傳感器優(yōu)化布置的距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則

董小圓，彭珍瑞，殷紅，董海棠

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

傳感器優(yōu)化布置的距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則

董小圓，彭珍瑞，殷紅，董海棠

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

以損傷參數(shù)識(shí)別為目標(biāo)，基于傳統(tǒng)Fisher信息準(zhǔn)則的傳感器優(yōu)化布置會(huì)出現(xiàn)測點(diǎn)局部聚集現(xiàn)象，導(dǎo)致信息冗余，不利于損傷定位。針對此問題，首先以反映信息獨(dú)立程度的距離系數(shù)對候選自由度的Fisher信息矩陣進(jìn)行加權(quán)修正；然后以修正后的有效信息矩陣行列式最大化為目標(biāo)，采用逐步累加的方法得到基于距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則的傳感器優(yōu)化布置方案。采用該方法對一個(gè)16自由度剪切型彈簧質(zhì)量模型進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置。結(jié)果表明，該方法能有效避免測點(diǎn)聚集現(xiàn)象，解決信息冗余問題。

傳感器優(yōu)化布置；損傷識(shí)別；Fisher信息矩陣；信息冗余；歐氏距離；靈敏度分析；模態(tài)分析

利用測得的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的重要環(huán)節(jié)，傳感器位置的選擇對損傷識(shí)別結(jié)果有重要影響[1]，現(xiàn)存的一些損傷識(shí)別方法在進(jìn)行振動(dòng)測試時(shí)，一般根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)在結(jié)構(gòu)上均勻布置傳感器[2]，或采用分步式的布置方式測量模型全部節(jié)點(diǎn)上的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[3]，需要測點(diǎn)較多，測試方案復(fù)雜。傳感器優(yōu)化布置就是將傳感器布置在結(jié)構(gòu)信息最豐富的位置，用盡量少的傳感器獲得盡可能多的結(jié)構(gòu)狀態(tài)信息，以便在噪聲環(huán)境下準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷。

進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置時(shí)，首先要確定傳感器優(yōu)化布置的準(zhǔn)則，其次設(shè)計(jì)相適應(yīng)的優(yōu)化算法。目前常用的優(yōu)化準(zhǔn)則有模態(tài)保證準(zhǔn)則[4]、模態(tài)動(dòng)能法[5-6]，模型縮減法[7]、Fisher信息準(zhǔn)則[8]等。李東升等[9]對上述方法進(jìn)行了綜述，并分析了不同方法之間數(shù)學(xué)本質(zhì)上的內(nèi)在聯(lián)系與差異。其中，基于Fisher信息矩陣的傳感器優(yōu)化布置策略在現(xiàn)今發(fā)展較為成熟，通過最大化Fisher信息矩陣的某一范數(shù)實(shí)現(xiàn)傳感器位置的優(yōu)化。Kammer[10]將信息陣準(zhǔn)則應(yīng)用于結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別的傳感器布置問題，提出了有效獨(dú)立法，通過最大化信息陣的行列式來逐步消除對目標(biāo)模態(tài)向量線性無關(guān)貢獻(xiàn)最小的自由度。Kammer等[11]還提出了三維方向的有效獨(dú)立法，實(shí)現(xiàn)了對多維傳感器的優(yōu)化布置；Yi等[12]結(jié)合有效獨(dú)立法和模態(tài)保證準(zhǔn)則提出了一種新的多維傳感器優(yōu)化布置準(zhǔn)則，并引入狼群算法提高了計(jì)算效率；Castro等[13]將有效獨(dú)立法應(yīng)用到木結(jié)構(gòu)中，在考慮材料參數(shù)的不確定性的情況下實(shí)現(xiàn)了傳感器位置的優(yōu)化；為了準(zhǔn)確測量結(jié)構(gòu)的中頻振動(dòng)特性，Nimityongskul等[14]對結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)進(jìn)行主成分分析得到主方向，以各主方向?qū)?yīng)的頻率響應(yīng)作為估計(jì)目標(biāo)，構(gòu)造Fisher信息矩陣，實(shí)現(xiàn)了基于頻率響應(yīng)的有效獨(dú)立法；Friswell等[15]證明了當(dāng)布置較多數(shù)量的傳感器時(shí)，采用有效獨(dú)立法得到的傳感器布置方案會(huì)出現(xiàn)測點(diǎn)局部聚集現(xiàn)象，從而不能保證目標(biāo)模態(tài)的線性無關(guān)性；為了避免測點(diǎn)聚集產(chǎn)生的信息冗余問題，Li等[16]采用K-均值聚類算法，根據(jù)動(dòng)態(tài)特性的相似程度對結(jié)構(gòu)自由度進(jìn)行歸類，在每一類中分別確定傳感器位置，得到空間分布較為合理的傳感器布置方案。

在對損傷參數(shù)識(shí)別的傳感器優(yōu)化布置問題中，最大化Fisher信息矩陣的行列式得到的傳感器優(yōu)化測點(diǎn)集中于損傷參數(shù)敏感區(qū)，可以有效判定是否發(fā)生損傷，但空間距離較近的候選測點(diǎn)往往會(huì)提供重復(fù)的信息，測點(diǎn)集中產(chǎn)生信息冗余，不利于損傷定位[17]。為此，以反映信息獨(dú)立程度的距離系數(shù)對候選自由度的Fisher信息矩陣進(jìn)行加權(quán)修正，以修正后的有效Fisher信息陣行列式最大化為目標(biāo)，采用逐步累加的方法確定傳感器測點(diǎn)。采用該方法對一個(gè)16自由度剪切型彈簧質(zhì)量模型進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置，并與傳統(tǒng)Fisher信息準(zhǔn)則下的傳感器配置結(jié)果進(jìn)行對比分析。

1 傳感器優(yōu)化布置問題的數(shù)學(xué)模型

對于一個(gè)具有Nd個(gè)自由度的線性結(jié)構(gòu)模型，其運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為

假設(shè)能夠獲得全部Nd個(gè)自由度上的結(jié)構(gòu)響應(yīng):

式中：Z(t)∈RNd為測得響應(yīng)，函數(shù)g(·)表示測量過程。由于損傷識(shí)別的目的是準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的變化，取式(3)的變分形式:

δZ(t)=(Xg)(θX)δθ

(4)

考慮噪聲的影響，則有

δZ(t)=(Xg)(θX)δθ+ε(t)

(5)

式中：誤差向量ε(t)∈RNd包含了測量噪聲和模型誤差，一般假定為方差為σ2的高斯白噪聲，即ε～N(0,σ2INd)。

傳感器優(yōu)化布置就是以包含盡量多的損傷信息為條件，從結(jié)構(gòu)模型的全部Nd個(gè)自由度中選擇N0個(gè)位置作為傳感器測點(diǎn)，這N0個(gè)位置的時(shí)程響應(yīng)要對損傷的變化足夠敏感。其選擇過程表示為

式中：Y(t)∈為RN0個(gè)傳感器的測量輸出,S∈RN0×Nd為測量矩陣，是模型全部自由度到測量自由度的映射。用由0和1組成的Nd維向量p作為傳感器布置向量，若p的第j個(gè)元素為1，表示在第j個(gè)自由度布置傳感器，否則在該自由度不安裝傳感器,則有

對式(6)求差分后代入式(5)，可得

δY(t)=S(Xg)(θX)δθ+Sε(t)

(8)

當(dāng)測量函數(shù)gi(·)與Xi成線性關(guān)系時(shí)，式(8)又可簡化為

δY(t)=SG(θX)(θX)δθ+Sε(t)

(9)

2 Fisher信息準(zhǔn)則及Fisher信息矩陣的計(jì)算

2.1Fisher信息準(zhǔn)則

假定可以獲得結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的無偏估計(jì)量，根據(jù)Cramer-Rao不等式則有

(11)

式中：Σ(t)為噪聲ε(t)的協(xié)方差矩陣。當(dāng)測得的數(shù)據(jù)就是結(jié)構(gòu)的響應(yīng)時(shí)，G=INd，式(11)可簡化為

(12)

達(dá)到Cramer-Rao下界的無偏估計(jì)量稱為有效估計(jì)量，即式(10)的不等式變?yōu)榈仁剑?/p>

由式(13)可以看出，最大化Fisher信息矩陣將使得估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣最小化[8]。因此，傳感器優(yōu)化布置的目標(biāo)就是選擇適當(dāng)?shù)腟，使得Fisher信息陣的某一種范數(shù)最大化，從而使結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的估計(jì)誤差盡可能小。

2.2 Fisher信息矩陣的計(jì)算

從式(12)可以看出，F(xiàn)isher信息矩陣計(jì)算的關(guān)鍵在于求得雅可比矩陣θX(t)，即結(jié)構(gòu)響應(yīng)對損傷參數(shù)的靈敏度根據(jù)模態(tài)分析方法[17]，結(jié)構(gòu)響應(yīng)為

X(θ,t)=Φ(θ)q(θ,t)

式(14)兩邊對θ求偏導(dǎo)，得到

3 距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則

考慮結(jié)構(gòu)全部自由度對應(yīng)的Fisher信息矩陣：

(18)

令ai(t)為雅可比矩陣θX(t)的第i行，由于Σ(t)為對角陣，可將Fisher信息矩陣表達(dá)為各個(gè)自由度貢獻(xiàn)之和的形式，即

如果有兩個(gè)自由度所對應(yīng)的Fisher信息矩陣是非常相似的，那么測量這兩個(gè)自由度上的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與僅測量其中一個(gè)自由度得到的信息量是基本相同的，即使這兩個(gè)自由度對于結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的估計(jì)都有很大的貢獻(xiàn)。

式中信息矩陣的維數(shù)Nθ即為損傷參數(shù)θ中元素的數(shù)目。為了方便引入權(quán)重系數(shù)，對歐氏距離做標(biāo)準(zhǔn)化處理

式中：dmax為一組候選測點(diǎn)中最大的歐氏距離。

若用s表示已經(jīng)選擇的傳感器測點(diǎn)集合，定義待選測點(diǎn)k對應(yīng)的Fisher信息矩陣的距離系數(shù)為

Rk=min(Dks),?

利用Rk加權(quán)式(20)中的Fisher信息陣，得到新的有效信息陣,即

以距離系數(shù)修正的有效Fisher信息矩陣范數(shù)最大化為目標(biāo)的傳感器布置準(zhǔn)則，稱為傳感器優(yōu)化布置的距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則。

4 距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則下的傳感器優(yōu)化布置算法

本文以常用的行列式作為待優(yōu)化的范數(shù)形式，采用逐步累加的方法[20]來實(shí)現(xiàn)距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則下的傳感器優(yōu)化布置，以得到同時(shí)滿足損傷參數(shù)可識(shí)別和避免信息冗余的測點(diǎn)布置方案，從測量的Nd個(gè)自由度中選擇N0個(gè)位置布設(shè)傳感器，具體步驟如下。

1)分別計(jì)算每個(gè)候選自由度對應(yīng)的Fisher信息矩陣的行列式，記錄行列式值最大的候選自由度，作為第一個(gè)測點(diǎn)位置。

2)假設(shè)已經(jīng)確定了m個(gè)測點(diǎn)位置，且m

①根據(jù)式(21)分別計(jì)算第m個(gè)測點(diǎn)與剩余Nd-m個(gè)候選自由度的信息陣之間的歐氏距離dkn，下標(biāo)k表示第k個(gè)候選自由度，記錄Nd-m個(gè)距離中的最大值dmax，并由式(22)得到標(biāo)準(zhǔn)化的歐氏距離Dkm。

②當(dāng)m=1時(shí)，只有一個(gè)已選測點(diǎn)，所以Rk=Dk1；當(dāng)m>1時(shí)，為保證式(23)成立，比較Rk和Dkm，若Dkm

③將第k個(gè)候選自由度增加到已選測點(diǎn)集合中，計(jì)算該m+1個(gè)測點(diǎn)所對應(yīng)的有效信息陣的行列式，計(jì)算公式為

3)重復(fù)2)，確定剩余傳感器布置位置，直至確定全部N0個(gè)測點(diǎn)位置，得到基于距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則的傳感器優(yōu)化布置方案。

5 數(shù)值算例

以圖1所示的16自由度剪切型彈簧-質(zhì)量模型為研究對象，將每個(gè)彈簧剛度的變化作為待識(shí)別參數(shù)。以位移傳感器為例，分別運(yùn)用傳統(tǒng)Fisher信息準(zhǔn)則和距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置。

圖1 16自由度剪切型彈簧—質(zhì)量模型Fig.1 16 DOFs shear type spring-mass model

5.1 模型簡介

模型結(jié)構(gòu)參數(shù)：m1～m4=5 kg，m5～m8=4 kg，m9～m12=3 kg，m13～m16=2 kg;k5～k8=700 N/m，k9～k12=600 N/m，k13～k16=500 N/m;采用比例阻尼，各階模態(tài)阻尼比均為0.02。圖2所示為模型前4階振型。

圖2 模型前四階振型Fig.2 First 4 mode shapes of the spring-mass model

圖3 δK1的Fisher信息Fig.3 Fisher information of δK1

5.2 靈敏度分析

圖4(a)為自由度4、12、16上的位移響應(yīng)對損傷參數(shù)δK1的靈敏度，可以看出，越靠近懸臂頂端的自由度，其位移響應(yīng)對δK1越敏感，這一結(jié)論對其余損傷參數(shù)依然成立。圖4(b)顯示了第16自由度上的位移響應(yīng)對δK1、δK6、δK11的靈敏度，可見，損傷參數(shù)越靠近懸臂根部，第16自由度上的位移響應(yīng)對其越敏感，懸臂的其他自由度位移變化也滿足這一規(guī)律。

(a)δK1的位移靈敏度

(b)DOF16的位移靈敏度圖4 結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)對損傷參數(shù)的靈敏度Fig.4 Sensitivity of structural displacements with respect to damage parameters

5.3 傳感器優(yōu)化布置方案

為方便分析，假定噪聲協(xié)方差矩陣Σ=INd。采用逐步累加的方法[20]，使Fisher信息矩陣的行列式最大化，得到基于傳統(tǒng)Fisher信息準(zhǔn)則的傳感器優(yōu)化布置方案如圖5所示。

圖5 基于傳統(tǒng)Fisher信息準(zhǔn)則的傳感器優(yōu)化布置方案Fig.5 Scheme of optimal sensor placement based on traditional Fisher information criterion

Fisher信息矩陣包含結(jié)構(gòu)響應(yīng)對損傷參數(shù)的靈敏度信息，最大化Fisher信息陣的行列式得到的傳感器測點(diǎn)滿足對損傷參數(shù)的敏感性要求。在圖5中，測點(diǎn)分布于結(jié)構(gòu)響應(yīng)對損傷參數(shù)的敏感區(qū)，從而能夠最大程度上發(fā)現(xiàn)損傷的發(fā)生，但測點(diǎn)在懸臂頂端聚集，并不滿足損傷參數(shù)可觀性的要求，即不利于損傷定位。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)際布設(shè)傳感器時(shí)，力求將傳感器分散布置，避免局部過分集中現(xiàn)象[17]。

運(yùn)用基于距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則的傳感器布置方法，得到的傳感器布置方案如圖6所示。

圖6 基于距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則的傳感器優(yōu)化布置方案Fig.6 Scheme of optimal sensor placement based on distance coefficient-Fisher information criterion

由圖6可以看出，其測點(diǎn)分布更加分散，大部分測點(diǎn)位于懸臂上半部分對損傷參數(shù)較敏感的區(qū)域。當(dāng)傳感器數(shù)目較少時(shí)，測點(diǎn)之間能夠保持一定的距離，避免了信息冗余問題，同時(shí)符合實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)。

綜上所述，基于距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則得到的傳感器測點(diǎn)滿足結(jié)構(gòu)響應(yīng)對損傷參數(shù)敏感性的要求，同時(shí)保證不同測點(diǎn)間的信息相互獨(dú)立。

6 結(jié)論

基于傳統(tǒng)Fisher信息準(zhǔn)則，采用距離系數(shù)修正Fisher信息矩陣，得到距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則。以一個(gè)16自由度剪切型彈簧-質(zhì)量模型作為算例，比較分析傳統(tǒng)Fisher信息準(zhǔn)則和距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則下的傳感器優(yōu)化布置結(jié)果，得出以下結(jié)論：

1)Fisher信息準(zhǔn)則通過使Fisher信息矩陣的范數(shù)最大化，使得估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣最小，即最小化結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的估計(jì)誤差。

2)基于傳統(tǒng)Fisher信息準(zhǔn)則的傳感器布置方案中，測點(diǎn)聚集在結(jié)構(gòu)響應(yīng)對損傷參數(shù)的敏感區(qū)，產(chǎn)生信息冗余。

3)基于距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則得出的傳感器布置方案空間分布更加合理，測點(diǎn)大部分位于結(jié)構(gòu)響應(yīng)對損傷參數(shù)的敏感區(qū)，同時(shí)相互之間保持一定的距離，避免了信息冗余問題，在能夠判定損傷發(fā)生的同時(shí)，有利于損傷定位。

4)需要進(jìn)一步深入研究，比較本文方法與其他傳感器優(yōu)化布置方法對實(shí)際結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別效果。

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Distance coefficient-Fisher information criterion for optimal sensor placement

DONG Xiaoyuan, PENG Zhenrui, YIN Hong, DONG Haitang

(School of Mechatronic Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China)

For damage parameters identification, when the traditional Fisher information criterion is used for optimal sensor placement, the measuring points are susceptible to gathering in a local sensitivity area, which results in information redundancy and this is not conducive to damage location. To avoid aggregation of the measuring points and improve the ability of the damage location, the distance coefficient, which reflects the degree of information independence, was used first to correct the Fisher information matrix, and then the measuring points were obtained by maximizing the determinant of the modified information matrix using a sequential algorithm. The method was employed to design the optimal sensor configuration for a simple 16-DOF chain mass-spring model. The results show the method can effectively avoid the aggregation of measuring points and solve the problem of information redundancy.

optimal sensor placement; damage detection; Fisher information matrix; information redundancy; Euclidean distance; sensitivity analysis; modal analysis

董小圓，男，1988年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閭鞲衅鲀?yōu)化布置。

彭珍瑞，男，1972年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化、測控技術(shù)?，F(xiàn)主持國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目1項(xiàng)、甘肅省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目1項(xiàng)、蘭州市科技計(jì)劃項(xiàng)目1項(xiàng)。發(fā)表學(xué)術(shù)論文30余篇，獲得實(shí)用新型專利10余件。

殷紅，女，1978年生，副教授，主要研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化和模態(tài)分析。主持甘肅省自然基金項(xiàng)目1項(xiàng)。近年來獲得甘肅省教育廳教學(xué)成果獎(jiǎng)、甘肅省高校科技進(jìn)步獎(jiǎng)等獎(jiǎng)項(xiàng)。發(fā)表學(xué)術(shù)論文近20篇，編寫教材5部。

10.11992/tis.201604026

http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170227.1804.014.html

2016-04-21.

日期：2017-02-27.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61463028)；甘肅省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1506RJZA069).

彭珍瑞.E-mail：pzri@163.com.

TP391

A

1673-4785(2017)01-0032-06

董小圓，彭珍瑞，殷紅，等. 傳感器優(yōu)化布置的距離系數(shù)-Fisher信息準(zhǔn)則[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2017, 12(1): 32-37.

英文引用格式：DONG Xiaoyuan, PENG Zhenrui, YIN Hong, et al.[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(1): 32-37.