偏振雷達(dá)探測(cè)小橢球粒子群LDR的雷達(dá)氣象方程

胡方超　辛巖　張培昌　王振會(huì)

摘要雙線偏振雷達(dá)探測(cè)小橢球粒子群時(shí)，雷達(dá)單發(fā)雙收或交替發(fā)射。在粒子旋轉(zhuǎn)軸呈某一取向時(shí)，要獲得定義為RLD_vh或RLD_hv這個(gè)物理量，必須先建立Zvh及Zhv的雷達(dá)氣象方程，并需重新定義相應(yīng)的雷達(dá)反射率因子。本文推導(dǎo)出了能反演Zvh及Zhv的雷達(dá)氣象方程，并模擬了具有Gamma譜分布的扁橢球粒子群在空間均勻取向時(shí)的LDR的變化情況。

關(guān)鍵詞雙線偏振雷達(dá)；LDR；雷達(dá)氣象方程

當(dāng)常規(guī)天氣雷達(dá)探測(cè)降水粒子群，在滿足瑞利散射條件時(shí)，經(jīng)常采用ProbertJones（1962）推導(dǎo)出的小球形粒子群雷達(dá)氣象方程（張培昌和劉傳才，1998）。但對(duì)于較大的雨滴，Bringi and Chandrasekar（2001）給出確定線性退偏振比LDR（Linear Depolarization Ratio）的公式是RLD_vh=10log[ηvh/ηhh]，其中ηvh和ηhh分別是天氣雷達(dá)發(fā)射水平偏振時(shí)由降水粒子群回波功率反演的交叉極化和共極化反射率，它們與雷達(dá)波長(zhǎng)等有關(guān)。而我們希望LDR這個(gè)量?jī)H僅反映降水粒子自身的形狀、相態(tài)及軸取向特點(diǎn)等，這樣才能用LDR這個(gè)量作為識(shí)別降水粒子性質(zhì)的依據(jù)，這時(shí)可使用另一個(gè)RLD_vh或RLD_hv公式（Wakimoto and Bringi，1988）：

RLD_vh=10log[Zvh/Zhh]或RLD_hv=10log[Zhv/Zvv]。

另外，實(shí)際探測(cè)時(shí)在信號(hào)處理器中希望使用統(tǒng)一的雷達(dá)常數(shù)C，以適應(yīng)對(duì)不同粒子形狀的探測(cè)。RLD只有在確定Zvh、Zhh、Zhv、Zvv的具體函數(shù)表示式后才能實(shí)現(xiàn)，這就涉及到要重新推導(dǎo)出能從中確定Zvh與Zhh函數(shù)定義式的雷達(dá)氣象方程，這就是本文所要研究的原因。為此，張培昌等（2013）推導(dǎo)出能反演Zhh、Zvv的雷達(dá)氣象方程，故本文重點(diǎn)是推導(dǎo)出Zvh、Zhv的雷達(dá)氣象方程，把其理論表達(dá)式用于模擬、反演以及獲取接收雙線偏振氣象雷達(dá)的物理量LDR。

目前，新一代多普勒天氣雷達(dá)及云雷達(dá)，都將采用或升級(jí)為雙線偏振體制，在單發(fā)雙收模式下，可獲得LDR。因此，如何建立適用于接收雙線偏振的、能獲得符合LDR定義式的雷達(dá)氣象方程，具有現(xiàn)實(shí)的理論意義和重要的應(yīng)用價(jià)值（劉黎平等，1997；王致君，2002；崔丹等，2009；樊雅文等，2013；魏鳴等，2014）。本文采用高斯（Gans）的小橢球粒子散射理論（朗道和栗弗席茲，1963；張培昌和王振會(huì)，1995；張培昌等，2001；胡方超和王振會(huì)，2005；Wang et al.，2010）進(jìn)行推導(dǎo)，主要針對(duì)在風(fēng)較小時(shí)的一致鉛直取向，及在風(fēng)及湍流較大時(shí)的空間均勻隨機(jī)取向這兩種情況。

1理論推導(dǎo)

雷達(dá)天線發(fā)射波電場(chǎng)Ei不一定與橢球粒子中某一個(gè)軸平行，而從橢球散射回天線處的散射波當(dāng)天線極化通道不變時(shí)，只能接收其中的平行偏振分量，故需要分別在天線和橢球上建立各自的直角坐標(biāo)系oxyz及o′ξηζ，如圖1中所示。其中ox軸恒在水平方向上，雷達(dá)發(fā)射波電場(chǎng)Ei恒在xoz平面內(nèi)，Ei與x軸的夾角α為極化角，δ為天線仰角。

11雷達(dá)發(fā)射水平偏振波

11.1旋轉(zhuǎn)軸取向在空間一致鉛直

據(jù)文獻(xiàn)（胡方超等，2013）可得

Ix=I‖=|g′|2；（1）

Iz=I⊥=0。 （2）

其中：Ix=I‖為在后向散射強(qiáng)度中的平行分量，Iy=Iz=I⊥為正交分量，g′是旋轉(zhuǎn)橢球粒子在相等軸方向上的極化系數(shù)。（1）式表明，在后向散射強(qiáng)度中，只有平行分量Ix=I‖，而無(wú)正交分量I⊥。且后向散射平行分量與天線仰角δ的變化無(wú)關(guān)。因此，這時(shí)只能獲得Zhh值，而Zvh值為零。即此時(shí)，不存在線性退偏振因子LDR。

112旋轉(zhuǎn)軸在空間均勻無(wú)規(guī)取向（張培昌和劉傳才，1998）

當(dāng)入射偏振波投射在橢球質(zhì)點(diǎn)上，根據(jù)Gans理論，得到橢球坐標(biāo)系的偶極矩，再變換到天線坐標(biāo)系，從而得到粒子散射回天線處的散射強(qiáng)度的兩個(gè)分量Ix、Iz（張培昌和王振會(huì)，1995），具體詳細(xì)推導(dǎo)見(jiàn)文獻(xiàn)（張培昌等，2013）可得

Ix=15|g|2+43Re（g*g′）+83|g′|2；（3）

Iz=115|g-g′|2。（4）

式（3）中g(shù)*為g的共軛，g為橢球粒子旋轉(zhuǎn)軸的極化系數(shù)，（g*g′）為g*和g′的乘積，Re（）對(duì)其取實(shí)部。這時(shí)回波有水平偏振分量Ix及垂直偏振分量Iz，要獲得Zvh的表達(dá)式，首先要由Iz推導(dǎo)出相應(yīng)的雷達(dá)氣象方程。注意到（4）式中Iz是在發(fā)射水平偏振波及粒子旋轉(zhuǎn)軸在空中作無(wú)規(guī)取向時(shí)獲得的，故其就是發(fā)射水平偏振波后，接收機(jī)所同時(shí)收到的垂直偏振分量。后向散射能流密度Sy有

Sy=ck4P2z9πR2=ck4Iz9πR2。（5）

其中：Pz為粒子在z方向感生的電偶極矩；c是光速，k=2πλ，λ為雷達(dá)波長(zhǎng)，R是橢球離雷達(dá)的距離。將（4）式及k的關(guān)系式代入上式后得：

Sy=2π3cλ4R2115|g-g′|2。（6）

由后向散射截面的定義（張培昌和劉傳才，1998）有

σvh·S0=4πR2Sy。（7）

其中發(fā)射波的能流密度S0=c8π，將（6）式代入（7）式后可得：

σvh=6415π5λ4|g-g′|2。 （8）

雷達(dá)氣象方程用雷達(dá)截面表示時(shí)為

Pvh=C*R2∫∞0σvhN（De）dDe。（9）

式中：C*=PthG2λ2θφ1 024（ln2）π2為表觀雷達(dá)常數(shù)，以區(qū)別于常用統(tǒng)一的雷達(dá)常數(shù)C，其中Pt為雷達(dá)發(fā)射功率，h為脈沖長(zhǎng)度，G為天線增益，λ為雷達(dá)波長(zhǎng)，θ，φ分別是天線波束水平與垂直寬度，De是與橢球同體積的球體直徑，稱為橢球的等效直徑，N（De）是單位體積內(nèi)雨滴數(shù)隨De的分布函數(shù)。將（8）式代入（9）式，雷達(dá)發(fā)射水平偏振波到空間旋轉(zhuǎn)軸呈無(wú)規(guī)取向時(shí)的小橢球粒子上，接收其回波中垂直分量的雷達(dá)氣象方程為：

Pvh=6415CR2m2+2m2-12∫∞0|g-g′|2N（De）dDe。 （10）

據(jù)（10）式可得此時(shí)的雷達(dá)反射率因子為：

Zvh=6415m2+2m2-12∫∞0|g-g′|2N（De）dDe。 （11）

12雷達(dá)發(fā)射垂直偏振波

121旋轉(zhuǎn)軸在空間鉛直一致取向

據(jù)文獻(xiàn)（張培昌等，2013）有

Ix=I⊥=P2x=0， （12）

Iz=I‖=P2z=|（g-g′）cos2δ+g′|2。（13）

故這時(shí)回波中只有與垂直偏振波平行的分量Iz，而不存在正交偏振分量Ix。

上式表明，在后向散射強(qiáng)度中，只有平行分量Iz=I‖，而無(wú)正交分量I⊥。因此，這時(shí)只能獲得Zvv值，而Zhv值為零。也即此時(shí)，不存在退偏振因子LDR。

122旋轉(zhuǎn)軸在空間作均勻無(wú)規(guī)取向

據(jù)文獻(xiàn)（張培昌等，2013）有

Ix=115|g-g′|2，（14）

Iz=15|g|2+415Re（g*g′）+815|g′|2。 （15）

這時(shí)回波中同時(shí)具有水平偏振分量Ix與垂直偏振分量Iz，注意到（14）式中Ix是在發(fā)射垂直偏振波及粒子旋轉(zhuǎn)軸在空中作無(wú)規(guī)取向時(shí)獲得的，故它就是發(fā)射垂直偏振波時(shí)接收到的水平偏振分量。因此與112中相同的推導(dǎo)后，就能獲得Zhv的表達(dá)式：

Sy=2π3Cλ4R2115|g-g′|2， （16）

σhv=6415π5λ4|g-g′|2， （17）

Phv=6415CR2m2+2m2-12∫∞0|g-g′|2N（De）dDe， （18）

Zhv=6415m2+2m2-12∫∞0|g-g′|2N（De）dDe。 （19）

顯然，σhv=σvh，Phv=Pvh，Zhv=Zvh，其原因是可以理解的。因?yàn)樾E球粒子旋轉(zhuǎn)軸在空間作無(wú)規(guī)取向時(shí)，其后向散射的總體平均效果相當(dāng)于球形粒子群的后向散射。其中單個(gè)雷達(dá)截面，σhv與σvh的值也是在方向余弦取各種取向的平均后求出的，故必然有上述結(jié)果，而且與雷達(dá)天線仰角無(wú)關(guān)。

2LDR的函數(shù)表示式

（1）對(duì)小橢球粒子群旋轉(zhuǎn)軸在空間一致取向時(shí)，水平或垂直極化波入射時(shí)，天線接收到的散射只有共極化波，均沒(méi)有交叉極化出現(xiàn)。故RLD不存在或者RLD=-∞。

（2）對(duì)小橢球粒子群旋轉(zhuǎn)軸在空間作無(wú)規(guī)取向時(shí)，當(dāng)雷達(dá)發(fā)射水平偏振波，根據(jù)文獻(xiàn)（張培昌等，2013），有

Zhh=645m2+2m2-12∫∞0|g|2+43Re（g*g′）+83|g′|2N（De）dDe。 （20）

而Zvh已由（11）式給出。因此，據(jù)定義RLD_vh應(yīng)為

RLD_vh=10logZvhZhh=

10log13∫∞0|g-g′|2N（De）dDe∫∞0|g|2+43Re（g*g′）+83|g′|2N（De）dDe。 （21）

與上類似，當(dāng)發(fā)射垂直偏振波時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)（張培昌等，2013），有Zvv，而Zhv已由（19）式給出。因此，據(jù)定義RLD_hv應(yīng)為

RLD_hv=10logZhvZvv=10logZvhZhh=RLD_vh。（22）

3LDR模擬與分析

選擇Gamma雨滴譜分布來(lái)模擬小橢球粒子群旋轉(zhuǎn)軸取向在空間均勻分布時(shí)，公式（21）及（22）所表示的RLD。Gamma譜分布公式如：N（De）=N0Dμeexp[-（367+μ）De/D0]。式中：N0是滴譜的濃度，D0是滴譜的中值直徑，μ是譜形參數(shù)（楊通曉等，2014）。

取特殊情況下，對(duì)單個(gè)粒子在不同軸比時(shí)RLD如圖2所示，表明本文RLD公式所推導(dǎo)方法的正確（Bringi and Chandrasekar，2001）。

圖2單個(gè)粒子RLD隨橢球雨滴軸比的變化

Fig.2The change of RLD of a single elliptical particle with its axis ratio

圖2中表明單個(gè)粒子線性退偏振比RLD隨軸比的增大而減小，軸比越小橢球形變?cè)絿?yán)重，軸比的增大使非球形減小，使公式（21）中極化系數(shù)的差逐漸減少，從而RLD減少。當(dāng)軸比為1即球形時(shí)，此時(shí)沒(méi)有極化系數(shù)的差異，也沒(méi)有交叉極化的出現(xiàn)即RLD不存在或?yàn)?∞。

對(duì)于一般小橢球雨滴粒子群旋轉(zhuǎn)軸取向空間均勻分布時(shí)，模擬RLD隨著Gamma譜分布參數(shù)的變化情況。圖3表明線性退偏振比RLD隨雨滴譜譜型參數(shù)μ的變化情況，即在相同的中值直徑與相同的雨滴數(shù)濃度的條件下RLD隨譜型參數(shù)的增大而減小，當(dāng)中值直徑增大時(shí)RLD隨譜型參數(shù)μ變化趨于變緩。這是由于同一D0、N0時(shí)，μ增大而粒子群中的大粒子數(shù)目減少，總體上雨滴的形變所引起的非球形對(duì)RLD的貢獻(xiàn)減少所致的。圖4是線性退偏振比RLD隨中值直徑D0的變化情況，由圖可知隨著雨滴或冰粒半徑的增大線性退偏振比趨向穩(wěn)定。但由于冰相粒子的復(fù)折射指數(shù)（m=178+0002 4i）要小于水相粒子的復(fù)折射指數(shù)（m=902+09i），其他條件不變時(shí)，圖4中上面兩條線表示雨滴的RLD要大于下面兩條線計(jì)算得到的冰粒RLD。

利用文獻(xiàn)（陳磊，2011）中Parsivel粒子譜儀實(shí)測(cè)的分雨強(qiáng)雨滴譜計(jì)算得到的RLD，如表1所示，參數(shù)γ為本文中的（367+μ）/D0，可以看出隨著雨強(qiáng)的增大，RLD增大。這也是由于大量大粒子數(shù)目的增多（殷秀良和張培昌，2000），非球形增大的原因。

4結(jié)論

1）粒子群旋轉(zhuǎn)軸一致鉛垂取向時(shí)線性退偏振比RLD為-∞（或不存在）；而旋轉(zhuǎn)軸取向在空間均勻取向時(shí)，垂直極化或水平極化時(shí)的線性退偏振比RLD_hv=RLD_vh是相同的。

2）粒子群的滴譜對(duì)線性退偏振比RLD有較大的影響，總體上RLD隨雨滴的中值直徑增大而增大，隨著譜型參數(shù)μ的增加而減小。

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