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    一種簡便的剛度矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

    2017-05-30 10:48:04古雨杜鵬余忠儒李叔容
    科技尚品 2017年5期

    古雨 杜鵬 余忠儒 李叔容

    摘 要:本文分析了矩陣位移法中基本的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法,發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一定規(guī)律,提出一種更為簡便的剛度矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。并以坐標(biāo)轉(zhuǎn)換90度為例進(jìn)行驗證,證明此方法簡便可行。

    關(guān)鍵詞:矩陣位移法;坐標(biāo)轉(zhuǎn)換;剛度矩陣

    0 引言

    解決結(jié)構(gòu)力學(xué)問題時,常常使用矩陣位移法,運用“電算”的方法計算桿端力、支座反力,最后畫出受力圖。其中,在求總剛矩陣Ke時,必須列出單元剛度矩陣Ke,再將各單元坐標(biāo)系下剛度矩陣進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,疊加后得到整體坐標(biāo)系下的總剛矩陣。

    1 問題提出

    由于單元坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系不同,故需進(jìn)行剛度矩陣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,通過下式進(jìn)行運算:

    Ke=TTKT

    其中:Ke——整體坐標(biāo)系下剛度矩陣;K——單元坐標(biāo)系下剛度矩陣;

    T——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣;TT——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T的轉(zhuǎn)置矩陣。

    上式計算時至少是3個6×6的矩陣相乘,計算量大且容易出錯,并且不同角度的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換沒有統(tǒng)一的計算模板,所以怎樣能夠使剛度矩陣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換變得簡便,成為本文探究的問題。

    2 方法提出與問題求解

    本文以單元坐標(biāo)體系與整體坐標(biāo)體系夾角為90°時為例進(jìn)行研究,有桿件①②、整體坐標(biāo)系XOY與單元坐標(biāo)系X①OY①如圖所示:

    易知Y①=-X,X①=Y,即局部坐標(biāo)系下X和Y所對應(yīng)行和列互換,且Y所對應(yīng)行和列項各取一次負(fù)號,以桿②為例,單元坐標(biāo)系下剛度矩陣如下:

    用整體編碼替換單元編碼,且對第2、5行、第2、5列所對應(yīng)項各取一次負(fù)號,對應(yīng)變化后K②,如下:

    特別說明:局部剛度矩陣變化時,其中K22、K25、K52、K55進(jìn)行兩次取負(fù)號處理,即正負(fù)號與原來保持一致。

    對矩陣編碼進(jìn)行整理,得到整體坐標(biāo)系下②桿的剛度矩陣K②e:

    3 總結(jié)與分析

    與原有基于線性代數(shù)知識推導(dǎo)得出的求解方法相比,此方法計算量明顯減小,不易出錯,且更易理解。但是,本文僅對單元坐標(biāo)體系與整體坐標(biāo)體系夾角為90°時的情況進(jìn)行研究與分析,驗證此方法的可行性;當(dāng)角度變化為其他角度時,此方法的推導(dǎo)思路仍然適用,但推導(dǎo)過程計算量仍然較大,適用性較差。

    參考文獻(xiàn)

    [1]龍馭球,包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1994.

    [2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第五版)[M].高等教育出版社,2007.

    (作者單位:西華大學(xué))

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