具有時變時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)H∞控制

周 穎，鄭 鳳,何 磊

(南京郵電大學 自動化學院，江蘇 南京 210003)

具有時變時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)H∞控制

周 穎，鄭 鳳,何 磊

(南京郵電大學 自動化學院，江蘇 南京 210003)

針對一類同時具有時變時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，設(shè)計使得閉環(huán)系統(tǒng)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的H∞狀態(tài)反饋控制器，并且滿足給定的H∞性能指標。已知系統(tǒng)從傳感器到控制器之間通道具有數(shù)據(jù)包丟失和時變時延，控制器到執(zhí)行器通道具有時變時延。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)總時延小于等于一個采樣周期，將時延的時變系數(shù)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)參數(shù)矩陣的不確定性，因此系統(tǒng)被建模為范數(shù)有界的不確定系統(tǒng)。使用Bernoulli隨機序列描述數(shù)據(jù)包丟失且數(shù)據(jù)丟失概率已知?；诰€性矩陣不等式(LMI)方法和李雅普諾夫(Lyapunov)穩(wěn)定性原理，給出并證明了所設(shè)計控制器存在的充分條件，并將控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為求解線性矩陣不等式可行解的問題。最后給出了仿真實例，驗證了采用的設(shè)計控制器方法的有效性和可行性。

時變時延；丟包；網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；H∞控制；線性矩陣不等式

0 引 言

在過去十年中，通信、計算機以及控制技術(shù)的飛速發(fā)展，大大地影響了控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。隨著控制對象復(fù)雜度的增加，控制區(qū)域的擴大，傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)已經(jīng)滿足不了復(fù)雜的需求。因此，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)應(yīng)運而生[1-3]。

在NCS給人們帶來極大便利的同時，由于網(wǎng)絡(luò)自身的特性，也給設(shè)計和分析NCS帶來了麻煩。其中突出的兩個問題就是時延和丟包。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在數(shù)據(jù)傳輸過程中往往伴隨著時延和丟包。設(shè)計一個現(xiàn)實的NCS必須要考慮到時延和丟包對系統(tǒng)的影響，否則將會導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降甚至失穩(wěn)[4-7]。

關(guān)于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)丟包和時延的問題，很多文獻都給出了解決方法[8-10]。文獻[11]考慮了傳感器到控制器之間的時延和丟包，用Markov隨機序列描述數(shù)據(jù)丟失并且設(shè)計了一個狀態(tài)反饋控制器使得系統(tǒng)達到穩(wěn)定。文獻[12]用Bernoulli隨機序列描述丟包，丟包的概率屬于一個已知的區(qū)間。文獻[13]針對具有隨機時延的NCS設(shè)計H∞控制器，隨機時延滿足Bernoulli隨機序列。文獻[14]假設(shè)系統(tǒng)時延恒定，將系統(tǒng)動態(tài)地分成多種情況來考慮，用多個子系統(tǒng)描述不同丟包情況下的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)模型。

文獻[15]假設(shè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時延為一步時延，方便了對系統(tǒng)的分析，卻人為地增加了網(wǎng)絡(luò)時延。文獻[16]在處理時延時，采用在控制器和執(zhí)行器接收端設(shè)置緩沖區(qū)的方法，隨機時延即被轉(zhuǎn)為確定時延，實際處理的時延是定常時延。文獻[17]討論了具有一步時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波器的設(shè)計問題，用兩個不相關(guān)的Bernoulli隨機序列分別描述一步時延和丟包。

現(xiàn)如今，針對具有時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究已經(jīng)有很多成果，但仍然存在不足。網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延由前向通道和反饋通道的時延組成，上述有些文獻只解決了前向通道的時延。有些文獻只考慮時延或丟包其中一種情況下NCS的控制問題。而有的文獻即使同時考慮到時延和丟包，但均是假設(shè)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延是已知的常數(shù)。事實上，時延和丟包總是同時發(fā)生的，而且時延并不一定是常數(shù)，丟包也具有隨機性。

針對上述情況，研究了具有時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞控制。不僅考慮了傳感器到控制器的時延，也考慮了控制器到執(zhí)行器之間的時延，并且假設(shè)時延是時變的，將未知的時延變量處理成系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，利用Bernoulli隨機序列描述數(shù)據(jù)丟失。通過LMI和Lyapunov函數(shù)給出了H∞控制器存在的充分條件。

1 問題描述

具有時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中，τsc表示傳感器到控制器通道之間的時延，τca表示控制器到執(zhí)行器通道之間的時延。網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)總時延為τk(τk=τsc+τca)。文中時延考慮為時變短時延，所以τk∈[0,T]，T為一個采樣周期。假設(shè)丟包發(fā)生在前向通道，滿足Bernoulli隨機序列且概率已知。

(1)

其中，α(k)是一個Bernoulli隨機序列，其值可取0或1，滿足如下概率：

(2)

考慮如下的線性時不變系統(tǒng)：

(3)

其中，u(t)∈Rm，x(t)∈Rn,y(t)∈Rp,z(t)∈Ro，ω(t)∈Rq分別表示控制輸入、系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)輸出、控制輸出和外部干擾；A,B,C,G,H,M為具有適當維數(shù)的已知矩陣。

對方程(3)進行離散化，得到：

(4)

其中：

(5)

其中，λ1,λ2,…,λn為矩陣A的特征值；Λ1,Λ2,…,Λn是矩陣A的特征向量。

F(τk)滿足：

FT(τk)F(τk)≤I

(6)

針對系統(tǒng)(3)，設(shè)計如下的狀態(tài)反饋控制器：

(7)

將式(7)代入式(4)，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的方程為：

(8)

針對閉環(huán)控制系統(tǒng)(8)，設(shè)計形如式(7)的控制器，滿足：

(1)閉環(huán)系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定；

(2)零初始條件下，系統(tǒng)控制輸出滿足：

(9)

其中，γ給定且大于0。

以下是證明閉環(huán)系統(tǒng)(8)穩(wěn)定性時用到的引理：

引理2：V(x(k))為Lyaponuv函數(shù)，如果存在正實數(shù)λ≥0,μ>0,ν>0和0<ψ<1滿足：

μ‖x(k)‖2≤V(x(k))≤v‖x(k)‖

E{V(x(k+1))|x(k)}-V(x(k))≤

λ-ψV(x(k))

(10)

那么有：

(11)

(12)

則存在任意正數(shù)ε使得：

(13)

2 主要結(jié)果

當ω(k)=0時，對于系統(tǒng)(8)，得到定理1。

(14)

其中：

(15)

那么系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定。

證明：ω(k)=0時，構(gòu)造如下的Lyaounov函數(shù)：

V(x(k))=xT(k)Px(k)+xT(k-1)Qx(k-1)

(16)

可得：

V(x(k+1))=xT(k+1)Px(k+1)+xT(k)Qx(k)

(17)

式(16)與式(17)兩項作差可得：

取ηT(k)=[x(k),x(k-1)]T，因為E{α(k)-α}=0,E{(α(k)-α)2}=(1-α)α=β2，令M1=B0+DF(τk)E,M2=B1-DF(τk)E，得到：

[Adx(k)+(α(k)-α)M1Kx(k)+αM1Kx(k)+(α(k)-α)M2Kx(k-1)+αM2Kx(k-1)]TP[Adx(k)+ (α(k)-α)M1Kx(k)+αM1Kx(k)+ (α(k)-α)M2Kx(k-1)+αM2Kx(k-1)]+xT(k)Qx(k)-xT(k)Px(k)-xT(k-1)Qx(k-1)= [Adx(k)+αM1Kx(k)+αM2Kx(k-1)]TP[Adx(k)+αM1Kx(k)+αM2Kx(k-1)]+β2[M1Kx(k)]TP[M1Kx(k)]+β2[M1Kx(k)]TP[M2Kx(k-1)]+β2[M2Kx(k-1)]TP[M1Kx(k)]+β2[M2Kx(k-1)]TP[M2Kx(k-1)]+xT(k)Qx(k)-xT(k)Px(k)-xT(k- 1)Qx(k-1)=ηT(k)θ1η(k)

(18)

由Schur補引理可知，式(14)等價于θ1<0，得到：

E{V(x(k+1)|x(k))}-V(x(k))=ηT(k)θ1η(k)≤-λmin(θ1)ηT(k)η(k)< -γηT(k)η(k)

(19)

其中，0<γ

令σ=λmax(P)，得到：

E{V(x(k+1)|x(k))}-V(x(k))<

(20)

由引理1和引理2可知，閉環(huán)控制系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定。

ω(k)≠0時，對于閉環(huán)系統(tǒng)(8)設(shè)計滿足均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的H∞控制器，給出定理2和定理3。

定理2：對式(8)，干擾輸入ω(k)≠0，給定γ>0，若存在正定對稱矩陣P,Q和增益矩陣K，滿足：

(21)

那么系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能。

證明：當ω(k)=0時，容易證得閉環(huán)系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定。

當ω(k)≠0時，取Lyapunov函數(shù)V(x(k))=xT(k)Px(k)+xT(k-1)Qx(k-1)，取ηT(k)=[x(k),x(k-1),ω(k)]T，進而得到：

(22)

由Schur補引理可知，式(21)等價于θ2<0，此時有

E{V(0)}-E{V(∞)}，由零初始條件可知E{V(0)}=0，得到：

(23)

證畢。

定理3：給定γ>0，ε>0，對于系統(tǒng)(8)，若存在正定對稱矩陣X,Y和矩陣Z滿足：

(24)

那么系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能。

證明：由式(21)可知：

(25)

左右同乘diag{P-1,P-1,I,I,βI,I,I}，令Y=P-1QP-1,X=P-1,Z=KP-1。不等式(25)可化為式(24)。由引理1可知，閉環(huán)系統(tǒng)(8)均方意義下指數(shù)穩(wěn)定且滿足給H∞性能。證畢。

3 仿真實例

考慮如下的控制對象:

(26)

令F(τk)中的α1=0,α2=0。

根據(jù)如上假設(shè)，可以得到：

給定γ=1,ε=4，通過Matlab中的LMI工具求解式(24)得出：

當ω(k)=0時，由Matlab仿真工具可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖,如圖2所示。

圖2 ω(k)=0時閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖

與此同時，可以得到：

滿足H性能指標。由圖可以看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的，所以采用的方法是可行的。

圖3 ω(k)≠0時閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖

圖4 ω(k)≠0時閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)圖

4 結(jié)束語

對于同時具有時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，假設(shè)時延存在于傳感器到控制器之間和控制器到執(zhí)行器之間且時延是時變的。將時變短時延系統(tǒng)建模成含有不確定參數(shù)的系統(tǒng)。利用Lypunov穩(wěn)定性原理和LMI方法給出并證明了H∞控制器存在的充分條件。由仿真實例證明了設(shè)計的控制器是可行有效的。

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H∞ Control of Networked Control Systems with Time-varyingDelay and Packet Dropout

ZHOU Ying,ZHENG Feng,HE Lei

(College of Automation,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003,China)

For a class of networked control systems with time-varying delay and packet dropout,aH∞controllerisdesignedinordertomaketheclosed-loopsystemmeansquarestableandmeettheprescribedH∞disturbanceattenuationlevel.Itisknownthatthesystemhasdatapacketlossandtime-varyingdelayfromthesensortothecontroller,andtimevaryingdelayfromthecontrollertoactuator.Thetotaltimedelayislessthanonesamplingperiod.Theuncertaintyofdelayisturnedintotheunknownparametersofthesystemequationsothatthesystemismodeledasanormboundeduncertainsystem.DatapacketdropoutisassumedtobesatisfiedwiththeBernoullidistributionsequencewithknownprobability.SufficientconditionsfortheexistenceofthestatefeedbackcontrolleraregivenbylinearmatrixinequalityandLyapunovprinciple.Andthecontrollerdesignproblemistransformedintosolvingthefeasiblesolutionofthelinearmatrixinequality.Asimulationexampleisgiventoprovetheeffectivenessandfeasibilityofthedesignmethod.

time-varying delay；packet dropout；networked control system；H∞control；linearmatrixinequality

2016-05-31

2016-09-02 網(wǎng)絡(luò)出版時間：2017-03-13

國家自然科學基金資助項目(61104103,61102155)

周 穎(1978-)，女，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計、復(fù)雜大系統(tǒng)的自適應(yīng)控制、非線性系統(tǒng)的控制理論及應(yīng)用；鄭 鳳(1992-)，女，碩士研究生，研究方向為網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1450.tp.20170313.1545.032.html

TP

A

1673-629X(2017)05-0164-06

10.3969/j.issn.1673-629X.2017.05.034