乒乓球拍海綿特性碰撞動 力學(xué)分析

謝聰鋒，李 春

乒乓球拍海綿特性碰撞動 力學(xué)分析

謝聰鋒，李 春

海綿是乒乓球拍的重要組成部分，其硬度和厚度直接決定了球的速度、旋轉(zhuǎn)及控制效果。為研究乒乓球拍中海綿厚度對乒乓球運(yùn)動狀態(tài)的影響，基于顯式動力學(xué)理論并結(jié)合有限元方法，通過ANSYS Workbench對考慮旋轉(zhuǎn)的乒乓球與球拍碰撞模型進(jìn)行數(shù)值模擬，對比分析了球拍材質(zhì)相同情況下不同海綿厚度對乒乓球運(yùn)動狀態(tài)及球拍最大壓縮量的對應(yīng)關(guān)系。結(jié)果表明：乒乓球反射速度隨海綿厚度的增加急劇減小而后緩慢增大，且球反射速度隨入射角度的增大而減??；球拍的最大壓縮量隨海綿厚度的增加而增大，且隨入射角的增大而增大；乒乓球反射速度隨入射角度的增大呈減小趨勢。

乒乓球；顯式動力學(xué)；碰撞；海綿

乒乓球是一項(xiàng)集速度、力量、落點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、線路和節(jié)奏于一體的體育運(yùn)動［1，3，18］。乒乓球也一直被譽(yù)為“國球”，除群眾基礎(chǔ)雄厚之外，還因中國乒乓球運(yùn)動員在世界大賽中多次獲得冠軍。2016年8月18日，里約奧運(yùn)會馬龍率領(lǐng)中國男隊(duì)3-1戰(zhàn)勝日本隊(duì)獲男團(tuán)冠軍，中國隊(duì)成功包攬了本次奧運(yùn)會男單（馬龍）、女單（丁寧）以及男、女團(tuán)體4枚金牌。這是中國乒乓球隊(duì)繼1996年亞特蘭大奧運(yùn)會、2000年悉尼奧運(yùn)會、2008年北京奧運(yùn)會及2012年倫敦奧運(yùn)會后，歷史第5度在單屆奧運(yùn)會上包攬乒乓球項(xiàng)目4枚金牌［2］。這些成績的取得不僅與運(yùn)動員刻苦訓(xùn)練、頑強(qiáng)拼搏有關(guān)，還與體育科研人員對每一項(xiàng)技術(shù)的深入研究息息相關(guān)。隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的發(fā)展，使得對乒乓球運(yùn)動進(jìn)行理論研究成為可能［16］。

近百年來，乒乓球拍經(jīng)歷了由用羔皮紙貼成的長柄橢圓形空心球拍到木板拍，又由木板拍到呢絨拍、羊皮拍、膠皮拍，再到海綿拍和正、反膠海綿拍及各式各樣球拍的發(fā)展和變革過程，而乒乓球拍的每一次變革，都曾引起各種新技術(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展。有關(guān)乒乓球的研究，國內(nèi)學(xué)者已作了一些定性分析，對于一些基本規(guī)律也提出許多闡述，但尚有大量問題有待通過定量研究來深入認(rèn)識［19］。

Nakashima等［26］基于空氣動力學(xué)模型，通過中速攝像機(jī)測得乒乓球的運(yùn)動軌跡，提出了一種乒乓球旋轉(zhuǎn)速度和運(yùn)動速度的估測方法，并采用數(shù)值模擬進(jìn)行了驗(yàn)證；Liu等［25］基于球拍反彈模型和空氣動力學(xué)模型，通過求解非線性方程組，求解兩點(diǎn)微分方程的邊值問題，預(yù)測乒乓球擊球點(diǎn)和轉(zhuǎn)速，從而為控制乒乓球機(jī)器人手臂揮拍運(yùn)動提供依據(jù)。通過數(shù)值模擬并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比證明了方法的可靠性；Zhang等［27］假設(shè)平行于接觸平面的兩個方向上的速度在碰撞前后呈線性關(guān)系，在碰撞平面的法線方向上，利用彈性恢復(fù)系數(shù)得到碰撞后的反彈速度；武秀根等基于商用有限元軟件MSC.MARC，通過乒乓球與球拍碰撞過程的數(shù)值模擬，著重研究了由傳統(tǒng)木材和碳纖維復(fù)合材料板疊合而成的乒乓球拍微結(jié)構(gòu)對碰撞后乒乓球運(yùn)動規(guī)律的影響［12］，此外，還研究分析了球拍中加入碳纖維含量對球速的影響；林小兵通過調(diào)查研究與多年的教學(xué)實(shí)踐，論證了乒乓球拍海綿硬度（H值）對快弧選手技術(shù)水平的影響，初步建立了快弧選手技術(shù)水平與海綿硬度（H值）之間的定量關(guān)系［4］；王吉生闡述了不同底板、海綿及膠皮等優(yōu)化組合的獨(dú)特性能，給出了不同技術(shù)打法與特定搭配乒乓球拍間的關(guān)系［13］。

海綿作為影響乒乓球拍綜合性能的重要組成部分，其物理性質(zhì)及材料幾何參數(shù)對乒乓球運(yùn)動影響的定量研究，卻鮮有國內(nèi)、外研究人員提及。

1952年，第19屆世界乒乓球錦標(biāo)賽中，日本運(yùn)動員佐藤博治首次在球拍中使用了一塊厚度為8 mm的軟海綿，這薄薄一層海綿的加入使球拍極大地增加了擊球力量和速度。正是憑借對球拍器械的技術(shù)創(chuàng)新，日本隊(duì)在該屆比賽中一舉獲得女團(tuán)、男單、男雙、女雙等4項(xiàng)冠軍。同時，日本隊(duì)使用海綿拍取得的輝煌成績，也顛覆了歐洲運(yùn)動員削球打法的統(tǒng)治地位，使得亞洲乒乓球步入了“黃金期”。隨后，國際乒聯(lián)充分肯定了海綿拍對乒乓球運(yùn)動的積極意義，從此乒乓球運(yùn)動進(jìn)入追求力量和速度的時代［17］。

海綿是乒乓球拍的重要組成部分，其硬度和厚度直接影響了球的速度、旋轉(zhuǎn)和控制效果［5，20］。一方面，海綿特性對乒乓球的運(yùn)動狀態(tài)影響較大；另一方面，實(shí)驗(yàn)研究不僅存在費(fèi)用高、周期長和精度受限等問題，且有些實(shí)驗(yàn)研究無法全面反映實(shí)際情況，諸如乒乓球與球拍的接觸時間僅為千分之一秒，這對壓力傳感器提出了極高的要求，目前用于商業(yè)化的壓力傳感器存在動態(tài)性能差、精度受限等問題，無法滿足實(shí)驗(yàn)要求。因此，數(shù)值模擬自然成為研究海綿特性的重要方法。本文基于ANSYS Workbench顯式動力學(xué)，通過對乒乓球與球拍碰撞過程的數(shù)值模擬，對比分析了球拍材質(zhì)及底板和膠皮厚度相同情況下不同海綿厚度對乒乓球運(yùn)動狀態(tài)、球拍最大壓縮量的影響。

1 研究對象

海綿是一種微孔橡膠制品，經(jīng)過發(fā)泡工藝而產(chǎn)生的無數(shù)個密閉小孔布滿其內(nèi)，從而形成了眾多的微型氣室［6］。當(dāng)受到來球撞擊時，與觸球點(diǎn)臨近的氣室受力收縮，海綿由此產(chǎn)生形變而凹陷：一方面，使乒乓球在海綿上有“滯止”的瞬間接觸時間，俗稱將來球“吃”住。這一特征為運(yùn)動員調(diào)節(jié)擊球用力、方向和時機(jī)提供了可能，尤其是對于專業(yè)運(yùn)動員，該瞬間接觸時間顯得異常重要；另一方面，在“滯止”的瞬間接觸時間內(nèi)，由于海綿形變所產(chǎn)生的彈性勢能，轉(zhuǎn)化為對球作用力，增加了球的反彈動能，進(jìn)而提高了球的速度，它為增強(qiáng)擊球力量和優(yōu)化弧線提供了條件。因此，可以認(rèn)為海綿的作用主要體現(xiàn)在控制球和提高擊球速度上［5］。

目前，國內(nèi)市場上的乒乓球拍海綿主要有3類，即國產(chǎn)海綿、日本海綿和德國海綿（表1）［16］。

表1 不同產(chǎn)地海綿性能Table 1 Performance of Sponge from Different Producing Areas

2 理論基礎(chǔ)

2.1 顯式動力學(xué)有限元法

動態(tài)顯式算法是采用動力學(xué)方程的一些差分格式（如中心差分法、線性加速度法、Newmark法和Wilson法等），該算法不用直接求解切線剛度，也不需要進(jìn)行平衡迭代，計(jì)算速度快。當(dāng)時間步長足夠小時，一般不存在收斂性問題。動態(tài)顯式算法需要的內(nèi)存比隱式算法要少，同時數(shù)值計(jì)算過程可較容易地進(jìn)行并行計(jì)算，程序編制也相對簡單。顯式算法要求質(zhì)量矩陣為對角矩陣，且只有在單元級計(jì)算盡可能少時速度優(yōu)勢才能得以充分發(fā)揮，因而往往采用減縮積分方法，但容易激發(fā)沙漏模式，影響計(jì)算精度［7］。

傳統(tǒng)有限元法屬于靜態(tài)隱式算法，求解中每個時間步都要重新計(jì)算大型非線性剛度矩陣，并進(jìn)行反復(fù)迭代獲得收斂解，需要的計(jì)算時間較長且存儲空間較大。不同于隱式算法，顯式動力學(xué)有限元法無須建立剛度矩陣和求逆運(yùn)算，而是采用中心差分法顯式求解有限元方程，并通過單點(diǎn)高斯積分和集中質(zhì)量，提高了求解速度，具有節(jié)省計(jì)算時間和存儲空間的優(yōu)點(diǎn)。近年來，顯式動力學(xué)有限元法在碰撞沖擊領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，并表現(xiàn)出在處理大規(guī)模接觸問題上的優(yōu)勢［7，8，14，15］。

2.2 控制方程

ANSYS/LS-DYNA是世界上最著名的通用顯式非線性有限元分析程序，以求解二維、三維結(jié)構(gòu)碰撞和金屬成型等非線性動力沖擊問題為主［21］。在動力學(xué)有限元分析系統(tǒng)中，碰撞運(yùn)動方程可表示為：

式中： M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；a為加速度矢量；v 為速度矢量；d 為位移矢量；F 為包括碰撞力在內(nèi)的外力矢量。

考慮數(shù)值模擬系統(tǒng)的沙漏能效應(yīng)，系統(tǒng)控制方程變?yōu)椋?/p>

式中：H為沙漏力。

2.3 碰撞過程機(jī)理及分類

碰撞可簡單分為壓縮和恢復(fù)兩個過程。在碰撞過程中，兩物體之間發(fā)生了隨時間變化的碰撞力作用，并導(dǎo)致了碰撞過程中能量交換和碰撞物體運(yùn)動速度改變。碰撞動力學(xué)研究就是要從碰撞物體材料參數(shù)與碰撞前物體速度出發(fā)，確定碰撞后物體速度變化。在碰撞動力學(xué)模型分析中，這類研究分為兩種，即“剛球模型”與“軟球模型”。剛球模型是應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論，將碰撞體按剛體進(jìn)行處理而不考慮上述兩個過程的細(xì)節(jié)關(guān)系；軟球模型則需要按變形體來建立碰撞擠壓力與擠壓變形之間的關(guān)系式，給出碰撞接觸力。按照碰撞過程能量的變化，我們一般將物體間的碰撞分為3種形式：1）完全彈性碰撞，就是兩物體在碰撞過程中沒有能量損耗；2）完全塑性碰撞，即在碰撞過程中沒有彈性，碰撞的能量轉(zhuǎn)化形式只有動能和系統(tǒng)內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)換；3）彈塑性碰撞，介于完全彈性碰撞和完全塑性碰撞之間，它經(jīng)歷了碰撞的擠壓階段與恢復(fù)階段，但在恢復(fù)階段中儲存在系統(tǒng)中的變形能沒有全部轉(zhuǎn)換為動能［11］。

3 數(shù)值模擬

3.1 幾何模型

使用Unigraphics NX 9.0對乒乓球及球拍進(jìn)行三維幾何建模，球拍分3層，即底板、海綿和膠皮。本應(yīng)以海綿為主要研究對象，但考慮到模擬對象與結(jié)果的真實(shí)有效性，建模時在球拍上布置一層底板和膠皮（反膠）。由于擊球過程中只有球拍一側(cè)的膠皮和海綿對乒乓球運(yùn)動狀態(tài)有影響（不考慮國人發(fā)明的直拍反打技術(shù)）。因此，幾何建模中只建立球拍一側(cè)的底板、膠皮層和海綿層。參照國家標(biāo)準(zhǔn)［10］，底板厚度設(shè)為6 mm，膠皮1.5 mm，海綿0.3～0.9 mm以0.1 mm為間隔取7組，0.9～2.7 mm并以0.3 mm為間隔取6組，共13組厚度［16］，乒乓球采用大球尺寸標(biāo)準(zhǔn)外半徑20 mm，內(nèi)半徑19.61 mm［9］。

3.2 材料屬性

乒乓球拍底板中的木質(zhì)材料和乒乓球所使用的賽璐珞均為各向異性材料，但是，它們相對于膠皮和海綿，在碰撞過程中形變很小，故將其均設(shè)為各向同性材料。材料的機(jī)械性能參數(shù)如表2所示［22，23］。

3.3 網(wǎng)格劃分

選擇網(wǎng)格類型為顯式（Explicit），整體單元大小為5 mm，對乒乓球拍插入尺寸（Sizing），局部細(xì)化球拍網(wǎng)格，確定影響區(qū)的球半徑為40 mm，單元大小為2 mm，如圖2所示，共劃分成18 292個節(jié)點(diǎn)，12 598個單元。

表2 材料機(jī)械性能參數(shù)Table 2 Mechanical Properties of Materials

圖1 球拍實(shí)體模型與側(cè)視圖Figure 1 Model of Racket and the Side View

圖2 球拍網(wǎng)格分布Figure 2 Mesh Distribution

3.4 邊界條件

采用邊界條件為球拍手柄固定，用于模擬擊球時拍柄被手緊握的實(shí)際情況。分別考慮了乒乓球以30°、45°和90°3種入射角度撞擊不同海綿厚度的球拍。不失一般性，設(shè)球的初始速度在y、z平面內(nèi)，乒乓球入射角α和反射角β的定義如圖3所示。

以擊球時球拍與球之間的相對速度作為球初始速度，用球心速度v表示。球與球拍間相對速度為v0＝20 m/s，球自身轉(zhuǎn)動速度為下旋球ω0＝50 rad/s［19，20］。取球與球拍膠皮的摩擦系數(shù) μ＝1.2，本文主要研究乒乓球與拍面的碰撞過程，空氣阻力對此影響不大，因此忽略不計(jì)［12］。

圖3 乒乓球入射角和反射角Figure 3 Incident Angle and Reflex Angle

4 結(jié)果與分析

4.1 乒乓球與球拍碰撞過程

球拍與乒乓球開始接觸時，膠皮層因受到球的擠壓而內(nèi)凹變形，該碰撞力傳遞到海綿層使之也發(fā)生類似形變。隨著膠皮層和海綿層變形的增大，球受到的阻力也逐漸增大，速度急劇減小，球由于摩擦作用而受到的剪力逐漸增大。剪力的存在對球旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生了影響，改變了轉(zhuǎn)動速度。當(dāng)球與球拍間的相對速度達(dá)到零后，膠皮層與海綿層的變形逐漸恢復(fù)，球與球拍開始逐漸脫離，球受到的剪力逐漸減小，直至球以新的速度矢量和轉(zhuǎn)速與球拍完全分離，此時球具有轉(zhuǎn)動和平動兩種運(yùn)動形式。圖4為乒乓球以90°入射角撞擊海綿厚度為1.2 mm球拍時速度的變化過程。

圖4 乒乓球與球拍碰撞過程Figure 4 Collision Course between Table Tennis and Racket

4.2 數(shù)值模擬結(jié)果有效性驗(yàn)證

圖5顯示了海綿厚度為1.2 mm，乒乓球垂直碰撞時整個碰撞系統(tǒng)動能、內(nèi)能和沙漏能隨時間的變化情況。如圖所示，球體動能在碰撞后迅速下降并最終趨于穩(wěn)定，同時系統(tǒng)內(nèi)能隨之增加。需要特別指出的是，沙漏模態(tài)是一種以比全局響應(yīng)高得多的頻率振蕩的零能變形模式，它在數(shù)學(xué)上是穩(wěn)定的，但在物理上是不可能發(fā)生的，如果總的沙漏能大于系統(tǒng)內(nèi)能的10%，這個分析很有可能是失效的［24］。由圖5可知，模擬系統(tǒng)的沙漏能約為1 kJ，遠(yuǎn)低于內(nèi)能的1%，因此，數(shù)值模擬結(jié)果是令人滿意的。

4.3 海綿厚度對乒乓球運(yùn)動狀態(tài)的影響

固定球拍材質(zhì)及底板和膠皮厚度不變，考慮乒乓球分別以30°、45°和90°入射角撞擊同一厚度海綿的球拍；同一入射角度，共取13組海綿厚度進(jìn)行計(jì)算，分別為：0.3～0.9 mm以0.1 mm為間隔取7組，0.9～2.7 mm以0.3 mm為間隔取6組。不同海綿厚度的乒乓球拍對碰撞后球反射速度的影響如圖6所示。

圖5 乒乓球垂直碰撞時系統(tǒng)碰撞能量曲線Figure 5 The Curves of Impact System Energy

圖6 不同海綿厚度對乒乓球反射速度影響Figure 6 Effect of Different Thickness of Sponge on the Reflex Speed of Table Tennis

由圖6可知，乒乓球反射速度隨海綿厚度的增加急劇減小而后緩慢增大，且隨入射角度的增加而減小。當(dāng)入射角為90°時，碰撞結(jié)束后球的速度V隨海綿厚度的增大先減小，在厚度為0.4 mm左右達(dá)到最小值，而后隨海綿厚度的增大而增大；當(dāng)厚度為0.7 mm左右時，球速再次減小，厚度增至0.8 mm后，球速隨厚度的增加而增大，但增大的趨勢并不明顯。當(dāng)入射角為45°時，球速隨海綿厚度的變化與90°入射角具有類似的趨勢，但速度突變點(diǎn)相對略有延后，同時反射速度整體高于后者。當(dāng)入射角為30°時，亦是如此。

由此可總結(jié)出乒乓球碰撞后運(yùn)動狀態(tài)隨海綿厚度變化的規(guī)律，但從理論上講，海綿越厚，彈性越大，而實(shí)際上來球的撞擊力往往無法穿透過厚的海綿，結(jié)果使底板彈性難以得到充分發(fā)揮；但海綿過薄，也會適得其反，球尚未最大限度地與球拍接觸，即遇到底板的反彈力而彈出，這樣既得不到足夠的停球時間，又缺乏飛行的后續(xù)力量。

同理，固定球拍材質(zhì)及底板和膠皮厚度不變，考慮乒乓球分別以30°、45°和90°入射角撞擊同一厚度的海綿球拍；同一入射角度，0.3～2.7 mm以0.3 mm為間隔共取9組海綿厚度分別進(jìn)行計(jì)算，研究海綿厚度對乒乓球拍最大壓縮量的影響(圖7)。

圖7 海綿厚度對乒乓球拍最大壓縮量影響Figure 7 Effect of Different Thickness of Sponge on the Maximum Compression of Table Tennis

由圖7可知，當(dāng)海綿厚度相同時，由于動能更大程度地轉(zhuǎn)化為彈性勢能，球拍的最大壓縮量(膠皮和海綿的最大形變量之和)隨乒乓球入射角度的增大而增大；當(dāng)入射角度一定時，海綿厚度增大為球拍提供了更大的彈性勢能積蓄空間，故最大壓縮量隨海綿厚度增加而呈現(xiàn)出增大的趨勢。

為研究海綿厚度以及入射角度對乒乓球碰撞后反射角的影響，同一乒乓球入射角取9組不同海綿厚度的乒乓球拍，同一海綿厚度取3種入射角度，分別進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果如圖8所示。

圖8 海綿厚度對乒乓球反射角度的 影響Figure 8 Effect of Different Thickness of Sponge on Reflex Angle of Table Tennis

圖8所示數(shù)據(jù)表明，乒乓球反射角受海綿厚度的影響較小，隨入射角度的增大而增大。由于乒乓球具有轉(zhuǎn)速及球拍表面膠皮層摩擦系數(shù)的存在，球入射角不等于反射角。當(dāng)入射角為90°時，乒乓球反射角明顯大于30°和45°入射角時的情況。

4.4 球入射角度對反射速度的影響

不失一般性，同一入射角度取海綿厚度分別為0.6 mm、1.2 mm和1.8 mm；同一海綿厚度，10°～90°以10°為間隔取9組不同入射角。探究球入射角度與反射速度的關(guān)系，結(jié)果如圖9所示。

圖9 乒乓球入射角度對球反射速度的影響Figure 9 Effect of Incident Angle on Reflex Speed of Table Tennis

由圖9所示數(shù)據(jù)可知，乒乓球的反射速度隨入射角度的增加整體呈現(xiàn)出減小的趨勢。此結(jié)論與圖6所示結(jié)果相符，驗(yàn)證了仿真結(jié)果及圖6所得結(jié)論的正確性。如圖所示，入射角小于20°時，乒乓球反射速度隨入射角度的增加急劇減小至8.72 m/s，隨后繼續(xù)下降，但趨勢較為平緩。究其原因，球體的入射角度越大，垂直入射的速度分量就越大，更多的動能轉(zhuǎn)化為球拍彈性勢能，由此產(chǎn)生的能量損失隨之增大，故球體反射速度隨入射角度的增大而減小。

5 結(jié)論

本文將計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)運(yùn)用到乒乓球與球拍碰撞問題的研究中，基于顯式動力學(xué)理論并結(jié)合有限元方法，通過ANSYS Workbench對考慮旋轉(zhuǎn)的乒乓球與球拍碰撞模型進(jìn)行數(shù)值模擬。固定球拍材質(zhì)及底板和膠皮厚度不變，考慮乒乓球分別以30°、45°和90°的入射角度撞擊同一厚度海綿球拍；同一入射角度，共取13組海綿厚度進(jìn)行計(jì)算，對比分析了球拍材質(zhì)及膠皮和底板厚度相同情況下不同海綿厚度對乒乓球運(yùn)動狀態(tài)及球拍最大壓縮量的影響。另外，為探究球入射角度與反射速度的關(guān)系，同一入射角度取海綿厚度分別為0.6 mm、1.2 mm和1.8 mm；同一海綿厚度，以10°為間隔取10°～90°共9組不同的入射角度。研究分析后得出如下結(jié)論：

1. 海綿厚度小于0.8 mm時，球反射速度隨海綿厚度的增加而急劇減小，而大于0.8 mm時，反射速度緩慢增大；且球反射速度隨入射角度的增加而減小。海綿厚度在0.8 mm～2.5mm之間彈性適宜，控球效果良好，擊球的后續(xù)力量較足；

2.球拍最大壓縮量隨海綿厚度的增大而增大，且隨球入射角度的增加而增大。即海綿越厚控球效果越好，但過厚的海綿會增加球拍重量，以0.8～2.7 mm為宜；

3.乒乓球反射速度隨入射角度的增大而減小。

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Collision Dynamics Analysis for Characteristics of Sponge in Table Tennis Racket

XIE Cong-feng， LI Chun

Sponge is an important component of the table tennis racket，and its hardness and thickness directly affect the speed，spin and control of the table tennis. In order to study the inf l uence of sponge thickness on table tennis movement state，we compare the inf l uence of rackets with different sponge thickness but the same material to the movement of table tennis and racket maximum deformation by using ANSYS Workbench numerical simulation of collision between racket and spinning table tennis based on explicit dynamic theory and fi nite element method. Conclusions are as follows：table tennis ref l ex speed decreases rapidly with the increase of the thickness of the sponge and then increases slowly，and the ball ref l ex speed decreases with the increase of the incident angle；the maximum amount of compression of the racket increases with the increase of the sponge thickness as well as the incidence angle；table tennis ref l ex speed sh ows a decreasing trend with the increase of incident angle.

table tennis；explicit dynamics；collision；sponge

G804.6

A

1002-9826（2017）03-0140-06

10. 16470/j. csst. 201703020

2016-09-21；

2016-12-14

上海市教育發(fā)展基金“晨光計(jì)劃”項(xiàng)目（13CG55）。

謝聰鋒，男，在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)轱@式動力學(xué)及其仿真，E-mail：15738080105@163.com。

上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，上海200093．

University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai，200093 China．