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    右半平面調(diào)和映照的卷積

    2017-06-05 14:17:28吳東東陳行堤
    華僑大學學報(自然科學版) 2017年3期
    關鍵詞:華僑大學單葉東東

    吳東東, 陳行堤

    (華僑大學 數(shù)學科學學院, 福建 泉州 362021)

    右半平面調(diào)和映照的卷積

    吳東東, 陳行堤

    (華僑大學 數(shù)學科學學院, 福建 泉州 362021)

    調(diào)和映照; 卷積; 凸映照; 單葉性判別; 幾何特征;Cohn法則

    1 預備知識

    兩個調(diào)和映照的卷積映照的單葉性判別得到不少學者的研究[3-9].Dorff[5]證明了如下定理.

    Dorff等[6]證明了如下的引理以及兩個定理.

    2 主要結果及證明

    式(3)中:-A,-B,-C是三次多項式

    的3個根(A,B,C可能相等).

    下面引用Cohn法則[10]的引理B.

    證明 假設-A,-B,-C是式(4)的3個根,則有

    從而有|ABC|=|a/2|≤1/2<1,即-A,-B,-C這3個根中至少有一個根在單位圓盤D內(nèi).

    當a∈(0,1]時,由t(z)可構造

    所以有|-3a2/4-a/2+1|<|1-a2/4|.再應用t1(z)可構造

    當a∈(0,1]時,有

    (-2+2a+a2)2-(-4+a+2a2)2=-3(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)≤0.

    另外,當a=0時,第二復伸張w(z)=-z2為定理B中θ=π,n=2的特殊情形.因此,a∈[0,1]時定理1成立.

    對h+g=z/(1-z)進行求導,可得

    進一步對h′,g′求積分可得

    而且有

    通過Mathematica軟件,f和f0*f分別把單位圓盤映成的圖像,如圖1所示.

    (a) f (b) f0*f 圖1 單位圓盤映成的圖像Fig.1 Mapping unit disk onto domains

    因此,可得

    類似的有

    所以有

    [1] LEWY H.On the nonvanishing of the Jacobian in certain one-to-one mappings[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1936,42(10):689-692.

    [2] CLUNIE J G,SHEIL-SMALL T.Sheil-small, harmonic univalent functions[J].Annales Academi Scientiarum Fennic Series A I,1984,9(1):3-25.

    [3] PONNUSAMY S,SINGH V.Convolution properties of some classes of analytic functions[J].Journal of Mathematical Sciences,1998,89(1):1008-1020.

    [4] KUMAR R,DORFF M,GUPTA S,etal.Convolution properties of some harmonic mappings in the right half-plane[J].Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society,2016,39(1):439-455.

    [5] DORFF M.Convolutions of planar harmonic convex mappings[J].Complex Variables Theory and Application An International Journal,2001,45(3):263-271.

    [6] DORFF M,NOWAK M,WOLOSZKIEWICZ M.Convolutions of harmonic convex mappings[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2012,57(5):489-503.

    [7] LI Liulan,PONNUSAMY S.Solution to an open problem on convolutions of harmonic mappings[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2013,58(12):1647-1653.

    [8] JIANG Yueping,RASILA A,SUN Yong.A note on convexity of convolutions of harmonic mappings[J].Bulletin of the Korean Mathematical Society,2015,52(6):1925-1935.

    [9] LI Liulan,PONNUSAMY S.Convolutions of slanted half-plane harmonic mappings[J].Analysis (Munich),2013,33(2):159-176.

    [10] RAHMAN Q I,SCHMEISSER G.Analytic theory of polynomials, London mathematical society monographs new series[M].Oxford:Oxford University Press,2002:375-376.

    (責任編輯: 錢筠 英文審校: 黃心中)

    Convolution of Harmonic Mapping in Right-Half Plane

    WU Dongdong, CHEN Xingdi

    (School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

    harmonic mapping; convolution; convex mapping; univalent criterion; geometric properties; Cohn′s rule

    10.11830/ISSN.1000-5013.201703026

    2016-09-05

    陳行堤(1976-),男,教授,博士,主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:chxtt@hqu.edu.cn.

    國家自然科學基金資助項目(11471128); 福建省自然科學基金資助項目(2014J01013); 華僑大學中青年教師科研提升計劃項目(ZQN-YXl10); 華僑大學研究生科研創(chuàng)新能力培育計劃項目(2016年度)

    O174.55

    A

    1000-5013(2017)03-0430-05

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