具有工作休假的離散時間Geo/Geo/1重試排隊系統(tǒng)

彭懿

DOI：10.7612/j.issn.10002537.2017.02.015

摘要研究了具有工作休假的離散時間Geo/Geo/1重試排隊系統(tǒng). 服務(wù)臺具有工作休假模式，休假時間服從幾何分布并且不能被打斷. 分析了此排隊系統(tǒng)的馬氏鏈， 得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)存在的充要條件. 利用系統(tǒng)演化的平衡方程組求出了重試組隊長和服務(wù)臺狀態(tài)的聯(lián)合平穩(wěn)分布. 最后利用重試組隊長的概率母函數(shù)， 進(jìn)一步得到了一系列重要的排隊性能指標(biāo).

關(guān)鍵詞離散時間重試排隊系統(tǒng)；工作休假；擬生滅過程

中圖分類號O122文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號10002537（2017）02008906

The DiscreteTime Geo/Geo/1 Retrial Queue with Working Vacations

PENG Yi*

（Junior Education Department， Changsha Normal University， Changsha 410100， China）

AbstractThe classical Geo/Geo/1 retrial queue with working vacations was studied， where working vacations are geometric distributed and cannot be interrupted. The Markov chain underlying the considered queueing system was analyzed and its stability condition was derived. Using the balance equations， the steadystate joint distribution of the number of customers in the obit and the states of the server was obtained. Furthermore， the generating functions of the number of customers in the orbit was found and some performance measures of the system in the steadystate was presented.

Key wordsdiscretetime retrial queues； working vacations； QBD

近年來， 越來越多的文獻(xiàn)探究了重試排隊系統(tǒng)， 特別是連續(xù)時間重試排隊系統(tǒng). 重試排隊系統(tǒng)是指顧客到達(dá)系統(tǒng)時， 若發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺空閑則立即接受服務(wù)； 若發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺忙但有空的等待位置， 則按某種排隊規(guī)則在隊列中等待服務(wù)； 若發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺忙且所有的等待位置均被占據(jù)， 則進(jìn)入重試組不斷重試直到成功接受服務(wù). 重試排隊系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于電話交換系統(tǒng)， 通信網(wǎng)絡(luò)以及計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域. 電話訂票系統(tǒng)和網(wǎng)上訂票系統(tǒng)都可理解為重試排隊系統(tǒng)， 包括無線網(wǎng)絡(luò)的計算機(jī)和具有以太網(wǎng)類協(xié)議的局域網(wǎng). 有關(guān)重試排隊系統(tǒng)的主要研究方法和成果， 有Yang和Templeton[1]， Falin[2]以及Falin和Templeton等[3]. 目前重試排隊系統(tǒng)的研究主要集中于連續(xù)時間的情形. 然而， 在一些應(yīng)用中， 離散時間重試排隊系統(tǒng)比連續(xù)時間重試排隊系統(tǒng)更加適合模擬計算機(jī)通訊系統(tǒng)和電信系統(tǒng). 這是因為在許多通信系統(tǒng)中， 時間被劃分為可作為一個時間單位的時隙. 例如， 在ATM網(wǎng)絡(luò)中， 每個單元具有固定的大小和服務(wù)時間. 系統(tǒng)從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一個狀態(tài)只發(fā)生在時隙的開始或結(jié)束. 盡管離散時間重試排隊系統(tǒng)十分重要， 關(guān)于這方面的研究工作卻很少.

在過去三十年中， 很多學(xué)者致力于研究休假排隊系統(tǒng). 休假是指服務(wù)臺終止在隊列中服務(wù)， 服務(wù)臺可能正在修復(fù)， 或者是被迫停止服務(wù). 休假排隊系統(tǒng)已廣泛用于通信系統(tǒng)， 計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)， 生產(chǎn)管理， 業(yè)務(wù)管理的性能分析等許多現(xiàn)實生活應(yīng)用中. 關(guān)于休假排隊系統(tǒng)的文獻(xiàn)參見Doshi[4]， Takagi[5]以及Tian和Zhang[6]等. 在這些研究中， 通常假設(shè)服務(wù)器在休假期間停止服務(wù). 最近， 越來越多的學(xué)者感興趣于工作休假排隊系統(tǒng). 工作休假是指當(dāng)服務(wù)臺休假時并不完全停止服務(wù)， 只是服務(wù)速度比正常工作時的服務(wù)速度要慢. Servi和Finn[7]首先研究了M/M/1工作休假排隊系統(tǒng). Wu和Takagi[8]將這項工作擴(kuò)展到多重工作休假的M/G/1排隊系統(tǒng). Baba[9]考慮了具有多重工作休假的GI/M/1隊列. Li[10]分析了具有工作休假的GI / Geo / 1離散時間排隊系統(tǒng). Tian 等[11]研究了具有多重工作休假的Geo/Geo/1離散時間排隊系統(tǒng). Li[12]分析了指數(shù)工作休假的M/G/1排隊系統(tǒng). Chae[13]探究了單重工作休假的GI/M/1隊列和GI/Geo/1排隊系統(tǒng). Goswami和Selvaraju[14]研究了多重工作休假的MAP/PH/1離散時間排隊系統(tǒng). Do[15]考慮了工作休假的M/M/1重試排隊系統(tǒng). Li等[16]研究了具有工作休假且休假可被打斷的離散時間Geo/Geo/1重試排隊系統(tǒng). 然而， 他們的模型并不能包含具有工作休假且休假不能被打斷的離散時間重試排隊系統(tǒng). 其次， 當(dāng)其模型中的重試率趨于無窮時， 其穩(wěn)定性條件與離散時間Geo/Geo/1隊列的穩(wěn)定性條件不一致. 所以我們試圖重新探究具有工作休假的離散時間重試排隊系統(tǒng).

本文重新探究具有多重工作休假的離散時間Geo/Geo/1重試排隊系統(tǒng)， 得到一系列非常重要的排隊性能指標(biāo). 本文的研究主要應(yīng)用于無線網(wǎng)絡(luò)中的媒體訪問控制功能的性能分析[17].