基于三次拉格朗日曲線擬合軌跡的斜置式扎穴機構(gòu)研究

王金武 周文琪 王 秀 李 鑫 王金龍 李樹偉

(1.東北農(nóng)業(yè)大學(xué)工程學(xué)院， 哈爾濱 150030； 2.北京農(nóng)業(yè)智能裝備技術(shù)研究中心， 北京 100097)

基于三次拉格朗日曲線擬合軌跡的斜置式扎穴機構(gòu)研究

王金武1周文琪1王 秀2李 鑫1王金龍1李樹偉1

(1.東北農(nóng)業(yè)大學(xué)工程學(xué)院， 哈爾濱 150030； 2.北京農(nóng)業(yè)智能裝備技術(shù)研究中心， 北京 100097)

為更好地滿足斜置式扎穴機構(gòu)噴肥針的入出土軌跡姿態(tài)以及不損傷作物的農(nóng)藝要求，提出基于三次拉格朗日曲線擬合扎穴軌跡的逆向設(shè)計參數(shù)優(yōu)化方法，為得到理想的“杏胡形”扎穴軌跡，通過改變相對軌跡上若干型值點的坐標，控制噴肥針入出土姿態(tài)并建立噴肥針的運動學(xué)模型，采用Matlab GUI開發(fā)平臺，編寫了斜置式非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)的逆向設(shè)計與運動學(xué)分析仿真軟件，最終得到非規(guī)則齒輪行星輪系的節(jié)曲線、噴肥針的入出土角及噴肥針尖的速度隨行星架轉(zhuǎn)角的變化曲線。通過高速攝影試驗，觀察和分析了在扎穴機構(gòu)不同斜置角度下噴肥針尖相對運動軌跡的變化規(guī)律。試驗結(jié)果表明，隨著機構(gòu)斜置角度的增大，噴肥針軌跡橫向尺寸不變，縱向尺寸減小，扎穴軌跡段曲線逐漸向里收縮。在保證噴肥針扎入土壤一定深度情況下，噴肥針入出土角逐漸增大，隨著機構(gòu)斜置角度的增大，噴肥針軌跡的穴口寬度逐漸增大。

液態(tài)施肥機； 扎穴機構(gòu)； 運動軌跡； 三次拉格朗日曲線

引言

扎穴深施肥技術(shù)是將液肥集中施于土壤耕作層的作物根系附近，有利于加快作物對液肥的吸收，提高作物的產(chǎn)量和質(zhì)量[1]。因此，研制深施型液態(tài)施肥機具對扎穴深施肥技術(shù)的大范圍推廣有著重大的現(xiàn)實意義[2-5]。

東北農(nóng)業(yè)大學(xué)研制的深施型液態(tài)施肥機核心部件——扎穴機構(gòu)，采用曲柄搖桿式時，雖然能滿足深施液態(tài)肥的功能，但其固有運動慣性力和其本身的結(jié)構(gòu)形式使得扎穴次數(shù)進一步提高時，振動大大加??；橢圓齒輪行星系扎穴機構(gòu)雖然經(jīng)過運動學(xué)和動力學(xué)優(yōu)化，由于僅有一個噴肥針工作，實際扎穴僅為400次/min，進一步提高扎穴次數(shù)振動仍會加劇，因此實現(xiàn)不了高速扎穴性能；全橢圓齒輪行星系扎穴機構(gòu)雖然能實現(xiàn)高速扎穴，但其存在噴肥針入出土垂直度差，導(dǎo)致穴口增大，影響液肥的揮發(fā)，造成肥料浪費和環(huán)境污染；采用二級傳動的非圓齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)[6-8]，雖然噴肥針的入出土垂直角度均有所提高，但齒輪嚙合精度較高，很難達到傳動特性要求；變形橢圓齒輪式扎穴機構(gòu)采用5個變形橢圓齒輪組成的驅(qū)動輪系[9]，相比上述幾種扎穴機構(gòu)，噴肥針的入出土垂直度均有提高，且變形齒輪嚙合精度不高，可滿足其傳動特性，但由于機構(gòu)采用正求方法進行設(shè)計，對機構(gòu)進行優(yōu)化時，此方法具有一定的盲目性，很難找到最佳的優(yōu)化目標，而且噴肥針扎穴形式為正入式扎穴，對作物損傷較大[10-12]。因此，噴肥針的入出土垂直度與不損傷作物雙目標無法兼得。

針對上述問題，本文提出基于三次拉格朗日曲線擬合軌跡的斜置式非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)。采用逆向設(shè)計的整體思路[13-15]，避免通過正向設(shè)計時運用參數(shù)試湊方法得到噴肥針軌跡的盲目性，并充分利用三次拉格朗日曲線擬合特性，以滿足噴肥針在入土到出土過程段對軌跡的高精度擬合。

1 斜置式非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴軌跡和姿態(tài)分析

斜置式扎穴機構(gòu)相對運動軌跡與工作位置如圖1所示。以軌跡平面偏向扎穴位置豎直平面20°為例進行說明，噴肥針從E點扎入土壤并從F點拔出，此處形成的軌跡段為扎穴軌跡段。其優(yōu)化目標為：①為避免壟面上出現(xiàn)較大穴口，噴肥針在扎入與拔出土壤時，其在豎直平面的投影應(yīng)盡量與壟面呈90°。②為避免噴肥針在壟面上劃出一道溝痕，實現(xiàn)高速扎穴，扎穴軌跡段的曲率變化要迅速。③為避免對作物莖葉造成機械損傷，軌跡平面與豎直平面偏置一定角度。因此合理的斜置角度是保證不損傷作物以及滿足穴口小的尺寸要求。

圖1 噴肥針“杏胡”形軌跡Fig.1 Trajectory of spray fertilizer needle

2 “杏胡形”軌跡再現(xiàn)算法

獲得噴肥針“杏胡形”軌跡上的各個位置坐標是機構(gòu)逆向設(shè)計的基礎(chǔ)，其關(guān)鍵在于軌跡曲線的構(gòu)造需滿足曲率連續(xù)性和軌跡調(diào)整方便的要求。三次拉格朗日曲線擬合特性可以保證曲線上各點的2階連續(xù)性，尤其在扎穴軌跡段擬合精度高，同時通過調(diào)整給定的型值點可以方便地控制輸出軌跡形狀，因此選定此曲線作為封閉軌跡的擬合曲線[16]。

2.1 型值點數(shù)量的確定

型值點數(shù)量決定方程的求解復(fù)雜性，由于擬合的封閉曲線通過型值點，型值點也基本決定了封閉曲線的形狀。因此，根據(jù)其運動特性選取5個主要型值點控制扎穴軌跡段曲線的形狀和變化規(guī)律，各個型值點分別為：噴肥針進入壟面時的相對運動軌跡點Q3，噴肥針入土?xí)r相對運動軌跡姿態(tài)的關(guān)鍵點Q4，軌跡的最低點Q5，噴肥針出土?xí)r相對運動軌跡姿態(tài)的關(guān)鍵點Q6，噴肥針退出壟面時的相對運動軌跡點Q7。在軌跡空程段(壟面上的軌跡段)，選取其他型值點作為輔助點即可，總體型值點分布圖[17]如圖2所示。

圖2 軌跡型值點布置示意圖Fig.2 Sketch of arranging points on static trajectory

2.2 由型值點逆向求解三次拉格朗日曲線的控制點

根據(jù)三次拉格朗日曲線求解理論，設(shè)定n+1個控制曲線頂點pi(i=0,1,…,n)，同時定義節(jié)點矢量U=(u0,u1,…,un+4)?？刹捎梅e累弦長參數(shù)化求取，其參數(shù)的計算式為

(1)

三次拉格朗日曲線方程[14]為

(2)

式中pj——第j個控制頂點Nj,3(u)——在j點處的三次拉格朗日基函數(shù)

將定義域u∈[ui,ui+1]?[uk,un+1]內(nèi)的節(jié)點值代入式(2)得

(3)

式(3)包含m+1個方程，但首末數(shù)據(jù)點相重(q0=qm)，方程剩下m=n-2個。首末3個控制頂點相重(p0=pn-2,pn-1=p1,pn=p2)，控制點未知數(shù)也剩下n-2個，因此該方程組可解。將式(3)寫成矩陣形式，即可求出全部未知點。

2.3 由控制點計算噴肥針尖軌跡

給定控制頂點pi(i=0,1,…,n)、次數(shù)k=3及節(jié)點矢量U，便可定義一條三次拉格朗日曲線。并給出曲線定義域內(nèi)一有效參數(shù)值區(qū)間為u∈[ui,ui+1]?[uk,un+1]，即可采用德布爾算法[8]的遞推公式求解三次拉格朗日曲線上對應(yīng)一點p(u)。

(4)

3 噴肥針運動學(xué)模型的建立

影響噴肥針斜置式扎穴的驅(qū)動部件為非規(guī)則齒輪行星輪系，為了方便計算與分析，將其轉(zhuǎn)化為正入式扎穴時的工作狀態(tài)，如圖3所示。根據(jù)斜置式扎穴機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，建立噴肥針的運動學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上計算出關(guān)鍵點的相對速度及絕對速度方程[19-20]。

圖3 非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)簡圖Fig.3 Diagram of non-circular planet gear trains pricking hole mechanism1.太陽輪 2.第1級中間輪 3.第2級中間輪 4.行星輪

3.1 相對位移方程

中間輪旋轉(zhuǎn)中心A的相對位移方程為

(5)

式中xA——A點的水平相對位移yA——A點的垂直相對位移φ1——行星架的角位移(大于零)，(°)a——太陽輪與第1級中間輪以及第2級中間輪與行星輪的中心距，mm

行星輪旋轉(zhuǎn)中心B的相對位移方程為

(6)

式中xB——B點的水平相對位移yB——B點的垂直相對位移

噴肥針尖點D的相對位移方程為

(7)

式中xD——D點的水平相對位移yD——D點的垂直相對位移l——行星輪軸心與噴肥針尖點的距離，mmφ2——噴肥針尖點的角位移(大于零)，(°)l1——搖臂長度，mml2——噴肥針長度，mm

因此最終求得斜置式扎穴時的噴肥針尖點相對速度方程為

(8)

3.2 絕對位移方程

中間輪旋轉(zhuǎn)中心A的絕對位移方程為

(9)

圖5 噴肥針扎穴過程中姿態(tài)Fig.5 Postures of spray fertilizer needle pricking hole

行星輪旋轉(zhuǎn)中心B的絕對位移方程為

(10)

式中xBa——B點的水平絕對位移yBa——B點的垂直絕對位移

噴肥針尖點D的絕對位移方程為

(11)

式中xDa——D點的水平絕對位移yDa——D點的垂直絕對位移

最終求得斜置式扎穴時的噴肥針尖點絕對速度方程為

(12)

4 扎穴機構(gòu)運動學(xué)仿真

根據(jù)前期所建立的非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)逆向求解方法，開發(fā)斜置式非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)逆向設(shè)計與運動學(xué)仿真軟件，軟件界面如圖4所示[11,19]。應(yīng)用軟件的人機交互功能，得到噴肥針入土點、最低點以及出土點的姿態(tài)，如圖5所示。噴肥針入土角為79.8°，出土角為73°。點擊運動學(xué)分析模塊，得到噴肥針尖點速度隨行星架轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律。從圖6分析可獲得，噴肥針在入土與出土過程中，行星架轉(zhuǎn)角在133°～229°之間，噴肥針水平速度趨近于零，垂直速度呈遞增的規(guī)律。在此種情況下，機構(gòu)的前進速度與噴肥針的水平速度大小幾乎相等方向相反，噴肥針無推土和刨土現(xiàn)象發(fā)生，此時壟面會達到穴口小的農(nóng)藝要求。

圖4 軟件主界面Fig.4 Initial interface of software

圖6 噴肥針尖點速度曲線Fig.6 Speed curve of cusp of spray fertilizer needle

5 噴肥針尖軌跡高速攝像試驗

5.1 試驗臺設(shè)計

為得到斜置式扎穴軌跡隨斜置角度的變化規(guī)律，本文設(shè)計高速攝像試驗臺，并對斜置式非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)噴肥針的相對運動進行拍攝，得到噴肥針的相對運動軌跡,并對其進行分析[21-22]。

如圖7所示，斜置式非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)高速攝像試驗臺主要由高速攝像機(型號為Phantom V5.1，美國Vision Research公司)、強光燈、扎穴裝置試驗臺車(包括變頻柜、試驗臺車、電動機、扎穴機構(gòu)和傳動裝置)與計算機等部分組成。其中電動機由變頻柜控制(型號為Y90S-4，上海力博電機有限公司)，控制扎穴機構(gòu)的周轉(zhuǎn)運動，噴肥針固裝在扎穴機構(gòu)的搖臂上，通過非規(guī)則齒輪變傳動的特性完成噴肥針的相對運動軌跡。圖8為圖7紅色橢圓形區(qū)域扎穴機構(gòu)放大圖。

圖7 斜置式非規(guī)則齒輪行星輪系扎穴機構(gòu)高速攝像試驗臺Fig.7 Test-bed of non-circular planetary gear trains pricking hole mechanism for diagonal1.試驗臺車 2.計算機 3.高速攝像機 4.扎穴機構(gòu) 5.強光燈

圖8 扎穴機構(gòu)放大圖Fig.8 Enlarged image of pricking hole mechanism1.電動機 2.噴肥針

5.2 試驗測試及方法

根據(jù)田間實際農(nóng)藝要求，調(diào)節(jié)試驗臺行星架轉(zhuǎn)速至75 r/min平穩(wěn)轉(zhuǎn)動，此時電動機頻率為3.8 Hz，試驗臺車無前進運動。在機構(gòu)斜置角度為6.5°、20°、33.5°時，通過高速攝像機對其進行圖像采集及錄制相關(guān)視頻。運用Phantom V5.1軟件的Measurements Angle模塊處理相關(guān)試驗圖片及數(shù)據(jù)，記錄噴肥針入土與出土過程中傾斜角及姿態(tài)變化。

5.3 試驗結(jié)果與分析

噴肥針在不同斜置角度時，相對運動軌跡形態(tài)如圖9所示。隨斜置角度的變大，軌跡縱向尺寸減小，橫向尺寸不變，噴肥針扎穴軌跡段逐漸向內(nèi)收縮，實際測得軌跡與理論得到軌跡相同。因此在保證扎穴一定深度的情況下，隨著斜置角度的改變，噴肥針入、出土姿態(tài)和軌跡不相同。

噴肥針在扎穴過程中，隨著機構(gòu)斜置角度的增大，噴肥針入土角度逐漸減小，實際測得角度分別為79.6°、78.3°和77.4°；噴肥針出土角度逐漸減小，實際測得角度分別為78.2°、75.7°和69.8°。上述入出土角度與理論分析一致，驗證了該種方法的合理性。經(jīng)分析可得到，隨著機構(gòu)斜置角度增大，為保證一定扎穴深度，噴肥針需提前入土，因此在入土到最低點過程中，噴肥針前傾角度較大且時間較長；同理分析，在最低點到出土過程中，噴肥針后仰角度也較大且時間較長，因此在實際作業(yè)過程中，噴肥針出現(xiàn)向前推土與向后拋土現(xiàn)象，即壟面上穴口逐漸變大。

圖9 噴肥針尖相對運動軌跡Fig.9 Relative motion tracks of spray fertilizer needle point

6 結(jié)論

(1)根據(jù)斜置式扎穴軌跡的姿態(tài)要求，通過三次拉格朗日曲線擬合方法擬合相對運動軌跡，利用逆向求解方法，編寫扎穴機構(gòu)運動學(xué)仿真分析軟件，獲得噴肥針入土點、最低點以及出土點的姿態(tài)變化，并形成“杏胡形”噴肥針的運動軌跡。

(2)建立噴肥針的運動學(xué)模型，通過解析法獲得斜置式噴肥針尖點的相對速度與絕對速度方程。

(3)對扎穴機構(gòu)在不同斜置角度下，進行高速攝像試驗，分析噴肥針斜置式扎穴的軌跡姿態(tài)動態(tài)變化規(guī)律。結(jié)果表明，隨著機構(gòu)斜置角度的增大，噴肥針入、出土角度逐漸減小，實際測得入土角度分別為79.6°、78.3°和77.4°，出土角度分別為78.2°、75.7°和69.8°。驗證了應(yīng)用三次拉格朗日曲線擬合方法得到的扎穴機構(gòu)軌跡可滿足噴肥針斜置式扎穴的要求。

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地質(zhì)雷達接收信號通過轉(zhuǎn)換處理后傳送到計算機端接收處，再通過對應(yīng)的數(shù)據(jù)處理（如零點調(diào)整、減背景、增益）后形成雷達探測圖像。只要探測物與周圍介質(zhì)存在介電常數(shù)差異，圖像就會顯示出異常，并根據(jù)同相軸追蹤得到探測物反射波的旅行時長T，由公式（1）便能得出目的層所在的深度：

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19 俞高紅，趙鳳芹，武傳宇，等.正齒行星輪分插機構(gòu)的運動特性分析[J].農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2004，35(6)：55-57，51. YU Gaohong, ZHAO Fengqin, WU Chuanyu, et al. Analysis of kinematic property of separating-planting mechanism with planetary gears[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2004,35(6):55-57,51.(in Chinese)

20 黃前澤．缽苗移栽機行星輪系植苗機構(gòu)關(guān)鍵技術(shù)研究及試驗[D]．杭州：浙江理工大學(xué)，2012． HUANG Qianze. Study on key technology and test of transplanting mechanism with planetary gears for potted-seeding transplanter[D].Hangzhou:Zhejiang Sci-Tech University,2012. (in Chinese)

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Oblique Type Pricking Hole Mechanism Based on Lagrange Curve for Cubic Fitting Trajectory

WANG Jinwu1ZHOU Wenqi1WANG Xiu2LI Xin1WANG Jinlong1LI Shuwei1
(1.CollegeofEngineering,NortheastAgriculturalUniversity,Harbin150030,China2.BeijingResearchCenterforIntelligentAgriculturalEquipment,Beijing100097,China)

The effects of liquid fertilization for concentrating near crop root system are to speed up the absorption of crops and improve the yield and quality of crops. Deep-into type liquid fertilizer applicator makes the liquid fertilizer into the soil. Aiming to meet the agronomic requirement of trajectory and posture of spray fertilizer needle of oblique type pricking hole mechanism when it got into and out soil and spray fertilizer needle did not damage crops, an optimization method of parameters reverse design was put forward based on Lagrange curve for cubic fitting trajectory. In order to obtain the ideal “xing hu” shaped trajectory for pricking hole, the posture of spray fertilizer needle got into and out soil was controlled by changing the coordinates for some types of value points on static trajectory, and then the kinematics model of spray fertilizer needle was established. The simulation software of reverse design and kinematics analysis was compiled, which was written by Matlab GUI development platform. Finally, the pitch curve of non-circular planetary gear trains, the angle of spray fertilizer needle got into and out soil and speed curve of spray fertilizer needle point along with the change of planet frame angle were got. High-speed photography bench was established and tested. The regulars of relative motion trajectory and absolute motion trajectory of spray fertilizer needle in different oblique angles of pricking hole mechanism were observed and analyzed. The results showed that as the oblique angles of institution increased, the lateral size of track of spray fertilizer needle remained the same, the longitudinal size of track of spray fertilizer needle was decreased, the trajectory curve of pricking hole mechanism was gradually inward contraction. The angles of spray fertilizer needle got into and out the soil were increased gradually when the soil depth was certain; as the oblique angles of institution increased, the width of hole mouth was increased.

liquid fertilizer applicator； pricking hole mechanism； moving trajectory； Lagrange curve for cubic

2016-09-06

2016-09-29

國家自然科學(xué)基金項目(51675093)和黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(12531025)

王金武(1968—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事田間機械和機械可靠性研究，E-mail: jinwuw@163.com

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.05.009

S224.21

A

1000-1298(2017)05-0079-07