單軸貫入蠕變試驗；利用Matlab軟件對蠕變?nèi)崃窟M行擬合，獲得了修正Burgers模型表征的黏彈性參數(shù)；基于推導(dǎo)的Prony級數(shù)公式，對單軸貫入蠕變試驗進行有限元模擬，并進行了實際試驗的模型應(yīng)力修正。結(jié)果表明：有限元模擬結(jié)果與理論計算結(jié)果的相對誤差小于1%，驗證了本研究推導(dǎo)的Prony級數(shù)公式的可靠性；應(yīng)力修正后，有限元模擬結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的相對誤差能控制在6%以內(nèi)，顯著提高了模型參數(shù)識別精度。

瀝青混合料；黏彈性；Prony級數(shù)；修正Burgers模型；ANSYS；試驗?zāi)M

瀝青路面因其平整無接縫、行車舒適性好、施工成型快、維修方便等優(yōu)點，已成為中國高速公路的主要路面形式。隨著公路運輸量的日益增長以及交通運輸向重型化發(fā)展，車轍已成為瀝青路面最突出的病害[1-2]。

瀝青混合料作為一種黏彈性材料，在高溫下受重載后產(chǎn)生黏滯流動，從而產(chǎn)生不可恢復(fù)的殘余變形。在車載的多次重復(fù)作用下，殘余變形累積形成車轍。合理描述瀝青混合料的黏彈性性質(zhì)進而準(zhǔn)確地預(yù)估車轍，已成為各國路面工程的一項重要課題[3-4]。

關(guān)于瀝青混合料黏彈性模型的研究已有許多成果，常見的有Burgers模型以及修正Burgers模型[5-6]。對于大型通用有限元軟件NASTRAN、ANSYS或者ABAQUS，設(shè)定黏彈性材料參數(shù)的常用方式是輸入材料剪切松弛模量的Prony級數(shù)參數(shù)[7]，這與黏彈性模型本身的參數(shù)形式不一致?；贐urgers模型的剪切模量Prony級數(shù)轉(zhuǎn)化及其方法已有學(xué)者進行了相關(guān)研究[8-11]，而對于修正Burgers模型的剪切模量轉(zhuǎn)化方法的研究尚未見相關(guān)報道。修正的Burgers模型相比Burgers模型，因其能更為合理地解釋瀝青混合料的長期變形特點而在車轍模擬等領(lǐng)域受到廣泛運用[12-14]，因此進行修正的Burgers模型的Prony級數(shù)轉(zhuǎn)化方法的研究，能夠更好地利用有限元軟件進行瀝青混合料的黏彈性分析，具有理論和實際的工程意義。

1 修正Burgers模型的Prony級數(shù)形式推導(dǎo)與驗證

1.1 修正Burgers模型的Prony級數(shù)形式推導(dǎo)

瀝青混合料是一種黏彈性材料，在恒載作用下產(chǎn)生蠕變。Burgers認(rèn)為，可分別用Kelvin模型和Maxwell模型表達硬化混合料的恢復(fù)性和非恢復(fù)性蠕變。將Kelvin模型和Maxwell模型串聯(lián)成四單元四參數(shù)的黏彈性模型，共同描述混合料的蠕變行為，稱為Burgers模型。同濟大學(xué)在Burgers模型的基礎(chǔ)上提出了四單元五參數(shù)黏彈性模型[6]，如圖1所示，稱為修正Burgers模型。

蠕變?nèi)崃慷x為，在單位應(yīng)力作用下，隨時間變化的應(yīng)變函數(shù)。修正Burgers模型的蠕變?nèi)崃勘磉_式如式(1)所示[5-6]。

(1)

式中：E1和E2分別為串聯(lián)和并聯(lián)彈簧的彈性模量，MPa；η2為并聯(lián)黏壺的黏性系數(shù)；a、b為修正后串聯(lián)黏壺的黏性相關(guān)系數(shù)；t為時間，s。

圖1 修正Burgers模型Fig. 1 Modified Burgers model

在大型通用有限元軟件中，一般通過定義非線性黏彈性材料屬性的方法為輸入相關(guān)材料剪切松弛模量的Prony級數(shù)[7]，其剪切松弛模量的Prony級數(shù)形式為：

(2)

式中：G1為初始剪切模量，MPa；ai為相對剪切模量；ti為松弛時間，s。

蠕變方程(1)中的5個黏彈性參數(shù)不能直接作為Prony級數(shù)輸入，需要將相關(guān)黏彈性參數(shù)轉(zhuǎn)化為剪切松弛模量Prony參數(shù)的相關(guān)參數(shù)。

以三維形式[15-16]表示式(1)：

(3)式中：G1、G2為E1、E2對應(yīng)的剪切模量，MPa；n2為η2對應(yīng)的三維黏性系數(shù)；A、B與a、b對應(yīng)，單位分別為MPa·s和s-1，為修正Burgers模型的三維參數(shù)。

當(dāng)不考慮黏彈性體積變形時[17]，剪切模量與彈性模量以及其他系數(shù)的關(guān)系如下：

式中，μ為泊松比。

由黏彈性材料蠕變?nèi)崃颗c松弛模量間的卷積關(guān)系[10,18]可知：

(4)

對式(4)兩邊同時進行Laplace變換，可得[19]：

(5)

以下對修正Burgers模型松弛模量Prony級數(shù)進行推導(dǎo)。由式(3)的Laplace變換可以得到：

(6)

則：

(7a)

為Laplace逆變換作準(zhǔn)備，將式(6)代入式(7a)，式(7a)改寫為：

(7b)

其中：

對式(7b)兩邊做Laplace逆變換，可以得到：

Y(t)=2 (q1+q2e-αt+q3e-βt)

(8)

則：

(9)

這樣就可以獲得在有限元軟件中(如ANSYS)要求輸入的材料Prony級數(shù)參數(shù)為：

(10)

1.2Prony級數(shù)轉(zhuǎn)化公式的有限元算例驗證

為驗證修正Burgers模型的Prony級數(shù)推導(dǎo)結(jié)果的正確性，本研究建立了如圖2所示的ANSYS有限元模型。單元類型為SOLID185，單元大小1m×1m×1m，共1個單元，8個節(jié)點。本算例取表1中的修正Burgers模型參數(shù)作為材料屬性，并通過上節(jié)的方法計算求得對應(yīng)的Prony級數(shù)。邊界條件如圖2所示，施加均布荷載0.7MPa。

表1 算例材料屬性Table 1 Material properties of the calculation example

圖2 ANSYS模型示意圖Fig. 2 Schematic diagram of ANSYS model

將ANSYS模擬所得的節(jié)點應(yīng)變數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為蠕變?nèi)崃?，并與修正Burgers模型的理論計算結(jié)果進行對比，結(jié)果見表2。由表2可知，有限元模擬結(jié)果與理論計算結(jié)果一致，相對誤差小于1%，計算結(jié)果表明本研究推導(dǎo)的Prony級數(shù)結(jié)果是可靠的，可以通過此方法將黏彈性材料的材料參數(shù)準(zhǔn)確地輸入有限元軟件。但是，本數(shù)值模擬單元受力均勻，與實際蠕變貫入試驗有較大差異。

表2 公式計算結(jié)果與ANSYS模擬對比Table 2 The comparison between formula calculation and the ANSYS simulation results

2 單軸貫入蠕變試驗與有限元模擬

2.1 瀝青混合料單軸貫入蠕變試驗

為獲得特定瀝青混合料的黏彈性參數(shù)，進行了瀝青混合料的單軸貫入試驗,如圖3所示。該試驗方法是評價瀝青混合料抗剪切能力大小的有效方法[20-22]。本研究進行的單軸貫入試驗采用30 cm×28 cm×5 cm車轍板試件，級配組成見表3。試驗采用WANCE材料試驗系統(tǒng)進行，壓頭直徑100 mm，施加0.7 MPa恒定荷載，分別在40，50和60℃恒溫下進行試驗。實驗在試件中心軸向施加一瞬時荷載，并保持這個荷載大小不變，測量試件隨時間變化的位移數(shù)值?？紤]到試件在荷載作用下的變形較小，由位移數(shù)據(jù)可得到應(yīng)變數(shù)值，并采用壓頭荷載計算，可以得到近似的混合料蠕變?nèi)崃繑?shù)值。

圖3 瀝青車轍板單軸貫入試驗Fig. 3 The uniaxial penetration test on gussasphalt plate

表3 澆筑式瀝青混合料級配組成Table 3 Gradation of used gussasphalt in this study

采用Matlab軟件對蠕變?nèi)崃窟M行擬合，并對各參數(shù)進行迭代求解。采用上節(jié)所述的Prony推導(dǎo)方法，取混合料泊松比為0.25，擬合結(jié)果與對應(yīng)的Prony級數(shù)如表4所示。

表4 實驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Table 4 Fitting results of experimental data

2.2 貫入試驗有限元模擬與修正

采用表4中的材料參數(shù)，建立單軸貫入蠕變試驗的有限元模型，結(jié)果如圖4所示。模型尺寸為30 cm×28 cm×5 cm，單元類型SOLID185。圓形加載區(qū)域位于模型中央，直徑10 cm，同時在加載區(qū)域與模型邊界之間設(shè)置過渡區(qū)，直徑18 cm。邊界條件為：底面受到豎向約束，底面四角受到三向約束。對中央圓形加載區(qū)域施加0.7 MPa恒定面荷載，結(jié)果如圖5所示(以40℃為例)。由圖5可知，有限元模擬結(jié)果與試驗結(jié)果有較大差距。對有限元模擬結(jié)果的豎向應(yīng)力進行分析，如圖6、圖7所示。由圖6、圖7可知，在加載面下方區(qū)域，豎向應(yīng)力沿寬度方向有一定程度的縮減，即瀝青材料受到的真實豎向應(yīng)力顯著小于試驗加載。通過提取模型加載面下方圓柱形區(qū)域的應(yīng)力，得到該區(qū)域豎向主應(yīng)力(Z方向)均值隨時間變化的曲線，如圖8所示。由圖8可知，加載面下方區(qū)域的豎向應(yīng)力均值隨時間變化很小，變化幅度小于1%，可近似取為0.593 MPa。引入修正系數(shù)α(此處α為1-0.593/0.7=15.3%)對試驗的豎向應(yīng)力進行修正，得到新的試驗材料參數(shù)，如表5所示。

圖4 單軸貫入蠕變試驗有限元模型Fig. 4 The finite element model of uniaxial penetration creep test

圖5 修正前后有限元結(jié)果與試驗結(jié)果對比(40℃)Fig. 5 Comparison between the finite element simulation and experimental results before and after correction(40℃)

(11)

式中：p1為試驗時加載的壓強，MPa;p2為試驗時加載的壓強，MPa。

圖6 中央剖面豎向應(yīng)力云圖Fig. 6 Vertical stress cloud of central section

圖7 加載區(qū)域下方豎向應(yīng)力分布Fig. 7 Distribution of vertical stress under the loading area

圖8 豎向應(yīng)力均值時程Fig. 8 Time history of mean value of vertical stress

溫度/℃修正Burgers模型參數(shù)Prony級數(shù)參數(shù)(剪切模量)E1/MPaE2/MPaη2/(MPa·s)a/(MPa·s)b/sa1t1a2t2應(yīng)力修正系數(shù)/%4074832952680×104153×104362×10-301411671906896331535061002198503×104108×104547×10-30219846706176421536049911797384×104818×103547×10-3019947950637266153

圖9 不同溫度(50℃(左)60℃(右))下修正前后有限元結(jié)果與試驗結(jié)果對比Fig. 9 Comparison between the finite element simulation and the experimental results before and after correction at 50℃(left) or 60℃(right)

采用應(yīng)力修正后的材料參數(shù)，重新對試驗進行有限元模擬，結(jié)果如圖5、圖9、圖10所示。由圖5、圖9、圖10所示的對比結(jié)果可見，引入修正系數(shù)后，不同溫度下貫入試驗的有限元模擬精度均大幅提高。修正后有限元模擬的相對誤差在6%以內(nèi)，與試驗結(jié)果吻合度良好。實際上，本研究通過一次修正以后的結(jié)果已經(jīng)能夠滿足工程需要，如果不能滿足要求，可以按照本研究所述的方法進行二次修正，提高模型參數(shù)識別精度。

圖10 不同溫度(40℃(左)50℃(中)60℃(右))下修正前后相對誤差對比Fig. 10 Comparison of relative error before and after correction at 40℃(left),50℃(middle) or 60℃(right)

3 結(jié) 論

本研究進行了澆筑式瀝青混合料單軸貫入蠕變試驗，推導(dǎo)了修正Burgers模型的黏彈性參數(shù)的Prony級數(shù)形式，通過有限元計算驗證了公式的正確性，并提出了提高模型參數(shù)識別精度的應(yīng)力修正方法，通過研究得到了以下結(jié)論：

1)結(jié)合修正Burgers模型本構(gòu)關(guān)系，提出了修正Burgers模型剪切模量的Prony級數(shù)推導(dǎo)方法及相關(guān)參數(shù)的轉(zhuǎn)換公式。通過有限元模型算例，驗證了修正Burgers模型剪切模量的Prony級數(shù)轉(zhuǎn)換公式的正確性。

2)通過應(yīng)力分析，提出了瀝青混凝土單軸貫入蠕變試驗的模型參數(shù)識別的修正方法，通過應(yīng)力修正系數(shù)改進瀝青混合料黏彈性參數(shù)識別結(jié)果，大幅提高了有限元模擬與試驗的吻合度。

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Viscoelastic parameters determination method of pouringtype asphalt mixture based on modified Burgers model

ZHOU Ao1, XIE Faxiang1*, ZHANG Dengjing2, JI Bohai1, CHEN Lin1

(1. College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Nanjing 210024, China；2. Nanjing Public Infrastructure Construction Center, Nanjing 210019, China)

Viscoelasticity is one of the important characteristics for gussasphalt. The objective of this study is to find the correct viscoelastic material parameters for the novel gussasphalt applied in the 4th Changjiang (Yangtze) River Bridge based on the modified Burgers model. In this study, we first converted the viscoelastic parameters of modified Burgers model into the explicit Prony series form of the shear relaxation modulus using the Laplace transform. Thus they could be transformed into the required material parameters that were used to input into the finite element software such as ANSYS, and the correctness of the formula was verified by ANSYS simulation. At the same time, the uniaxial penetration creep experiment of gussasphalt was carried out at constant temperature of 40, 50, and 60℃, respectively. The creep compliance was fitted by Matlab program, and the viscoelastic parameters were obtained by modified Burgers model, respectively. Based on the explicit Prony series formulas developed in this study, the uniaxial penetration creep experiment was simulated by finite element software. Based on the analysis of the vertical normal stress in the actual experimental model, the stress correction coefficientαwas presented to carry out the stress correction in the model, and the viscoelastic material parameters with higher accuracy were obtained at different temperature. The results indicated that the relative error between the finite element simulation and the theoretical calculation is lower than 1%, which validated the reliability of explicit Prony series formula deduced in this study. After the stress correction, the relative error between the finite element simulation and the experimental data could be controlled within 6%, which significantly improved the accuracy of model parameter identification.

asphalt mixture; viscoelasticity; Prony series; modified Burgers model; ANSYS; experiment simulation

2016-12-28

2017-02-17

國家自然科學(xué)基金(51478163)；江蘇省自然科學(xué)基金青年項目(BK2012412)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)經(jīng)費專項資金(2015B17614)；浙江省交通科學(xué)計劃(2014W01，2014H27)。

周驁，男，研究方向為鋼橋疲勞、維護及長效管理。通信作者：謝發(fā)祥，男，副教授，博士。E-mail:xiefaxiang@gmail.com

U416.2

A

2096-1359(2017)03-0143-07