淺談分段函數(shù)的計算

岳紅英

華北電力大學(xué)科技學(xué)院 河北保定 071051

在高等數(shù)學(xué)里有一類常見的函數(shù)，它的計算往往和一般的初等函數(shù)不同，稍有不慎就會出錯，這就是分段函數(shù)。本文通過比較兩種不同的求解方法對一元和二元分段函數(shù)在分段點(diǎn)出的求導(dǎo)問題進(jìn)行了研究。

一、一元分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算

對于一般的初等函數(shù)求時往往用求導(dǎo)公式先求出導(dǎo)函數(shù)，則當(dāng)然定義也是可行的，只是定義用起來通常比較麻煩。而分段函數(shù)因?yàn)樵诜謹(jǐn)帱c(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式往往不同，所以其在分段點(diǎn)出有可能是不連續(xù)的，此時分段函數(shù)在分段點(diǎn)出一定不可導(dǎo)。即使分段函數(shù)在分段點(diǎn)出是連續(xù)的，但也不一定就可導(dǎo)，一般需用導(dǎo)數(shù)的定義或可導(dǎo)的充要條件即左右導(dǎo)數(shù)是否相等來判別其可導(dǎo)性。若直接用求出導(dǎo)函數(shù)代值（或求極限）的方法則有時會出錯，本文通過以下實(shí)例對這兩種方法進(jìn)行了比較和研究，并給出了相應(yīng)的結(jié)論。在分段點(diǎn)以外的開區(qū)間則常用初等函數(shù)的求導(dǎo)方法求出其導(dǎo)數(shù)。

例1討論在和處的可導(dǎo)性，并求。

解法一

顯然，所以在處可導(dǎo)且。

綜上所述，即

分析 解法一根據(jù)可導(dǎo)的充要條件即左右導(dǎo)數(shù)是否相等判斷分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性是正確的。解法二用導(dǎo)函數(shù)極限法求分段點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)求對了，而′1卻判斷錯了，原因是在處是連續(xù)的，再求得分段點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的極限相等，所以判斷f x在x=0處是可導(dǎo)的。而在處不連續(xù)所以一定是不可導(dǎo)的，雖然和存在且相等，但導(dǎo)數(shù)f′1卻不存在。所以使用導(dǎo)函數(shù)極限法求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時前提一定要先判斷該點(diǎn)的連續(xù)性。

例2討論函數(shù)在x=0處的可導(dǎo)性。

解法一 因?yàn)閒 x在兩側(cè)表達(dá)式相同，所以不用分別求左右導(dǎo)數(shù)，直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義討論其在x=0處的可導(dǎo)性即可。

不存在，所以f x在x=0處不可導(dǎo)。

分析 解法二是錯誤的不存在，不能說明就不存在，這時只能用解法一也就是定義來判斷分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性。

通過以上兩個例子的討論可知，存在，右導(dǎo)數(shù)不一定存在，同樣不存在，也不能說明就不存在。

二、多元分段函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算

對一元函數(shù)來說，可導(dǎo)一定連續(xù)，不連續(xù)一定不可導(dǎo)，但在二元函數(shù)中這一關(guān)系不再成立，函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)存在之間沒有必然的聯(lián)系，多元分段函數(shù)是一元分段函數(shù)的推廣，多元分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)的基本求法是定義，一般不用求出偏導(dǎo)函數(shù)再代值或求極限的方法。

解法二 當(dāng)時，

且不存在，所以不存在，同理不存在。

分析 解法二是錯誤的，和一元分段函數(shù)類似，多元分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)函數(shù)的極限不存在不能說明分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)值不存在，此時要用偏導(dǎo)數(shù)的定義來求。

三、結(jié)束語

通過上面幾個例子的討論，我們可總結(jié)出以下分段函數(shù)分段點(diǎn)處的求導(dǎo)方法：

（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義或可導(dǎo)的充要條件求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是一種常用且不易

出錯的方法，尤其對初學(xué)者是首選的好辦法。當(dāng)分段函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式相同時就用導(dǎo)數(shù)的定義求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。當(dāng)分段函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同或者表達(dá)式雖然相同但含有一些比較特殊的左右極限不同的函數(shù)如等函數(shù)時則需用可導(dǎo)的充要條件即左右導(dǎo)數(shù)是否相等來判別其可導(dǎo)性。

（2）用導(dǎo)函數(shù)極限法求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時一定注意條件是否滿足，只有當(dāng)在上連續(xù)，在上 可 導(dǎo)，且（或）時，。且該條件乃是充分非必要的，若條件不滿足則只能利用導(dǎo)數(shù)的定義或可導(dǎo)的充要條件來判斷。

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