李婧文, 陳昌平, 孫家文, 陳榮庚
(1.大連海洋大學(xué), 大連 116023; 2.國家海洋環(huán)境監(jiān)測中心, 大連116023)
基于潰壩模型的SPH方法光滑函數(shù)模擬
李婧文1, 陳昌平1, 孫家文2, 陳榮庚1
(1.大連海洋大學(xué), 大連 116023; 2.國家海洋環(huán)境監(jiān)測中心, 大連116023)
為研究光滑函數(shù)對潰壩數(shù)值模擬結(jié)果的影響,基于光滑粒子流體動力學(xué)(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)法的基本原理,選取三次樣條型和Wendland型兩種光滑函數(shù)對潰壩進行數(shù)值模擬,并以高斯型光滑函數(shù)為基準,從流體壓力云圖、粒子壓強來比較潰壩數(shù)值模擬結(jié)果。研究發(fā)現(xiàn):三次樣條型和Wenland型光滑函數(shù)都能較好地模擬潰壩流體的整個流動過程;三次樣條型光滑函數(shù)計算精度較低,但計算時間較短,Wenland型光滑函數(shù)既可以保證計算精度又可以有效地減少計算時間。為采用SPH方法進行流體動力研究時,光滑函數(shù)的選取提供依據(jù)。
光滑粒子流體動力學(xué)(SPH)法;潰壩;光滑函數(shù);數(shù)值計算
光滑粒子流體動力學(xué)(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)法[1]是一種拉格朗日形式的無網(wǎng)格粒子法,由一系列具有特征值的粒子表示。該方法通過光滑函數(shù)進行支持域內(nèi)相鄰粒子的疊加求和,將計算域內(nèi)的流體用一系列粒子代替,得到SPH 形式的流體動力學(xué)控制方程,從而實現(xiàn)對問題的近似求解。SPH法具有無網(wǎng)格、穩(wěn)定性、高效、自適應(yīng)等特性,已逐漸廣泛應(yīng)用于流體動力學(xué)問題的求解中。
1.1 積分方程
SPH方程分兩個部分:積分表示法(場函數(shù)核近似法)方程和粒子近似法方程。積分表示法對任意函數(shù)和光滑函數(shù)進行逐步積分,通過對最近相鄰粒子的值進行累加求和得到核近似的積分表達式為
(1)
式中:δ(x-x′)為狄拉克δ函數(shù)。
用光滑函數(shù)W(x-x′,h)取代δ函數(shù),則式(1)可表示為
(2)
1.2 數(shù)值模擬方法
以SPH形式將控制方程進行離散[2-3],則粒子的速度表達式為
(3)
流體動量方程粒子近似表達式為
(4)
流體連續(xù)方程粒子近似表達式為
(5)
(6)
式中:ui,uj分別為粒子i,j的速度;ρi,ρj分別為粒子i,j的密度;Pi,Pj分別為粒子i,j的壓力;mj為粒子的質(zhì)量;g為重力加速度;ηε(xij)為光滑函數(shù);c0為聲速;ρ0為自由表面處的密度;fiGi為額外力;nij為粒子i,j之間的標準矢量;cij為有效聲速;uij=ui-uj;xij=xi-xj。
(7)
1.3 邊界條件
圖1 固體邊界的虛粒子
固體邊界條件采用鏡像粒子技術(shù)[3],包括鏡像所有的支撐域相交與固體邊界的液體粒子,每個時間步更新虛粒子的密度、壓力、速度。固體邊界的虛粒子如圖1所示。
(8)
式中:xi是第i個粒子的初始位置;xwi是xi在固體邊界的投影;xGi是第i個虛粒子位置。
虛粒子的速度表達式為
(9)
式中:n為固體邊界的法向量;t為固定邊界的切向量。
固體邊界壓力的表達式為
(10)
在垂直邊界中,ρGi=ρi。
為保證所有液體粒子全部在計算域中,在固體邊界的計算中引入了一個額外力,以避免邊界穿透[4]。額外力的表達式為
(11)
式中:riGi為實粒子和虛粒子的距離;H為潰壩的液體高度;xiGi為實粒子和虛粒子的橫坐標之差,xiGi=xGi-xi。
2.1 高斯型光滑函數(shù)
高斯型光滑函數(shù)[5]是充分光滑的函數(shù),穩(wěn)定且精度很高,對高階導(dǎo)數(shù)也有較強適用性。但高斯型光滑函數(shù)計算量要求大,因為光滑函數(shù)趨于0時要經(jīng)歷相對長的距離,其表達式為
(12)
2.2 三次樣條型光滑函數(shù)
三次樣條型光滑函數(shù)[6]是在SPH領(lǐng)域應(yīng)用較廣泛的光滑函數(shù),它與高斯型光滑函數(shù)類似。三次樣條型光滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是一個分段線性函數(shù),穩(wěn)定性劣于高斯函數(shù),其表達式為
(13)
2.3 Wendland型光滑函數(shù)
Wendland型光滑函數(shù)[7]在粒子間距變小的時候,導(dǎo)數(shù)增加;在粒子間距變大的時,導(dǎo)數(shù)減少。因此,Wendland型光滑函數(shù)經(jīng)常用來解決可壓縮流體的不穩(wěn)定問題,其表達式為
(14)
3.1 參數(shù)設(shè)置
潰壩流動是一種自由表面流動,包含流體自由流動、流體與壁面撞擊產(chǎn)生水花,進而反射形成波浪的物理過程。為使計算結(jié)果具有可比性,計算參數(shù)的設(shè)置均與CHERFILS等[8]采用高斯型光滑函數(shù)模擬潰壩時一致。計算參數(shù)見表1。
表1 計算參數(shù)表
圖2 潰壩初始模型
粒子數(shù)布置:橫向布置100個粒子,縱向布置50個粒子,總共5 000個粒子。固體邊界的自由滑移通過鏡像粒子技術(shù)實現(xiàn),軸對稱虛粒子具有與相對應(yīng)實粒子相同的密度和壓力,但速度方向相反。在數(shù)值計算中,采用較小的時間步長來防止流體粒子穿越邊界。潰壩初始模型布置如圖2所示。
計算域內(nèi)左側(cè)為高度0.6 m,長度1.2 m的流體,并在流體右側(cè)邊緣放置一面墻體來阻止液體的流動,潰壩模型運行開始的一瞬間,抽掉墻體,流體自由下落,在重力作用下向右流動,流體流動到右側(cè)直壁,造成反射,形成反向水舌,接著因重力原因下落到自由水面,與原有流體匯合到一起,形成涌浪,向左反射,最終形成趨于穩(wěn)定的波浪。
3.2 結(jié)果比較
3.2.1 計算時間
通過模擬可知,潰壩從自由流動到形成反射并逐漸趨于穩(wěn)定的時間約為20 s,因此設(shè)定數(shù)值計算時間為20 s,迭代次數(shù)共100 000步,時間步為0.000 2 s。3種光滑函數(shù)的計算時間比較見表2。
表2 3種光滑函數(shù)的計算時間比較
由表2可知:高斯型光滑函數(shù)的計算時間最長,三次樣條光滑函數(shù)和Wendland型光滑函數(shù)的計算時間較為接近。這是由于高斯型光滑函數(shù)在理論上是不可能為0的,要使光滑函數(shù)趨向于0要經(jīng)歷相對長的距離,特別是高階導(dǎo)數(shù),這樣就會產(chǎn)生一個很大的支持區(qū)域,導(dǎo)致計算時間較長。
3.2.2 壓力云圖
根據(jù)計算結(jié)果,選取粒子分布較為紊亂、壓力值變化梯度較大的時刻進行比較,圖3和圖4為t=1.6s和t=2.2s時刻的流體壓力云圖。
圖3 t=1.6 s流體壓力云圖
圖4 t=2.2 s流體壓力云圖
由圖3和圖4可知:
(1) 流體在t=1.6s時由于受到右側(cè)直壁的阻礙作用,反射成水舌,并下降到自由液面處形成第二個水舌。本文選用的兩種光滑函數(shù)模擬的壓力云圖與高斯型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果大致相同,能清晰地模擬流體反射為水舌的過程。在該時刻,三次樣條型光滑函數(shù)和Wendland型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果為:在右側(cè)直壁處有粒子沿著直壁爬高,在流體下落形成第二個水舌處有粒子飛濺出去,同時形成了一個無流體粒子存在的透空圈,與高斯型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果一致。
(2) 流體在t=2.2s時由于反射作用形成一個較大的涌浪,接著發(fā)生波浪破碎,繼續(xù)向左形成波浪,本文選用的兩種光滑函數(shù)都能清晰地模擬流體形成涌浪這一過程。在該時刻,三次樣條型光滑函數(shù)和Wendland型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果在x=1.5m處形成一個較大的涌浪,粒子飛濺出去,降落在自由液面處形成凹陷,與高斯型光滑函數(shù)型模擬結(jié)果一致,并且Wendland型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果更能顯示出潰壩反射時由于壓力梯度變化較大而形成的透空圈。
(3) 本文選用的兩種光滑函數(shù)都可以完整地模擬潰壩流體的整個過程,并與高斯型光滑函數(shù)的計算結(jié)果擬合良好。選取高斯型光滑函數(shù)模擬潰壩流動時,粒子排布較為緊密,粒子充分光滑;三次樣條型光滑函數(shù)的粒子排布較為紊亂,由于其二階導(dǎo)數(shù)是分段線性函數(shù),所以穩(wěn)定性劣于高斯型光滑函數(shù);Wendland型光滑函數(shù)的粒子排布比三次樣條函數(shù)更緊密和光滑。
圖5 跟蹤粒子初始位置示意圖
3.2.3 粒子壓強過程曲線
選取9個粒子進行壓強值的跟蹤:在流體底部的左、中、右3側(cè)取3個點,命名為1號、2號和3號粒子;在流體中部的左、中、右3側(cè)取3個點,命名為4號、5號和6號粒子;在流體頂部的左、中、右3側(cè)取3個點,命名為7號、8號和9號粒子。流體從0s開始自由下落,遇到直壁形成反射,在t=2.2s時形成涌浪,因此設(shè)定跟蹤時間為0~2.2s,每0.2s取一次測點值。粒子的初始分布位置如圖5所示。
9個粒子壓強隨時間的變化曲線以及與文獻8中高斯型光滑函數(shù)求得結(jié)果的比較如圖6所示。
圖6 3種光滑函數(shù)粒子壓強隨時間變化圖
由圖6可知:在追蹤時間0~2.2s內(nèi),流體在重力作用下向右側(cè)滑落,位于流體左側(cè)1號粒子的壓強逐漸降低,4號和7號粒子壓強波動并逐漸升高;在追蹤時間0~2.2s內(nèi),位于流體中側(cè)2號和5號粒子的壓強先隨著流體向右側(cè)滑落逐漸降低,在反射波作用下壓強逐漸升高,當(dāng)反射波越過流體中部時8號粒子的壓強升高;隨著潰壩流體的自由下落和反射,位于流體右側(cè)3號、6號和9號粒子的壓強波動明顯。因此,采用三次樣條型和Wenland型光滑函數(shù)計算得到的跟蹤粒子壓強過程線均與高斯型光滑函數(shù)的粒子壓強變化趨勢近似。
各個粒子三次樣條型光滑函數(shù)和Wenland型光滑函數(shù)的計算結(jié)果與高斯型光滑函數(shù)粒子壓強的計算誤差見表3。
表3 與高斯型光滑函數(shù)粒子壓強的計算結(jié)果誤差表 %
續(xù)表3 與高斯型光滑函數(shù)粒子壓強的計算結(jié)果誤差表 %
由表3可知:三次樣條型光滑函數(shù)與Wenland型光滑函數(shù)計算結(jié)果誤差平均值分別為8.64%和5.31%。采用這2種光滑函數(shù)計算,粒子壓強,可靠度較高。
基于SPH方法,采用三次樣條型與Wendland型2種不同的光滑函數(shù)模擬潰壩流動,得到以下結(jié)論:
(1) 本文選取的2種光滑函數(shù)都可以較好地模擬潰壩流體與壁面相互作用產(chǎn)生的水花飛濺、融合、反彈形成波浪的過程,其流體壓力云圖、粒子壓強過程線均與高斯型光滑函數(shù)的計算結(jié)果一致。
(2) 三次樣條型光滑函數(shù)的計算結(jié)果與高斯型光滑函數(shù)相比,精度略有降低,在水流沖擊壁面的過程中明顯可看到粒子分布散亂,但由于函數(shù)具有相對小量的緊支域,計算時間較短。
(3) Wendland型光滑函數(shù)在保證計算精度的同時又可以減少計算時間量,提高了運算效率。
[1] LIU G R,LIU M B.光滑粒子流體動力學(xué)——一種無網(wǎng)格粒子法[M].長沙:湖南大學(xué)出版社,2005.
[2] COLAGROSSI A, LANDRINI M. Numerical Simulation of Interfacial Flows by Smoothed Particle Hydrodynamics[J]. Journal of Computational Physics. 2003 (191) :448-475.
[3] FERRARI A, DUMBSER M, TORO E F, et al. A New 3d Parallel SPH Scheme for Free Surface Flows[J]. Computers & Fluids, 2009 (38) :1203-1217.
[4] MONAGHAN J J. Simulating Free Surface Flows with SPH[J]. Journal of Computational Physics, 1994(10):399-406.
[5] GINGLOD R A, MONAGHAN J J. Smoothed Particle Hydrodynamics:Theory and Application to Non-spherical Stars[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1977 (181): 375-398.
[6] MONAGHAN J J, LATTANZIO J C. A Refined Particle Method for Astrophysical Problems[J]. Astronomy and Astrophysics, 1985 (149):135-143.
[7] JOHNSON G R, STRYK R A, BEISSEL S R. SPH for High Velocity Impact Computations[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 1996 (139):347-373.
[8] CHERFILS J M, JOSEPHINE. A Parallel SPH Code for Free-Surface Flows[J].Computer Physics Communications, 2012 (183):1468-1480.
Smoothing Function Simulation of SPH Method Based on Dam-Break Model
LI Jingwen1, CHEN Changping1, SUN Jiawen2, CHEN Ronggeng1
(1.Dalian Ocean University,Dalian 116023,China;2. State Oceanic Administration, Dalian 116023,China)
In order to study the effect of smoothing function on the numerical simulation of dam break,based on the basic principle of Smoothed Particle Hydrodynamics(SPH), the dam-break is simulated by cubic spline smoothing function and Wendland smoothing function .By comparing the results of fluid pressure cloud and particle pressure with the bench of Gaussian smoothing function it can be conclused that cubic spline smoothing function and Wendland smoothing function can simulate the dam-break quite well.The calculation accuracy of cubic spline smoothing function is lower, but the calculation time is shorter. The Wendland smoothing function can both ensure the calculation accuracy and reduce the calculation time effectively. It provides a reference for the selection of smoothing function when hydrodynamic research is carried out by SPH method.
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method; dam-break; smoothing function; numerical simulation
2017-01-05
李婧文(1992-),女,碩士研究生
1001-4500(2017)02-0034-07
O352
A