P—Ⅲ型曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)方法研究綜述

雷冠軍 王文川 殷峻暹 張麗麗

摘要：水文頻率分析以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，通過(guò)建立模型來(lái)優(yōu)化理論頻率曲線(xiàn)參數(shù)，對(duì)經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)進(jìn)行延展。對(duì)P-Ⅲ型曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)的矩法、概率權(quán)重矩法、權(quán)函數(shù)法、線(xiàn)性矩法、優(yōu)化適線(xiàn)法、加權(quán)適線(xiàn)法、數(shù)值積分算法、優(yōu)化適線(xiàn)準(zhǔn)則在水文頻率參數(shù)估計(jì)中的研究和應(yīng)用，以及水文頻率參數(shù)估計(jì)的不確定性研究進(jìn)行了介紹和闡述，并提出了水文頻率參數(shù)估計(jì)的建議：①加強(qiáng)對(duì)水文序列不確定性機(jī)理的研究，使水文頻率分析的適線(xiàn)結(jié)果具有較好的延展性；②應(yīng)立足于現(xiàn)有的水文頻率參數(shù)估計(jì)的理論基礎(chǔ)，針對(duì)不同的適線(xiàn)目的和數(shù)據(jù)精度，選擇合適的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，提高人機(jī)交互水平，將客觀信息和主觀經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，為水利設(shè)施規(guī)劃、工程規(guī)模的確定提供有力支持；③水文序列存在非一致性，應(yīng)對(duì)水文序列的不確定性和模型參數(shù)估計(jì)的不確定性加以有效分離和衡量，進(jìn)一步提高適線(xiàn)精度。

關(guān)鍵詞：不確定性；目標(biāo)函數(shù)；適線(xiàn)法；解析法；參數(shù)估計(jì)；P-Ⅲ型曲線(xiàn)

水文頻率分析計(jì)算以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，運(yùn)用理論頻率曲線(xiàn)對(duì)水文序列進(jìn)行展延。正確的水文頻率參數(shù)對(duì)于確定工程規(guī)模、合理規(guī)劃水利設(shè)施、有效利用資金等具有重要的意義和價(jià)值。由于水文序列樣本容量有限，加之歷史特大洪水的存在、樣本點(diǎn)據(jù)的精度以及適線(xiàn)的目的不同，因此根據(jù)已有的樣本點(diǎn)確定理論頻率曲線(xiàn)后，在對(duì)經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)進(jìn)行展延時(shí)需要綜合考慮各種因素，反復(fù)協(xié)調(diào)試算。我國(guó)水文頻率分析計(jì)算中規(guī)定以P-Ⅲ型曲線(xiàn)為通用線(xiàn)型，均值、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)為待定參數(shù)。參數(shù)的估計(jì)方法可分為解析法和適線(xiàn)法兩大類(lèi)，解析法包括矩法、權(quán)函數(shù)法、概率權(quán)重矩法、線(xiàn)性矩法等，適線(xiàn)法包括目估適線(xiàn)法和優(yōu)化適線(xiàn)法。目前在工程實(shí)踐中頻率參數(shù)的確定采用的是二者聯(lián)合運(yùn)用的方法：運(yùn)用解析法求出參數(shù)初值，根據(jù)適線(xiàn)目的、點(diǎn)據(jù)的精度和重要性，采用目估適線(xiàn)法或優(yōu)化適線(xiàn)法進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，最終確定出最優(yōu)且合理的頻率曲線(xiàn)。目估適線(xiàn)法能夠根據(jù)需要靈活調(diào)整曲線(xiàn)的偏向和走勢(shì)，但是參數(shù)估計(jì)結(jié)果的主觀性太強(qiáng)；優(yōu)化適線(xiàn)法用目標(biāo)函數(shù)表達(dá)適線(xiàn)目的，運(yùn)用尋優(yōu)算法求解最優(yōu)的參數(shù)估計(jì)值，隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算性能的提高，能夠?qū)崿F(xiàn)全局最優(yōu)的優(yōu)化適線(xiàn)法得到了廣泛運(yùn)用。水文頻率曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)的關(guān)鍵是合理選擇初值的計(jì)算方法、目標(biāo)函數(shù)、優(yōu)化方法。由于輸入數(shù)據(jù)的精度、可靠性、一致性存在差異，以及頻率分析模型是對(duì)真實(shí)物理情形的概化擬合，因此參數(shù)估計(jì)結(jié)果相應(yīng)具有不確定性。本文對(duì)P-Ⅲ型曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)數(shù)值解法的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行了分析，對(duì)優(yōu)化適線(xiàn)法所涉及的問(wèn)題進(jìn)行了述評(píng)，以期為P-Ⅲ型曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)研究提供思路和啟示。

1數(shù)值解法

P-Ⅲ型曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)的數(shù)值解法能夠計(jì)算參數(shù)初值，其直接采用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出參數(shù)估計(jì)的公式，建立參數(shù)與序列、分布、頻率的關(guān)系，然而該方法在運(yùn)用過(guò)程中存在兩個(gè)基本問(wèn)題：①水文序列樣本的容量有限，參數(shù)估計(jì)結(jié)果存在較大的“端矩誤差”；②用樣本矩代替總體矩，矩法本身存在“梯矩誤差”。為了提高參數(shù)估計(jì)結(jié)果的精度，減小誤差，馬秀峰等對(duì)求矩公式經(jīng)過(guò)推演進(jìn)行降階，以低階矩代替高階矩，避免計(jì)算高階矩；對(duì)不同階的矩以權(quán)重為調(diào)整因子進(jìn)行組合，分別對(duì)頻率曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)的數(shù)值解法進(jìn)行改進(jìn)。數(shù)值解法都是基于矩法來(lái)建立參數(shù)估計(jì)方程，通過(guò)將樣本點(diǎn)的值代入方程來(lái)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其改進(jìn)算法都是為了降階，其中比較有代表性且運(yùn)用較廣泛的方法有權(quán)函數(shù)法、概率權(quán)重矩法和線(xiàn)性矩法等，李松仕等對(duì)線(xiàn)性矩法與概率權(quán)重矩法的關(guān)系進(jìn)行了研究，指出線(xiàn)性矩法是概率權(quán)重矩法的線(xiàn)性組合，兩種方法是同解的。

1.1矩法

矩法是用樣本矩代替（或估計(jì)）總體矩，并通過(guò)矩和參數(shù)之間的關(guān)系式估計(jì)頻率曲線(xiàn)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的一種最簡(jiǎn)單的參數(shù)估計(jì)方法。矩法在使用時(shí)不必事先確定頻率曲線(xiàn)的線(xiàn)型，方法簡(jiǎn)單，易于操作，在水文頻率分析中被廣泛用于計(jì)算初值。矩法用有限和去接近無(wú)限和，存在較大的“端矩誤差”和“梯矩誤差”，當(dāng)樣本容量較小時(shí)參數(shù)估計(jì)結(jié)果存在較大的誤差，設(shè)計(jì)值有較大的負(fù)偏性。矩法的改進(jìn)都是從降階和減小“端矩誤差”著手的。

1.2權(quán)函數(shù)法

針對(duì)矩法存在高階矩和“端矩誤差”的問(wèn)題，權(quán)函數(shù)法引入了一個(gè)權(quán)函數(shù)，通過(guò)降低端矩的權(quán)重減小“端矩誤差”，提高偏態(tài)系數(shù)的精度。為了進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)降階的目標(biāo)，需要對(duì)權(quán)函數(shù)的內(nèi)容和形式進(jìn)行研究和探索。對(duì)于嚴(yán)格服從P-Ⅲ型分布的理想系列樣本因系列過(guò)短而造成的“端矩誤差”，馬秀峰對(duì)經(jīng)驗(yàn)頻率公式進(jìn)行了改進(jìn)，使得均值和變差系數(shù)進(jìn)行還原計(jì)算后的計(jì)算精度有較大的提高，提出了用正態(tài)分布函數(shù)計(jì)算權(quán)重的權(quán)函數(shù)法。權(quán)函數(shù)法只是對(duì)偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行了改進(jìn)，而均值、變差系數(shù)的精度問(wèn)題未能解決。劉光文在權(quán)函數(shù)法的基礎(chǔ)上提出了數(shù)值積分單、雙權(quán)函數(shù)法，單權(quán)函數(shù)法通過(guò)引入一個(gè)權(quán)函數(shù)來(lái)提高P-Ⅲ型曲線(xiàn)偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算精度，雙權(quán)函數(shù)法通過(guò)引入兩個(gè)權(quán)函數(shù)有效提高了變差系數(shù)的精度。雙權(quán)函數(shù)法引入一個(gè)新的權(quán)函數(shù)計(jì)算變差系數(shù)，同時(shí)引入了待定的參數(shù)值，劉光文采用近似的方法給這些參數(shù)賦值。雙權(quán)函數(shù)法沒(méi)有實(shí)現(xiàn)真正的降階，增大了參數(shù)估計(jì)的不確定性?；跈?quán)函數(shù)和權(quán)函數(shù)的參數(shù)值難以有效確定這兩個(gè)問(wèn)題，梁忠民等對(duì)權(quán)函數(shù)從兩個(gè)方面進(jìn)行了改進(jìn)：①不引入第二個(gè)權(quán)函數(shù)，而是對(duì)單權(quán)函數(shù)法的關(guān)系式進(jìn)行變形迭代。通過(guò)聯(lián)解兩個(gè)不同的超越方程來(lái)估計(jì)變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)，改進(jìn)后的權(quán)函數(shù)法統(tǒng)計(jì)性能優(yōu)良、計(jì)算簡(jiǎn)便；②將兩個(gè)負(fù)指數(shù)型函數(shù)之差所構(gòu)成的函數(shù)作為權(quán)函數(shù)。偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算由二階中心矩降低為一階中心矩，其參數(shù)計(jì)算結(jié)果的無(wú)偏性和有效性與線(xiàn)性矩法相當(dāng)，擬合效果較線(xiàn)性矩法略?xún)?yōu)，與概率權(quán)重矩法進(jìn)行的比較表明兩者統(tǒng)計(jì)特性相當(dāng)。

權(quán)函數(shù)法通過(guò)設(shè)置不同的權(quán)函數(shù)，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)演算來(lái)避免計(jì)算高階矩，從而減小誤差。權(quán)函數(shù)的選用體現(xiàn)了加權(quán)的思想，改進(jìn)權(quán)函數(shù)的降階方法將是今后的研究重點(diǎn)。

1.3概率權(quán)重矩法

概率權(quán)重矩法起源于威克比分布的求解過(guò)程，而威克比分布只能用概率分布的反函數(shù)表示，這一特性決定了概率權(quán)重矩法利用的先決條件：能夠求出分布函數(shù)的反函數(shù)。Greenwood J.A.等于1979年提出了概率權(quán)重矩法，該方法適用于能夠求出反函數(shù)的分布形式中；Landwehr J.M.等推導(dǎo)了耿貝爾分布、廣義極值分布、威克比分布、指數(shù)分布等的概率權(quán)重矩法的參數(shù)計(jì)算公式，結(jié)果表明該方法具有較好的統(tǒng)計(jì)特性，能夠用于求解那些難以求得分布函數(shù)的線(xiàn)型中。

我國(guó)水文頻率分析廣泛使用的是P-Ⅲ型分布。該分布的反函數(shù)難以求得，從而限制了概率權(quán)重矩法的應(yīng)用。宋德敦等運(yùn)用數(shù)值積分的方法推求出P-Ⅲ型分布的概率權(quán)重矩公式，涉及到特殊積分時(shí)通過(guò)插值迭代的方法求解，該方法計(jì)算結(jié)果受概率公式的影響較大。概率權(quán)重矩法被引入到P-Ⅲ型曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)后，我國(guó)水文學(xué)者主要從兩方面對(duì)該方法展開(kāi)研究：①引入計(jì)算速度快、精度高的積分方法；②依據(jù)實(shí)際水文序列的特點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)改進(jìn)。由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)運(yùn)算性能較弱，因此為提高積分效率，李松仕推導(dǎo)出了簡(jiǎn)化的概率權(quán)重矩公式，制作了精度易于控制的查算數(shù)表；林洪孝等采用數(shù)學(xué)期望公式估計(jì)權(quán)函數(shù)值，采用開(kāi)型數(shù)值積分求解矩，推導(dǎo)了新的概率權(quán)重矩公式，減小了計(jì)算誤差。隨著計(jì)算機(jī)性能的不斷提高，運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值積分已經(jīng)可以大大提高模型的精度。基于概率權(quán)重矩法的基本特性，在遇到不同的水文序列時(shí)，概率權(quán)重矩法的改進(jìn)歸根到底是序列所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率值和累計(jì)頻率值算法的改進(jìn)，比如丁晶等對(duì)頻率計(jì)算公式進(jìn)行了改進(jìn)，從而能夠計(jì)算特大值樣本的參數(shù)分布。另外，概率權(quán)重矩法還能有效處理水文序列出現(xiàn)的明顯分段，即水文樣本出現(xiàn)極大值或極小值的情形，大多采用廣義極值分布擬合，如王怡璇等在我國(guó)西北干旱地區(qū)洪水頻率分析時(shí)采用高階概率權(quán)重矩或部分概率權(quán)重矩法，結(jié)果表明該方法具有較好的統(tǒng)計(jì)特性。

概率權(quán)重矩法能利用樣本的數(shù)值信息和序位信息，概率公式對(duì)參數(shù)估計(jì)有較大影響，概率權(quán)重矩公式中的各項(xiàng)相關(guān)性較強(qiáng)，但是參數(shù)計(jì)算過(guò)程中的微小變化難以得到很好的體現(xiàn)。頻率公式的選取以及提高計(jì)算結(jié)果對(duì)微小差異的敏感度，將是今后概率權(quán)重矩法研究的重點(diǎn)。

1.4線(xiàn)性矩法

線(xiàn)性矩法來(lái)源于概率權(quán)重矩法。是概率權(quán)重矩法的線(xiàn)性組合，線(xiàn)性矩法參數(shù)估計(jì)結(jié)果可以用次序統(tǒng)計(jì)量線(xiàn)性組合的期望值表示。Hosking J.R.M.于1990年提出了線(xiàn)性矩法，該方法具有良好的無(wú)偏性（對(duì)于小容量樣本亦如此）；陳元芳等在分析已有參數(shù)估計(jì)方法的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出具有歷史洪水序列的線(xiàn)性矩法參數(shù)計(jì)算公式，并將線(xiàn)性矩法擴(kuò)展到對(duì)數(shù)正態(tài)分布、耿貝爾分布、廣義極值分布、指數(shù)分布，大大擴(kuò)展了線(xiàn)性矩法的適用范圍：梁玉音等以太湖流域的雨量資料為樣本，比較了線(xiàn)性矩法和常規(guī)矩法的無(wú)偏性、穩(wěn)健性，結(jié)果表明線(xiàn)性矩法處理區(qū)域水文資料時(shí)表現(xiàn)較好。

部分地區(qū)缺乏水文觀測(cè)資料或?qū)崪y(cè)水文序列較短，線(xiàn)性矩系數(shù)是由樣本次序統(tǒng)計(jì)量衍生的，可以通過(guò)對(duì)區(qū)域的線(xiàn)性矩系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)而對(duì)地區(qū)進(jìn)行水文分區(qū)，將地區(qū)整體的水文相似區(qū)的分布函數(shù)作為各個(gè)小區(qū)域的頻率分布，能夠有效提高較短樣本設(shè)計(jì)值的精度，從而實(shí)現(xiàn)“以空間換取時(shí)間”。因此，線(xiàn)性矩法不僅可用于單站水文頻率計(jì)算，而且便于地區(qū)綜合和線(xiàn)型鑒別，用于無(wú)資料地區(qū)的水文頻率分析。從Hosking J.R.M.等首先將線(xiàn)性矩法用于區(qū)域洪水頻率分析開(kāi)始，線(xiàn)性矩法得到了廣泛的關(guān)注和運(yùn)用：張靜怡等將線(xiàn)性矩法引入水文頻率分析中，闡明了線(xiàn)性矩法區(qū)域頻率分析的基本步驟，對(duì)江西、福建兩省的最大洪水資料進(jìn)行了分析，認(rèn)為這兩個(gè)省份的P-Ⅲ型分布要優(yōu)于廣義極值分布；陳元芳等將線(xiàn)性矩法應(yīng)用到長(zhǎng)江中下游地區(qū)主要測(cè)站的水文頻率分析中：陳永勤等研究了東江流域枯水期的頻率分布，指出LN3分布最適合東江流域的枯水分布分析：朱惠玲對(duì)黃河下游8個(gè)不同站點(diǎn)的水文序列運(yùn)用區(qū)域線(xiàn)性矩法進(jìn)行了頻率分析，認(rèn)為廣義極值分布在該區(qū)域的水文頻率分析中具有最好的穩(wěn)健性：楊濤等對(duì)珠江三角洲最高實(shí)測(cè)水位進(jìn)行了區(qū)域洪水頻率計(jì)算與分析，研究中將珠江三角洲分為3個(gè)水文相似區(qū)。線(xiàn)性矩法的關(guān)鍵是基于線(xiàn)性矩系數(shù)對(duì)研究區(qū)域進(jìn)行水文一致性和相似性檢驗(yàn)以及區(qū)域分布線(xiàn)型的鑒別，而以上研究大多是對(duì)該方法在不同區(qū)域運(yùn)用的研究，對(duì)于一致性、相似性的機(jī)理，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)和水文學(xué)方法去證明研究以及如何改進(jìn)區(qū)域分布線(xiàn)型確定方法的研究較少。

2優(yōu)化適線(xiàn)法

優(yōu)化適線(xiàn)法是通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)使經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)與已知的理論頻率曲線(xiàn)擬合最優(yōu)的方法，隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算性能的提高，智能優(yōu)化算法大幅提高了水文頻率參數(shù)優(yōu)化計(jì)算的效率。

李宏偉等研究了蟻群算法在水文頻率參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)蟻群算法搜索時(shí)間較長(zhǎng)，算法的收斂性受初始參數(shù)設(shè)置的影響較大：王占海等運(yùn)用遺傳算法求解頻率曲線(xiàn)的參數(shù)，目標(biāo)函數(shù)以橫縱向離差平方和最小為準(zhǔn)則，遺傳算法的迭代終止條件沒(méi)有一致的標(biāo)準(zhǔn)，模型運(yùn)算結(jié)果表明算法本身易陷入局部最優(yōu)，尋優(yōu)結(jié)果具有明顯的不確定性；姚德倉(cāng)等在水文頻率曲線(xiàn)的擬合優(yōu)化中引進(jìn)了粒子群算法，但是粒子群算法參數(shù)較多，參數(shù)初值的好壞直接影響著尋優(yōu)結(jié)果的優(yōu)劣，需要通過(guò)反復(fù)試算確定初始參數(shù)；陳子全等將模擬退火算法應(yīng)用到水文頻率參數(shù)分析中，并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行了論證，結(jié)果表明該方法的參數(shù)初始值和步長(zhǎng)都會(huì)對(duì)尋優(yōu)結(jié)果的穩(wěn)定性和收斂性產(chǎn)生影響。

3目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化適線(xiàn)法可歸結(jié)為運(yùn)用尋優(yōu)算法去尋找最優(yōu)值，最優(yōu)值的確定取決于目標(biāo)函數(shù)的確定。對(duì)優(yōu)化適線(xiàn)法的改進(jìn)和運(yùn)用包括兩方面：①改進(jìn)優(yōu)化算法的不穩(wěn)定性以及早熟收斂：②結(jié)合適線(xiàn)目的對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。優(yōu)化算法的研究屬于尋優(yōu)的范疇，本文只對(duì)后者進(jìn)行論述。適線(xiàn)目的基于不同的問(wèn)題有很多，但都是從樣本點(diǎn)在適線(xiàn)過(guò)程中的重要程度出發(fā)的，目標(biāo)函數(shù)的研究分為：①以加權(quán)調(diào)整觀測(cè)值的重要性；②以橫坐標(biāo)方向的數(shù)值積分體現(xiàn)頻率的重要性：③以橫縱坐標(biāo)的離差或統(tǒng)計(jì)特性體現(xiàn)適線(xiàn)的重要性。

3.1加權(quán)適線(xiàn)法

如果對(duì)不同頻率的經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)與頻率曲線(xiàn)的離差權(quán)重作等權(quán)處理，那么對(duì)于適線(xiàn)結(jié)果受部分不同頻率點(diǎn)據(jù)計(jì)算結(jié)果影響較大的序列，就會(huì)導(dǎo)致頻率曲線(xiàn)受少數(shù)異常點(diǎn)據(jù)的影響而偏離大多數(shù)經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的總體分布趨勢(shì)。加權(quán)適線(xiàn)法能夠?qū)c(diǎn)據(jù)的適線(xiàn)過(guò)程加以調(diào)整。

謝平等提出了由于不同點(diǎn)據(jù)精度不同，因此在配線(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的權(quán)重不同的理論：邱林等運(yùn)用離差加權(quán)的方法對(duì)經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)與理想曲線(xiàn)之間的擬合偏差加以處理，基于點(diǎn)據(jù)偏離最優(yōu)曲線(xiàn)的波動(dòng)程度服從正態(tài)分布的思想建立隸屬度函數(shù)；謝崇寶等采用次序統(tǒng)計(jì)量推導(dǎo)出隸屬度函數(shù)。邱林和謝崇寶等分別提出的兩種方法都利用金光炎推導(dǎo)出的諾模圖來(lái)計(jì)算隸屬度函數(shù)中的標(biāo)準(zhǔn)差，同時(shí)在推導(dǎo)隸屬度函數(shù)的過(guò)程中都忽略了樣本容量是大樣本的基本前提。對(duì)諾模圖長(zhǎng)度有限的問(wèn)題也沒(méi)有很好地加以處理。鄧育仁等采用梯形法計(jì)算觀測(cè)資料的誤差，采用正態(tài)分布建立設(shè)計(jì)值、設(shè)計(jì)頻率的隸屬度函數(shù)，由于在建立隸屬度函數(shù)中對(duì)于觀測(cè)值誤差的確定多采用經(jīng)驗(yàn)值，因此該方法在邏輯推導(dǎo)上不具有可信度。

3.2數(shù)值積分

以頻率擬合最優(yōu)為目的，在橫坐標(biāo)方向上建立目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化估計(jì)，大都從數(shù)值積分的角度來(lái)研究。應(yīng)用P-Ⅲ型分布數(shù)值積分的關(guān)鍵是推求離均系數(shù)，推求過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到伽瑪函數(shù)和伽瑪函數(shù)分布函數(shù)的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。

伽瑪函數(shù)的數(shù)值積分一般采用龍貝格積分法和切比雪夫不等式進(jìn)行逼近，吳明官等推導(dǎo)了一種新的切比雪夫不等式快速算法，該方法計(jì)算速度快于變量代換法、分部積分法和麥克勞林法，但是收斂域具有一定的局限性，不能通用在完整的積分區(qū)域內(nèi)；劉鈞哲等在對(duì)不完全伽瑪分布函數(shù)進(jìn)行分步積分的基礎(chǔ)上，考慮到龍貝格積分法具有穩(wěn)定性高、計(jì)算速度快、易于操作的特點(diǎn)和對(duì)分法能夠提高搜索效率，將對(duì)分法和龍貝格積分法結(jié)合起來(lái)求解數(shù)值積分，與傳統(tǒng)的切比雪夫多項(xiàng)式法、自適應(yīng)辛普森算法相比，計(jì)算速度有了較大提高；李世才針對(duì)應(yīng)用查表法以及常規(guī)的數(shù)值計(jì)算方法難以有效計(jì)算Kp（Kp為計(jì)算水文設(shè)計(jì)值的參數(shù)）值的問(wèn)題，將數(shù)值積分的計(jì)算轉(zhuǎn)換為伽瑪分布函數(shù)和伽瑪分布的分位數(shù)的計(jì)算。給出了通用算法的解析表達(dá)式和截?cái)嗾`差表達(dá)式，提高了數(shù)值積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的解算速度和收斂速度，增強(qiáng)了方法的穩(wěn)定性和通用性；劉仕平等提出了變步長(zhǎng)數(shù)值積分法，給出了伽瑪函數(shù)分布函數(shù)通用算法的綜合表達(dá)式，該方法的關(guān)鍵是步長(zhǎng)變動(dòng)函數(shù)的確定，在控制誤差的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)值積分，經(jīng)驗(yàn)證，在a（a為伽瑪函數(shù)的參數(shù)）>2時(shí)，變步長(zhǎng)數(shù)值積分法的計(jì)算結(jié)果容易溢出，步長(zhǎng)變動(dòng)函數(shù)計(jì)算精度不高：王文川等對(duì)變步長(zhǎng)積分算法進(jìn)行了改進(jìn)，重新推導(dǎo)了步長(zhǎng)變動(dòng)函數(shù)，運(yùn)用群居蜘蛛優(yōu)化算法進(jìn)行尋優(yōu)，取得了較好的水文頻率參數(shù)擬合結(jié)果。

水文復(fù)核計(jì)算多采用查表法插值計(jì)算離均系數(shù)φp值，由于精度低、工作量大、計(jì)算機(jī)編程時(shí)占用內(nèi)存過(guò)大，因此該方法已不再使用。高斯求積法-梯形法、辛普森算法、龍貝格積分算法以及相應(yīng)的改進(jìn)算法已經(jīng)相繼提出，但是依然存在計(jì)算精度低、運(yùn)算速度慢、收斂性差、容易溢出等問(wèn)題，這將是今后的研究重點(diǎn)。

3.3優(yōu)化準(zhǔn)則

水文頻率曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)的優(yōu)化適線(xiàn)法是按照一定的優(yōu)化準(zhǔn)則建立目標(biāo)函數(shù)來(lái)尋找最優(yōu)的參數(shù)估計(jì)方法，優(yōu)化準(zhǔn)則反映的是適線(xiàn)目的。優(yōu)化準(zhǔn)則的研究分為兩方面：①縱、橫坐標(biāo)方向的離差；②適線(xiàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)特性。

擬合值和真實(shí)值的差異用縱、橫坐標(biāo)方向的離差表示，優(yōu)化目的是尋找最優(yōu)參數(shù)使得總體偏差最小。吳伯賢等提出了統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)研究的基本判定準(zhǔn)則，依據(jù)相對(duì)偏差和相對(duì)均方根誤差對(duì)估計(jì)方法進(jìn)行評(píng)判：胡素端等選用WLS準(zhǔn)則-相對(duì)離（殘）差平方和最小準(zhǔn)則定量評(píng)估了高階概率權(quán)重矩參數(shù)的估計(jì)效果；肖可以等提出了擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)的OLS準(zhǔn)則（離差平方和最小準(zhǔn)則）和AIC準(zhǔn)則（赤池信息量準(zhǔn)則），不僅可以衡量分布線(xiàn)型和實(shí)測(cè)序列之間的偏差，而且可以反映因模型參數(shù)個(gè)數(shù)不同而產(chǎn)生的不穩(wěn)定性：宋松柏等將離（殘）差絕對(duì)值和最小準(zhǔn)則（ABS）引入到水文頻率分析計(jì)算中；葛吉琦提出以擬合精度為基準(zhǔn)，以4個(gè)目標(biāo)函數(shù)為曲線(xiàn)擬合精度的指標(biāo)，將同一樣本序列4個(gè)指標(biāo)的結(jié)果之和作為曲線(xiàn)的擬合優(yōu)度。

在適線(xiàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)特性研究方面，人們大多從參數(shù)估計(jì)結(jié)果的無(wú)偏性和有效性出發(fā)。楊榮富等將相對(duì)偏差和均方根誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，檢驗(yàn)了分布參數(shù)和設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性及有效性。

優(yōu)化準(zhǔn)則從不同角度對(duì)參數(shù)估計(jì)進(jìn)行定量描述，是適線(xiàn)目標(biāo)的抽象概化，其中偏差最小、波動(dòng)最小是適線(xiàn)的主要目標(biāo)，優(yōu)化準(zhǔn)則同時(shí)也是適線(xiàn)結(jié)果優(yōu)劣的判別準(zhǔn)則。適線(xiàn)過(guò)程是優(yōu)化準(zhǔn)則協(xié)調(diào)博弈的過(guò)程，在目標(biāo)函數(shù)中綜合協(xié)調(diào)各個(gè)目標(biāo)，使得參數(shù)估計(jì)結(jié)果達(dá)到整體最優(yōu)，以及建立評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)擬合效果進(jìn)行評(píng)判，是今后需要研究的問(wèn)題。

4頻率分析的不確定性

水文頻率分析存在3種不確定性：①水文事件本身的不確定性：②水文資料短缺及模型參數(shù)估計(jì)方法的不確定性；③線(xiàn)型選擇的不確定性。不確定性分析以貝葉斯理論為基礎(chǔ)，分為兩種情形：①對(duì)參數(shù)和線(xiàn)型的不確定性分析：②對(duì)非一致性條件下參數(shù)估計(jì)的不確定性分析。第一種情形是對(duì)模型本身的不確定性分析，Wood B.A.D.等在貝葉斯理論的基礎(chǔ)上分析了模型參數(shù)的不確定性，綜合考慮了參數(shù)和線(xiàn)型選擇對(duì)設(shè)計(jì)值造成的不確定性；Kuczera G.等依據(jù)貝葉斯理論對(duì)P-Ⅲ型分布和LP-Ⅲ型分布參數(shù)估計(jì)的不確定性進(jìn)行了研究，利用“重要性抽樣法”在參數(shù)的后驗(yàn)狀態(tài)空問(wèn)進(jìn)行搜索，構(gòu)造了具體設(shè)計(jì)值的抽樣分布，并描述了設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間；劉攀等研究了線(xiàn)型選擇與線(xiàn)型綜合對(duì)參數(shù)估計(jì)不確定性的影響，結(jié)果證明基于貝葉斯理論的貝葉斯模型選擇與綜合方法可以對(duì)樣本的真實(shí)線(xiàn)型進(jìn)行有效識(shí)別：梁忠民等以貝葉斯理論為基礎(chǔ)，考慮參數(shù)不確定性和線(xiàn)型選擇不確定性，運(yùn)用全概率公式提出了能夠同時(shí)考慮這兩種不確定性的水文頻率參數(shù)估計(jì)方法：魯帆等基于M-H抽樣算法的貝葉斯MC-MC方法對(duì)廣義極值分布參數(shù)和設(shè)計(jì)洪水的后驗(yàn)分布進(jìn)行了頻率分析，M-H抽樣算法的初始值、核函數(shù)和轉(zhuǎn)移矩陣的確定均需要通過(guò)大量試算加以確定。

第二種情形是對(duì)氣候變化條件下非一致性水文序列的不確定性分析，尚曉三等基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析理論，運(yùn)用自適應(yīng)采樣算法（AM-MCMC）對(duì)變化環(huán)境下樣本序列長(zhǎng)度、歷史洪水個(gè)數(shù)對(duì)參數(shù)估計(jì)的不確定性進(jìn)行了分析；馮平等采用Gibbs-MCMC算法對(duì)水文序列進(jìn)行修正后，基于貝葉斯理論對(duì)均值和偏態(tài)系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)與適線(xiàn)法耦合，分析了非一致性對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果不確定性的影響；謝平等運(yùn)用小波分析將非一致性洪水序列分為趨勢(shì)性成分、隨機(jī)性成分，對(duì)趨勢(shì)性成分采用非線(xiàn)性函數(shù)擬合，對(duì)隨機(jī)性成分采用P-Ⅲ型分布擬合，再對(duì)不同時(shí)期的設(shè)計(jì)值進(jìn)行合成計(jì)算；胡義明等對(duì)非一致性水文序列作跳躍分析和趨勢(shì)性分析后進(jìn)行了一致性修正，對(duì)修正后的水文序列進(jìn)行了頻率分析，結(jié)果表明水文序列不作一致性修正可能將使適線(xiàn)結(jié)果出現(xiàn)嚴(yán)重錯(cuò)誤；吳晶等運(yùn)用TFPW-MK-Pettitt方法對(duì)水文序列的趨勢(shì)性進(jìn)行了檢驗(yàn)，并采用EEMD（集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解）方法對(duì)水文序列分解后加以修正，結(jié)果表明修正后的水文序列滿(mǎn)足一致性要求，能夠用于非一致性水文序列的頻率分析。

合理選擇計(jì)算方法對(duì)參數(shù)估計(jì)的不確定性進(jìn)行定量識(shí)別，并運(yùn)用其定量評(píng)估設(shè)計(jì)值的不確定性，將是今后需要研究的問(wèn)題。

5結(jié)語(yǔ)

目前，對(duì)于水文頻率的分析研究大多集中在線(xiàn)型選擇、參數(shù)估計(jì)方法上，對(duì)于初值計(jì)算、權(quán)重確定、數(shù)值積分、優(yōu)化準(zhǔn)則等參數(shù)優(yōu)化及設(shè)計(jì)值不確定性方面的研究較少。已有的研究沒(méi)有在原來(lái)的基礎(chǔ)上繼續(xù)延伸并且深入探究其中的影響因素，致使在權(quán)重、數(shù)值積分、目標(biāo)函數(shù)的研究方面突破較少。因此，建議：①加強(qiáng)對(duì)水文序列隨機(jī)性機(jī)理的研究，使水文頻率分析的適線(xiàn)結(jié)果具有較好的延展性：②立足于現(xiàn)有的水文頻率參數(shù)估計(jì)的理論基礎(chǔ)，針對(duì)不同的適線(xiàn)目的和數(shù)據(jù)精度，選擇合適的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，提高人機(jī)交互水平，將客觀信息和主觀經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，為水利設(shè)施規(guī)劃、工程規(guī)模的確定提供有力支持；③水文序列存在非一致性，應(yīng)對(duì)水文序列的不確定性和模型參數(shù)估計(jì)的不確定性加以有效分離和衡量，進(jìn)一步提高適線(xiàn)精度。