判定平行四邊形的幾種猜想

魯仁偉

判定平行四邊形的幾種猜想

魯仁偉

同學(xué)們都已學(xué)習(xí)過“三角形全等的判定條件”了，試試將這部分知識(shí)遷移到平行四邊形中.已知四邊形ABCD，下面有7個(gè)猜想：

（1）兩組對(duì)角相等；

（2）一組對(duì)邊相等且另一組對(duì)邊平行；

（3）一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等；

（4）一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等；

（5）一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分；

（6）一組對(duì)邊平行且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分；

（7）一組對(duì)角相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分.

這7個(gè)猜想能判定四邊形ABCD是平行四邊形嗎？接下來，我們將一一論證.

猜想1：兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

已知四邊形ABCD，如圖1，∠A=∠C，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖1

證明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D，

∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，

∴AD//BC，同理，AB//CD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

因此，猜想1正確.

猜想2：一組對(duì)邊相等且另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形

滿足猜想2的四邊形可以是等腰梯形，所以猜想2是不成立的.

猜想3：一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

圖2

如圖2，以平行四邊形ABCD的邊BC為半徑，以點(diǎn)B為圓心畫圓，再作△BCD的外接圓，與⊙B交于點(diǎn)C和點(diǎn)C′，連接C′B、C′D，

∵BC′=BC，∴AD=BC′，

∵∠C=∠C′，∴∠A=∠C′，

∴四邊形ABC′D有一組對(duì)邊相等和一組對(duì)角相等，但不是平行四邊形，所以猜想3不正確.

猜想4：一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

已知四邊形ABCD，如圖3，AB//CD，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖3

證明：∵AB//CD，∴∠A+∠D=180°，

∵∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∴AD//BC.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.所以猜想4正確.

猜想5：一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形

圖4

如圖4，以平行四邊形ABCD的邊AB為半徑，以點(diǎn)A為圓心畫弧，交對(duì)角線BD于點(diǎn)B′，連接AB′和B′C，則四邊形AB′CD符合猜想5的條件，但不是平行四邊形，所以猜想5不正確.

猜想6：一組對(duì)邊平行且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形

已知四邊形ABCD，如圖5，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB//CD，AO=OC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖5

證明：∵AB//CD，

∴∠ABD=∠BDC，∠BAC=∠DCA，

在△AOB與△COD中，OA=CO，∠ABD=∠BDC，∠BAC=∠DCA，

∴△AOB≌△COD.∴OB=OD.

∵OA=OC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，猜想6正確.

猜想7：一組對(duì)角相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形

圖6

如圖6所示，已知線段AC垂直平分BD，垂足為O，顯然OB=OD.依據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，連接A、B、C、D，易得AB=AD，CB=CD.依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，易得∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，所以∠ABC=∠ADC.四邊形ABCD滿足猜想7的條件，但不是平行四邊形，所以猜想7不正確.

同學(xué)們，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能局限于教材.類比全等三角形的判定方法，探究平行四邊形的判定方法，你有什么收獲嗎？

江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)）