量子振蕩的數(shù)據(jù)處理方法

王健

DOI：10.19392/j.cnki.16717341.201714229

摘要：量子振蕩作為探測材料費(fèi)米面的有效工具之一，在近年來探索拓?fù)洳牧系倪^程中，更加凸顯它的作用。本文通過分析量子振蕩的公式，提出一種快速準(zhǔn)確處理量子振蕩數(shù)據(jù)的方法，可以更容易獲得材料的電子有效質(zhì)量的信息。

關(guān)鍵詞：拓?fù)洳牧?；量子振蕩；有效質(zhì)量

2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)被頒發(fā)給索利斯、霍爾丹、科斯特利茨三位科學(xué)家，基于他們對拓?fù)湎嘧兣c具有拓?fù)湎嗟奈镔|(zhì)的理論發(fā)現(xiàn)。尋找具有拓?fù)湎嗟牟牧稀負(fù)洳牧?，現(xiàn)已成為凝聚態(tài)物理前沿科學(xué)中重要的研究領(lǐng)域之一[1]。拓?fù)洳牧喜粌H能產(chǎn)生一些新穎的物理現(xiàn)象，諸如巨磁阻、高遷移率、較小的有效質(zhì)量（文中有效質(zhì)量均指電子有效質(zhì)量）、手性反常等，而且對未來新型器件的設(shè)計(jì)起到一定的作用[2]。材料的導(dǎo)電性一般與材料能帶結(jié)構(gòu)中的能隙有關(guān)，可分為導(dǎo)體（沒有能隙）、半導(dǎo)體（能隙較?。?、絕緣體（能隙較大）。傳統(tǒng)材料，其能帶結(jié)構(gòu)中色散關(guān)系都是呈二次方的。而拓?fù)洳牧贤哂芯€性色散的能帶結(jié)構(gòu)。拓?fù)洳牧弦部梢苑譃橥負(fù)浣^緣體和拓?fù)浒虢饘?。對于拓?fù)浣^緣體而言，其體態(tài)為絕緣體，但其表面態(tài)則表現(xiàn)為導(dǎo)體，并具有線性的能帶色散關(guān)系[2]。對于拓?fù)浒虢饘俣裕潴w態(tài)就存在線性的能帶結(jié)構(gòu)[3]。

不同的能帶結(jié)構(gòu)具有不同的費(fèi)米面，量子振蕩是一種非常有力的探測費(fèi)米面的工具之一。因此量子振蕩將在拓?fù)洳牧系奶剿髦衅鸬椒浅Ｖ匾淖饔谩１疚膶⒅仃U述利用量子振蕩來判斷材料物理性質(zhì)及其過程中可能會(huì)遇到的一些問題與相應(yīng)的處理方法。

一、量子振蕩的頻率及其物理意義

在單晶材料中，當(dāng)hωckBT時(shí)[4]，其中h是約化普朗克常量，ωc=eBm*c為回旋頻率，e為電子電荷量，B為磁場強(qiáng)度，m*c為回旋有效質(zhì)量，kB為玻爾茲曼常數(shù)，T為溫度，材料的態(tài)密度就會(huì)隨磁場變化與磁場的倒數(shù)呈周期性關(guān)系。這就導(dǎo)致了各種與材料態(tài)密度相關(guān)的物理量出現(xiàn)周期性的振蕩現(xiàn)象—量子振蕩，諸如電導(dǎo)或電阻隨磁場的變化產(chǎn)生的振蕩，磁化率隨磁場的變化產(chǎn)生的振蕩等等。根據(jù)波爾—索末菲條件，我們可以得到F=（h2πe）AF（其中AF為費(fèi)米面截面的極值），所以不同的量子振蕩頻率反映著不同的費(fèi)米面截面的極值。從而通過磁場方向的改變得到不同角度下量子振蕩的頻率，就能得到該單晶材料的費(fèi)米面的形狀。如果該材料具有多個(gè)頻率，則我們應(yīng)采用快速傅里葉變化（FFT）來對所得到的量子振蕩數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如圖一（a）、（b）所示。

二、材料中電子的有效質(zhì)量

以電導(dǎo)振蕩為例，其振蕩的通常形式為[4]：

ΔσXX=A0RTRDRS cos2π（FB-12+β）（1）

其中A0為常數(shù)，β為相位，F(xiàn)為量子振蕩頻率，RT=αm*TB*1sinh[αm*T/B]，RD=exp（-αm*TDB），RS=cos（πg(shù)m*2），T是溫度，TD是丁格爾溫度，m*為約化有效質(zhì)量（m*=m0/me，m0）為電子有效質(zhì)量，

圖一 量子振蕩的計(jì)算機(jī)模擬：（a）多頻的量子振蕩。（b）對圖一（a）的FFT分析。（c）不同溫度下的量子振蕩。插圖：常規(guī)的擬合方法。（d）本文提出的擬合方法。

me為電子質(zhì)量），α為常數(shù)約為14.69T/K。與材料本身性質(zhì)無關(guān)的量為磁場強(qiáng)度B與溫度T?？梢园l(fā)現(xiàn)僅有RT與外界可以控制的量溫度T有關(guān)。所以我們可以通過調(diào)節(jié)溫度來推得RT這一項(xiàng)中電子的有效質(zhì)量的值。確定磁場的大小和角度后，其余各項(xiàng)均為常數(shù)，一般人們都是通過擬合不同溫度下

ΔσXX=C0αm*TB*1sin h[αm*T/B]

的關(guān)系，來得到有效質(zhì)量的值，如圖一（c）所示（圖一 （c）模擬的是不同溫度下的電導(dǎo)振蕩隨磁場強(qiáng)度倒數(shù)的變化）。這種擬合方法需要獲得多條不同溫度下的數(shù)據(jù)，其測量所需時(shí)間較長。仔細(xì)觀察ΔσXX的表達(dá)式，我們認(rèn)為只測量兩個(gè)不同溫度的點(diǎn)，即可通過解析公式來得到約化有效質(zhì)量m*的準(zhǔn)確值。由ΔσXX（T1）/ΔσXX（T2），則有

ΔσXX（T1）ΔσXX（T2）=sinh[αm*T2Bsinh[αm*T1B]（2）

由于該公式含有sinh函數(shù)，應(yīng)采用數(shù)值近似求解。以取溫度為2K和4K時(shí)為例，我們得到在1B=0.1049（T1）時(shí)，電導(dǎo)的值分別為1.47861E3 S/m與6.05619E4 S/m。估計(jì)有效質(zhì)量的大致范圍，我們假設(shè)材料的有效電子質(zhì)量在0～1me之間（對于拓?fù)洳牧隙云溆行з|(zhì)量往往只有電子質(zhì)量的十分之一），選取有效電子質(zhì)量精度為小數(shù)點(diǎn)后五位，則利用計(jì)算機(jī)可以畫出一條關(guān)于y=sinh[αm*T2B]sinh[αm*T1B]的函數(shù)，其中自變量是有效質(zhì)量m·ΔσXX（T1）*TtΔσXX（T2）*T1為常數(shù)，則我們可以畫出兩條線，這兩條線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為約化有效質(zhì)量的值，如圖一 （d）所示。采用這個(gè)方法分析，我們可以快速并且準(zhǔn)確得到約化有效質(zhì)量的值，對于本例其值為0.500與模擬的參數(shù)一致，并且發(fā)現(xiàn)該值的準(zhǔn)確度比直接擬合公式所得到的準(zhǔn)確度要更高。得到材料的有效質(zhì)量以后，其他與材料相關(guān)的物理系數(shù)更加容易獲得。比如說

RD=exp·（-αm*TDB）

，這一項(xiàng)中，由于指數(shù)形式的函數(shù)僅包含在RT與RD中，我們可以通過利用對指數(shù)函數(shù)取對數(shù)的方法來獲得TD（丁格爾溫度），這與材料在磁場下的遷移率息息相關(guān)。一般而言，拓?fù)洳牧蠎?yīng)具有高的遷移率，小的有效質(zhì)量，所以在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少時(shí)，采用本方法可以精確且快速得到其有效質(zhì)量和遷移率的相關(guān)信息。

三、多個(gè)頻率的量子振蕩

對于實(shí)際的材料來說其費(fèi)米面極值一般是多個(gè)的，我們可以分以下幾種情況討論：

1.對于費(fèi)米面極值相差較大的材料，其對應(yīng)的頻率分的較開，我們可以從其波形上直接讀取某個(gè)頻率的波峰波谷的位置，再將他當(dāng)做單個(gè)頻率的量子振蕩來分析。獲得具體參數(shù)后，利用原始的混合頻率的振蕩數(shù)據(jù)減去單頻數(shù)據(jù)對剩下的數(shù)據(jù)再進(jìn)行進(jìn)一步分析。

2.對于費(fèi)米面極值相差很小，但在量子振蕩中只有一個(gè)頻率占主導(dǎo)，其他頻率對材料性質(zhì)的影響則較小，此時(shí)仍可當(dāng)做單頻的量子振蕩來處理。

3.對于費(fèi)米面極值較為接近或者頻率無法清晰讀取的情況，我們只能通過對函數(shù)ΔσXX=ΣiAiRTiRDiRSicos2π（FiB-12+βi）

中各個(gè)參數(shù)進(jìn)行擬合，直至與原始數(shù)據(jù)較為接近，最后才能得到材料的各個(gè)物理參數(shù)。

四、總結(jié)

本文闡述了量子振蕩的數(shù)據(jù)處理方法，講解在數(shù)據(jù)較少的情況下，快速并且準(zhǔn)確的得到材料的物理性質(zhì)。此方法為判別某種材料是否具有拓?fù)湫再|(zhì)提供了一種途徑。

參考文獻(xiàn)：

[1]Qi XL， Zhang SC. The quantum spin Hall effect and topological insulators [J]. Physics Today， 2010， 63（1）： 338.

[2]Ando Y. Topological insulator materials [J]. Journal of the Physical Society of Japan， 2013， 82（10）： 102001.

[3]Weng H， Dai X， Fang Z. Topological semimetals predicted from firstprinciples calculations [J]. Journal of Physics： Condensed Matter， 2016， 28（30）： 303001.

[4]Ashcroft N W， Mermin N D. Solid state physics [J]. 1976.