帶彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器*

楊斌強,徐文潭,王學保,李秀玲,王光慶

(浙江工商大學信息與電子工程學院,杭州 310018)

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帶彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器*

楊斌強,徐文潭,王學保,李秀玲,王光慶*

(浙江工商大學信息與電子工程學院,杭州 310018)

針對帶彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器,利用Hamilton原理和 Raleigh-Ritz方法建立了壓電振動能量采集器的機電耦合分布參數(shù)模型。重點分析了激勵頻率Ω≥1時系統(tǒng)質量比、剛度比、磁鐵對間距等參數(shù)對系統(tǒng)輸出性能的影響。研制了壓電振動能量采集器原理樣機,搭建了實驗測試平臺,實驗測試了壓電振動能量采集器的輸出性能。研究結果表明帶彈性放大器的壓電振動能量采集器是一個非線性雙自由度系統(tǒng),具有兩個雙穩(wěn)態(tài)運動區(qū)域;在激勵頻率Ω≥1時壓電振動能量采集器需要較大的激勵能量才能進入大幅值周期振動狀態(tài)。

雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器;彈性放大器;分布參數(shù)模型;仿真與實驗

振動能量采集器是一種能將環(huán)境中的振動能轉化為電能的機電轉換器件,在微能源和自供電系統(tǒng)中有廣泛的應用前景。譬如,它可以解決無線傳感網(wǎng)絡和MEMS器件中使用電池供電的諸多弊端,如生命周期短,環(huán)境污染等。壓電振動能量采集器PEH(Piezoelectric Energy Harvester,)結構簡單,制造容易,能量轉換密度高,成為研究熱點[1]。然而傳統(tǒng)的壓電能量采集器一般被設計成線性系統(tǒng),工作頻帶窄,諧振頻率難以和環(huán)境振動頻率完全匹配,致使能量采集與轉換效率大大降低[4]。

為了克服線性壓電振動能量采集器的缺陷,在寬頻帶內產(chǎn)生足夠能量,雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器BPEH(Bistable Piezoelectric Energy Harvester,)[5]被提出。大部分現(xiàn)有的雙穩(wěn)態(tài)能量采集器都是通過兩塊永磁體之間的排斥力來實現(xiàn),基本結構如圖1(a)所示。雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)具有獨特的雙陷回復力勢能特性,即勢能函數(shù)具有兩個勢阱和一個勢壘,當外界振動能量小于勢壘值時,系統(tǒng)將在其中一個勢阱附近振動;當外界振動能量大于勢壘值時,系統(tǒng)將跨越勢壘,在兩個勢阱之間作大幅值的周期振動,這時系統(tǒng)的輸出響應得到顯著提升[8]。例如,Lihua Tang[11]等設計了一種自由端磁鐵塊帶有磁力振蕩器的雙穩(wěn)態(tài)能量采集器,實驗表明改進的雙穩(wěn)態(tài)能量采集器工作頻帶擴寬了近一倍,輸出性能也提高了41%。高毓璣[12]等提出外部磁鐵彈性支撐的結構,實驗指出,對于強度變化的隨機激勵,彈性支撐非線性能量采集系統(tǒng)不需要實時調整磁鐵間距,就能實現(xiàn)高效的機電能量轉換。Pilkee Kim[13]等提出了一種三穩(wěn)態(tài)能量采集器,具有更淺和寬的勢能阱,能在低能激勵下有效采集能量。Noha[14]等在雙穩(wěn)態(tài)采集器基礎上通過微控制器監(jiān)測振源頻率,通過步進電機用控制算法來查表優(yōu)化調整原固定端的磁鐵位置,從而自動調整系統(tǒng)諧振頻率來提高輸出性能。然而,雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器嚴重依賴外部振動源激勵幅值的特點,并不能使它的輸出性能得到極大地提高。通常,環(huán)境中的振動往往是比較微弱的,輸入到雙穩(wěn)態(tài)能量采集器的激振能量無法使它跨越勢壘的阻礙作用,只能在某個勢能阱內做小幅值的低能軌道振動,此時,雙穩(wěn)態(tài)能量采集器與線性采集器的輸出特性相似。

為克服此現(xiàn)象,文獻[15]利用磁場增強與彈性放大技術構建了一種帶彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器(BPEH+EM),考慮采集器一階諧振特性,建立了能量采集器的集總參數(shù)模型,分析了頻率范圍Ω<1時系統(tǒng)參數(shù)對能量采集器輸出特性的影響,研究表明通過彈性放大器對基礎激勵的放大作用,可以使雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器在低幅值激勵條件下輕松作大幅值周期振動,達到改善其輸出性能的目的。但集總參數(shù)模型忽略了壓電懸臂梁的分布參數(shù)和動態(tài)振型對輸出性能的影響,且文獻主要研究了采集器在頻率范圍Ω<1時的輸出特性,而Ω≥1時的情況未有考慮。本文考慮振型和分布參數(shù)的影響,在文獻[15]的基礎上利用Hamilton原理建立了機電耦合分布參數(shù)模型,重點研究了采集器在頻率范圍Ω≥1時,系統(tǒng)質量比、剛度比、磁鐵對間距等參數(shù)對系統(tǒng)輸出性能的影響,實驗驗證了理論分析結果的正確性。

1 系統(tǒng)結構

圖1(b)是BPEH+EM的結構原理示意圖,它由雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁振動能量采集器和一個彈性放大器組成,彈性放大器置于雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器與基座之間,且它們之間為理想粘結。一對永磁鐵分別相對固定于懸臂梁末端和支架上,兩個永磁體磁場相反,相互產(chǎn)生排斥力。圖1(b)所示BPEH+EM結構可以簡化成圖2所示的物理模型,兩壓電陶瓷(PZT1和PZT2)分別對稱粘結在金屬基板的上下表面,且在z軸方向的極化方向相反。RL為輸出負載電阻。Mb、Kb、Cb是分別是彈性放大器的質量、彈簧剛度和阻尼系數(shù)。L是懸臂梁的長度,b是懸臂梁寬度。hp和hs分別為PZT厚度和基板厚度。兩永磁體磁鐵塊的間距為d,且兩者質量都為Mt。

假定壓電片與金屬基板是完好粘結的,且壓電懸臂梁為Euler-Bernoulli梁。則此模型中金屬基板滿足本構關系

σs=csεs

(1)

壓電片PZT滿足本構關系

(2)

圖1 BPEH與BPEH+EM結構原理示意圖

圖2 簡化的BPEH+EM物理模型

2 機電耦合分布參數(shù)模型

根據(jù)Hamilton原理,該模型的運動方程為

(3)

式中:t為時間;T為系統(tǒng)動能;U為系統(tǒng)勢能;We為電勢能;W為外力做功。

2.1 系統(tǒng)動能T

系統(tǒng)動能T由彈性放大器動能Tb、金屬基板動能Tks和壓電片動能Tkp以及懸臂梁末端磁鐵塊動能Tt組成。根據(jù)Raleigh-Ritz方法,壓電梁的相對橫向彎曲位移可以寫成[16]:

(4)

式中:φri(x)為懸臂梁彎曲振型函數(shù);ri(t)為與時間相關的i階坐標;nr為振型個數(shù)。

假定懸臂梁振動只表現(xiàn)為一階振型,且一階振型函數(shù)為

φ(x)=C[cosγx-coshγx+σ(sinγx-sinhγx)]

(5)

式中:It為懸臂梁末端磁鐵塊繞其質心的轉動慣量。

假設ZM(t)為彈性放大器輸出位移,則壓電梁位移為y(x,t)=w(x,t)+ZM(t)。因此,系統(tǒng)動能可表示為:

(6)

2.2 電勢能We

根據(jù)Raleigh-Ritz方法,壓電懸臂梁的電勢為

(7)

式中:ψVj(x)為第j對電極沿z向的電勢分布函數(shù);vj(t)為與時間相關的第j對電極電壓。

(8)

式中:z是沿壓電梁厚度方向坐標。

兩個壓電片的兩端電勢差分別為

(9)

式中:V1為PZT1輸出電壓;V2為PZT2輸出電壓,且V1=V2。

(10)

壓電梁軸向應變?yōu)?/p>

S(x,t)=-zφ″(r)r(t)

電勢能為

(11)

2.3 外力做功δW

外力做功為

(12)

2.4 系統(tǒng)勢能U

系統(tǒng)勢能U由彈性放大器勢能UZM和金屬基板勢能Us和壓電片勢能Up還有非線性勢能Um組成。

非線性勢能Um可以根據(jù)磁力模型得到,磁力模型具體見參考文獻[17],根據(jù)懸臂梁末端擾度為w(L,t),可得到

(14)

將w(L,t)=φ(L)r(t)代入上式,可以得出磁力

Fm=k1r-k3r3式中:k1= [12φ2(L)+2d2φ′2(L)+6dφ(L)φ′(L)]k/d5

k3=[45φ4(L)+3d4φ′4(L)+12d2φ2(L)φ′2(L)+

6d3φ(L)φ′3(L)+30dφ5(L)φ′(L)]k/d7

將式(6)、式(11)～式(13)代入到Hamilton運動方程中,加入機械阻尼,由 Lagrange方程可得出其非線性運動微分方程為

(15)

(16)

將式(16)轉換成狀態(tài)空間方程形式得:

(17)

3 系統(tǒng)解分析

3.1 頻域解析

利用諧波平衡法對式(16)進行頻域求解,忽略高次諧波信號,可以得到一個關于振動幅值A的六階非線性多項式:

(18)

a0、a1和a2為采集器振動位移表達式R(τ)=a0(τ)+a1(τ)cosΩτ+a2(τ)sinΩτ的系數(shù)。解式(18)可得到3個關于振動幅值A的解,其中只有最大和最小的2個解是穩(wěn)定的、且可實現(xiàn)的,這也意味著整個能量采集器系統(tǒng)在給定的激勵頻率和幅值下具有2個穩(wěn)定的諧振運動。

圖3 系統(tǒng)幅值響應隨激振頻率的變化

取仿真參數(shù)u=0.04,θ=1.095 1,k2=0.411,s=1.135 1,激勵幅值F0=0.05,系統(tǒng)初始運動條件x1(0)=0.367 5,x2(0)=x3(0)=x4(0)=x5(0)=0。不同rm、rk下,懸臂梁末端位移隨激勵頻率的變化情況如圖3所示?？梢?BPEH+EM是一個兩自由度非線性系統(tǒng),幅頻響應曲線存在2個諧振峰值,在磁鐵對非線性排斥力的作用下,這2個峰值均向右傾斜。隨著rm、rk的增大,系統(tǒng)幅值也增大,且兩個峰值間的頻率間距縮小形成一個寬頻窗口。另外,采集器存在兩個區(qū)域可以使得系統(tǒng)做大幅值的高能軌道振動,一是激勵頻率在0.5<Ω≤1區(qū)域,二是激勵頻率在1<Ω≤1.2區(qū)域。

3.2 時域解析

根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程式(17)在MATLAB軟件中利用4階、5階龍格庫塔算法ODE45進行數(shù)值求解,得到系統(tǒng)在不同初始條件和不同參數(shù)下的時域解,如末端振動位移,輸出電壓和相圖等。

圖4 F=0.01時系統(tǒng)的無量綱電壓和相圖

文獻[15]研究了激勵頻率0.5<Ω≤1區(qū)域時,系統(tǒng)質量比、剛度比等對能量采集器輸出特性的影響。在激勵頻率Ω=0.8時,當質量比和剛度比rm=rk=1時,由于彈性放大器的放大作用較小,系統(tǒng)末端繞平衡位置做小幅值的周期振動,因此系統(tǒng)振動位移,振動速度和輸出電壓均比較小。當質量比和剛度比rm=rk=3時,懸臂梁末端開始在2個勢能陷之間作混沌運動,并產(chǎn)生混沌的電壓響應。當繼續(xù)增大rm=rk=[6,10]時,系統(tǒng)出現(xiàn)進入瞬時的混沌運動后,進入大幅值周期的高能軌道運動,此時系統(tǒng)振動位移,振動速度和輸出電壓大幅增加。當rm=rk=16時系統(tǒng)完全進入大幅值周期的高能軌道,輸出性能大幅提升。本文重點研究激勵頻率1<Ω≤1.2時系統(tǒng)質量比、剛度比等對采集器輸出特性的影響,取激勵頻率Ω=1.1,仿真參數(shù)u=0.04,θ=1.095 1,k2=0.411,s=1.135 1,系統(tǒng)初始運動條件x1(0)=0.367 5,x2(0)=x3(0)=x4(0)=x5(0)=0。為了節(jié)省篇幅,這里只研究rm=rk=16時不同激勵幅值條件下壓電能量采集器的振動特性和采集輸出電壓,如圖4～圖6所示。

當激勵幅值F=0.01時,壓電能量采集器繞著靜平衡位置x1=-0.367 5作小幅值的倍周期振動,如圖4所示,此時采集器末端振動位移、振動速度和采集輸出電壓都很小;當激勵幅值增大到F=0.5時,壓電能量采集器作大幅值的混沌運動,產(chǎn)生混沌的振動位移、振動速度和采集輸出電壓,如圖5所示;繼續(xù)增大激勵幅值到F=0.9,此時,壓電能量采集器開始做大幅值的雙穩(wěn)態(tài)周期振動,進入高能軌道運動狀態(tài),產(chǎn)生大幅值周期電壓、振動位移和速度,如圖6所示。

圖5 F=0.5時系統(tǒng)的無量綱電壓和相圖

圖6 F=0.9時系統(tǒng)的無量綱電壓和相圖

與激勵頻率Ω=0.8時的輸出特性相比較,在相同的質量比和剛度比條件下,激勵頻率Ω=1.1時壓電能量采集器作大幅值的雙穩(wěn)態(tài)周期振動所需的激勵幅值大大增加。這主要是由于外部磁力作用在壓電能量采集器末端,使得壓電能量采集器的諧振頻率Ωn降低至Ω0,激勵頻率Ω=0.8比較接近Ω0,在較小的外部激勵作用下,更容易產(chǎn)生諧振進入大幅值振動狀態(tài),而激勵頻率Ω=1.1則遠離Ω0,因此,需要較大的外部激勵才能使其進入大幅值振動狀態(tài)。

3.3 質量比、剛度比對位移幅值的影響

圖7為系統(tǒng)末端振動位移幅值隨質量比、剛度比的變化情況,由圖7可知,質量比、剛度比rm、rk較小時,采集器懸臂梁末端繞著中心平衡位置做小幅值周期運動,末端位移幅值只有1個穩(wěn)態(tài)解。當質量比、剛度比rm、rk逐漸增大到2.5時,末端位移曲線開始出現(xiàn)分叉現(xiàn)象,表明系統(tǒng)末端開始做混沌運動以及大幅值周期運動,這時采集器懸臂梁末端位移出現(xiàn)3個解,這與時域分析中結果是一致的?？梢?增大rm、rk有利于系統(tǒng)作大幅值周期運動,提高系統(tǒng)能量采集輸出性能。

圖7 系統(tǒng)幅值響應隨rm、rk的變化

3.4 磁鐵對間距對位移幅值的影響

保持其他參數(shù)不變,當rm、rk確定時,分析磁鐵對間距dr(定義dr=d/L)對末端振動位移的影響,結果如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)幅值響應隨磁鐵對間距dr的變化

由圖8可以看出,當磁鐵對間距相對較小時,因為無法逃脫非線性勢能的勢壘,采集器懸臂梁統(tǒng)末端繞中心平衡位置做小幅值周期運動。當磁鐵對間距增大到適當距離,圖中曲線開始出現(xiàn)分叉,表明系統(tǒng)開始做雙穩(wěn)態(tài)大幅值周期運動。當磁鐵對間距越來越大直至無窮遠,此時,磁鐵對的非線性勢能對采集器懸臂梁的作用消失,系統(tǒng)只受到彈性放大器的線性放大作用,質量比與剛度比越大,系統(tǒng)末端振動位移幅值也越大。在rm=rk=1時,系統(tǒng)末端只在間距dr=[0.28,0.31]之間做大幅值周期運動;而rm=rk=16時,系統(tǒng)末端在間距dr=[0.30,0.39]之間做大幅值周期運動?？梢?增大質量比和剛度比,系統(tǒng)作大幅值周期運動的磁鐵間距范圍也增大了,這說明能量采集器更容易地進入高能軌道振動狀態(tài),且具有更大的位移幅值。

3.5 分叉分析

圖9是能量采集器靜態(tài)分岔行為分析結果,當磁鐵對間距d大于分叉點間距(d0=18 mm)時,磁鐵對的非線性勢能對采集器的作用較小,能量采集器變?yōu)橐粋€單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),只存在一個穩(wěn)定解;當d減小18 mm時,系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定,開始分岔,出現(xiàn)兩個穩(wěn)定的非平凡解和一個不穩(wěn)定的解,且兩個穩(wěn)定解的距離隨d的減小先增大后減小,由此可知,從單穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)變成雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)需要經(jīng)過一個叉形分叉。

圖9 分叉分析

4 實驗與結果分析

圖10是BPEH+EM能量采集器樣機和實驗測試裝置。實驗中,BPEH+EM能量采集器樣機通過高強度膠粘結固定在激振器的安裝臺面上,信號發(fā)生器(Agilent 33120A)產(chǎn)生的正弦信號經(jīng)功率放大器(B&K 2706)放大后,驅動激振器(B&K 4810)模擬基礎做簡諧振動,基礎加速度由加速度計(B&K 4513-001)測量得到,采集器懸臂梁末端振動位移由激光測振傳感器(PolyTec CFV303)測量得到,采集輸出電壓由雙通道示波器測量顯示。首先測得壓電懸臂梁的諧振頻率為20 Hz,加上磁鐵對后壓電懸臂梁的諧振頻率為16.2 Hz。為了與理論分析一致,實驗過程中取激勵頻率為22 Hz(Ω=1.1)。

圖10 實驗測試系統(tǒng)與BEPH+EM樣機

文獻[15]實驗驗證了激勵頻率為16 Hz(Ω=0.8)時,彈性放大器的引入,可以提高能量采集器的輸入能量,克服勢能阱的勢壘,使得雙穩(wěn)態(tài)能量采集器在較小的基礎加速度下也能順利進入雙穩(wěn)態(tài)震蕩狀態(tài),實現(xiàn)大幅值周期運動,且具有更寬的大幅值周期振動頻帶,如圖11所示。

圖11 BPEH+EM與BPEH掃頻實驗對比結果

本文重點測試了激勵頻率22 Hz(Ω=1.1)時,采集器在不同激勵加速度作用下的輸出電壓、末端振動位移和速度的變化情況,如圖12所示。由圖12可以看出,當激勵加速度小于30 m/s2時,能量采集器繞著中心平衡位置作小幅值周期振動,此時采集輸出電壓、振動位移和振動速度都比較小;逐漸增大激加速度到53.5 m/s2,壓電能量采集器在經(jīng)歷混沌振動后,進入大幅值周期振動狀態(tài),作高能軌道的雙穩(wěn)態(tài)振動,此時系統(tǒng)的采集輸出電壓、振動位移和振動速度都大大提高,這一實驗現(xiàn)象與理論分析結果是一致的。與文獻[15]研究結果相比可以發(fā)現(xiàn),激勵頻率22 Hz時采集器作大幅值周期運動所需的激勵加速度大幅提高,這是由于此時的激勵頻率遠離采集器的諧振頻率16.2 Hz(考慮磁鐵排斥力時)。

圖12 激勵頻率22 Hz時能量采集的輸出性能實驗結果

5 結論

利用Hamilton原理和Raleigh-Ritz方法建立了帶有彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器分布參數(shù)機電耦合模型,通過仿真與實驗研究,得到以下主要結論:①帶用彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器是一個非線性雙自由度系統(tǒng),存在兩個雙穩(wěn)態(tài)運動區(qū)域,一是激勵頻率0.5<Ω≤1,此區(qū)域壓電能量采集只需較小的外部激勵加速度作用就可以作大幅值的雙穩(wěn)態(tài)運動;二是激勵頻率1<Ω≤1.2,此區(qū)域壓電能量采集器需要較大的外部激勵加速度才能作大幅值的雙穩(wěn)態(tài)運行。②增加BPEH+EM的質量比和剛度比,可以使能量采集器更容易地進入大幅值周期振動狀態(tài),且具有更大的位移幅值和更寬的工作頻帶。

致謝

本文在實驗研究方面得到了香港中文大學智能材料與結構實驗室廖維新教授團隊的大力支持與幫助,在此表示衷心感謝。

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A Bistable Piezoelectric Vibration Energy Harvester with an Elastic Magnifier*

YANG Binqiang,XU Wentang,WANG Xuebao,LI Xiuling,WANG Guangqing*

(School of Information and Electronic Zhejiang Gongshang University,Hangzhou 310018,China)

Focusing on the BPEH(Bistable Piezoelectric vibration Energy Harvester)with an EM(Elastic Magnifier),the coupling electromechanical distributed parameter model was established with Hamilton principle and Raleigh-Ritz method. The effects of the mass ratio,stiffness ratio,and the distance of magnets on the output performance were extensively analyzed when the exciting frequency isΩ≥1. The prototype of the new BPEH and the experiment setup were developed,some experiments were carried out to exhibit the output performance. The results show that the new BPEH is a two-degree-of-freedom nonlinear system,which has two bistable motion regions. In the region ofΩ≥1,it will oscillate in a large-amplitude high-energy orbit motion excited by large acceleration amplitude.

bistable piezoelectric vibration energy harvester;elastic magnifier;distributed parameter electromechanical model;simulation and experiments

楊斌強(1993-),男,碩士研究生,主要從事壓電振動能量采集方面的研究工作,276203299@qq.com;

王光慶(1975-),男,博士,教授,主要從事傳感檢測與信號處理、壓電超聲驅動器、壓電振動能量采集器的理論與應用研究,kele76@163.com。

項目來源:國家自然科學基金項目(51277165);浙江省自然科學基金項目(LY15F010001)

2016-10-19 修改日期:2017-02-09

TH825

A

1004-1699(2017)05-0684-08

C:7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.05.009