薩切里四邊形與非歐幾何

張曉林謝俊峰

薩切里四邊形與非歐幾何

張曉林謝俊峰

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)中歷史最悠久，也是最成熟的一個分支.18世紀(jì)以前，歐幾里得的歐氏幾何一統(tǒng)天下，我們現(xiàn)在初中所學(xué)習(xí)的幾何也屬于歐氏幾何的范疇.但到了19世紀(jì)，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)對幾何學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.本文從歐幾里得的《幾何原本》說起，與大家談?wù)勊_切里四邊形與非歐幾何的聯(lián)系.

大家都知道，歐幾里得（公元前約325～270）是古希臘一位著名的幾何學(xué)家.他將前人積累的豐富資料以及自己的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行系統(tǒng)而嚴(yán)密的整理，給出了幾何系統(tǒng)的第一個邏輯結(jié)構(gòu)，寫下了人類歷史上的光輝巨著——《幾何原本》.《幾何原本》是歐氏幾何的基礎(chǔ)，歐幾里得先給出了關(guān)于點、直線、圓等概念的定義，然后列出了5條公理與5條公設(shè)（《幾何原本》中有“公理”與“公設(shè)”之分，近代數(shù)學(xué)對此不再區(qū)分，都稱“公理”）.這本著作里的命題都是依據(jù)這些定義、公理和公設(shè)，用形式邏輯的方法推演出來的，其系統(tǒng)性與嚴(yán)謹(jǐn)性令人驚嘆.這里給出了5個公設(shè)：

1.任何兩點之間可以畫一條直線；

2.有限的直線可以無限地延長；

3.以任何已知點為圓心，以任何長為半徑，總可以作出一個圓；

4.所有的直角都相等；

5.如果一個平面上的兩條直線與另一條直線相交，并且如果同側(cè)內(nèi)角的和小于兩直角，則如果充分地延長這兩條直線，它們必將在內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交.如圖，如果α＋β＜180°，則直線l1和l2必將在直線l3的右側(cè)某一點相交.

前4個公設(shè)很容易陳述，而且的確是不證自明的.第五公設(shè)就不同了，它的敘述非常繁瑣，并且不那么明了，似乎超出了直接的體驗.因此，自從《幾何原本》問世之后，人們就開始了對第五公設(shè)的爭議與研究.許多數(shù)學(xué)家都曾嘗試通過其他的公設(shè)和公理對第五公設(shè)予以證明，以消除對它的可靠性的懷疑，雖然都以失敗告終，但這些研究卻加深了人們對第五公設(shè)的認(rèn)識，得出了許多與第五公設(shè)等價的命題，例如：過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行.這種說法看上去簡單些，但本質(zhì)上與第五公設(shè)沒有任何差別.

隨著用直接方法驗證的失敗，數(shù)學(xué)家們轉(zhuǎn)向間接方法，就是先否定第五公設(shè)，然后試圖導(dǎo)出矛盾.

18世紀(jì)初葉，意大利數(shù)學(xué)家薩切里（1667～1733）曾利用一個奇特的四邊形試圖用歸謬法證明第五公設(shè).這個奇特的四邊形ABCD是個等腰雙直角四邊形，即AB=CD，∠B=∠C=90°，BC為下底邊，AD為上底邊，AB和CD為腰，∠A、∠D為頂角，這個平面上的簡單的四邊形被稱為薩切里四邊形，如下圖.

在不使用歐幾里得第五公設(shè)的條件下，很容易能證明∠A=∠D，但這兩個頂角的大小卻無法判定，于是，薩切里提出了三種假設(shè)：

1.（直角假設(shè)）∠A和∠D都是直角；

2.（鈍角假設(shè)）∠A和∠D都是鈍角；

3.（銳角假設(shè)）∠A和∠D都是銳角.

薩切里當(dāng)時的思路是證明在這三種假設(shè)下，只有直角假設(shè)才是正確的，而承認(rèn)其他兩種假設(shè)將會導(dǎo)致矛盾.

在直角假設(shè)下，薩切里證明了第五公設(shè)成立，反之，在第五公設(shè)成立的條件下，顯然有∠A和∠D都是直角.因此，歐幾里得的第五公設(shè)等價于薩切里四邊形中的直角假設(shè).在鈍角假設(shè)下，薩切里導(dǎo)出了矛盾.而對于銳角假設(shè)，他證明得到了許多有趣的命題，如三角形內(nèi)角之和小于平角，過線外一點可以作很多條直線與已知直線平行……但并沒有明確地導(dǎo)出矛盾.盡管得到了許多有趣的命題，但薩切里認(rèn)為這些命題如此奇怪，無法令人接受.于是，他斷言歐幾里得第五公設(shè)是成立的，并于1733年發(fā)表了名著《歐幾里得無懈可擊》.就這樣，薩切里走到了非歐幾何這個偉大發(fā)現(xiàn)的門前卻止步了.

不過，很快就有人指出，薩切里在銳角假設(shè)下所導(dǎo)出的命題只是與人們的觀念和經(jīng)驗相矛盾，而沒有邏輯上的矛盾.實際上，當(dāng)承認(rèn)銳角假設(shè)時，由此推出的一系列幾何事實，就是羅巴切夫斯基幾何的內(nèi)容.1829年羅巴切夫斯基的《幾何學(xué)原理》第一次公開發(fā)表了，1855年，他的最后一本著作《泛幾何學(xué)》對非歐幾何給出了全新的說明.

此外，當(dāng)承認(rèn)鈍角假設(shè)時，由此推出的一系列幾何事實，實際上是黎曼幾何的內(nèi)容.1854年，黎曼提出了一種全新的非歐幾何的思想，黎曼幾何.

這就是人們現(xiàn)在所稱的兩種非歐幾何，通常它們的名稱是羅巴切夫斯基（或雙曲）幾何和黎曼（或橢圓）幾何.

盡管如此，薩切里的三種假設(shè)還是有功績的，他的方法與思路給了人們很多啟示.所以，人們還是認(rèn)為薩切里為非歐幾何的開山祖師之一.

（作者單位：江蘇省揚州市田家炳實驗中學(xué)）