令人著迷的梅森素?cái)?shù)

邵紅能

2016年1月7日，美國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)扃臧l(fā)現(xiàn)第49個(gè)梅森素?cái)?shù)274207281-1，即2的74207281次方減1。這個(gè)超大素?cái)?shù)有22338618位，是目前已知的最大素?cái)?shù)。如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來(lái)，它的長(zhǎng)度可超過(guò)65千米！

梅森素?cái)?shù)是一種特殊的素?cái)?shù)，它是數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一。所謂梅森數(shù)，是指形如2p-1的一類數(shù)，其中指數(shù)p是素?cái)?shù)，常記為Mp 。如果梅森數(shù)是素?cái)?shù)，就稱為梅森素?cái)?shù)。用因式分解法可以證明，若2n-1是素?cái)?shù)，則指數(shù)n也是素?cái)?shù);反之，當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)，2n-1卻未必是素?cái)?shù)。前幾個(gè)較小的梅森數(shù)大都是素?cái)?shù)，然而梅森數(shù)越大，梅森素?cái)?shù)也就越難出現(xiàn)。

是否存在無(wú)窮多個(gè)梅森素?cái)?shù)是數(shù)論中未解決的著名難題之一，300多年來(lái)，人類僅發(fā)現(xiàn)49個(gè)梅森素?cái)?shù)，由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們譽(yù)為 “數(shù)海明珠”。

梅森素?cái)?shù)的神秘誕生

1588年9月8日，數(shù)學(xué)家梅森出生在法國(guó)奧澤的一個(gè)工人家庭，16歲時(shí)進(jìn)入耶穌會(huì)辦的學(xué)校學(xué)習(xí)，1609年從巴黎的索邦神學(xué)院畢業(yè)后任神職人員，1619年到拉農(nóng)西亞德女修道院教授神學(xué)和哲學(xué)。

梅森有很高的科學(xué)素養(yǎng)，其研究涉及聲學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、航海學(xué)和數(shù)學(xué)等多個(gè)學(xué)科，并有“聲學(xué)之父”的美譽(yù)。他是17世紀(jì)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的、極具魅力的人物，他學(xué)識(shí)廣博、才華橫溢，是當(dāng)時(shí)法國(guó)許多科學(xué)家的密友。當(dāng)時(shí)，大多數(shù)科學(xué)家喜歡以相互通信的方式交流科學(xué)思想，許多數(shù)學(xué)家都樂(lè)于將研究成果寄給梅森，然后憑借他熱情誠(chéng)摯的性格和豐富的社交圈，研究成果會(huì)在科學(xué)界廣泛傳播開(kāi)來(lái)。梅森起到了科學(xué)交流的橋梁作用，被譽(yù)為“有定期數(shù)學(xué)雜志之前的數(shù)學(xué)的交換站”。由于梅森學(xué)識(shí)淵博、才華橫溢、為人熱情以及最早系統(tǒng)而深入地研究2p-1型的數(shù)，為了紀(jì)念他，1897年在瑞士蘇黎世舉行的首屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）就將2p-1型的數(shù)稱為梅森數(shù)，并以Mp記之（其中M為梅森姓氏的首字母）;如果Mp為素?cái)?shù)，則稱之為梅森素?cái)?shù)。

在梅森研究2p-1型的素?cái)?shù)之前，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾與他進(jìn)行過(guò)相關(guān)交流。1640年6月，費(fèi)馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數(shù)論研究中，我發(fā)現(xiàn)了三個(gè)非常重要的性質(zhì)。我自信它們將成為今后解決素?cái)?shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)?！边@封信討論了形式為2n-1的素?cái)?shù)。2n-1最早出現(xiàn)在歐幾里得《幾何原本》（公元前300年左右）第九章命題6中。梅森以此作為基礎(chǔ)，花4年時(shí)間研究、檢驗(yàn)了直至2257-1的全部數(shù)，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書中寫道：“總結(jié)前人的工作和我個(gè)人的研究，可以得到結(jié)論：在n小于或等于257的數(shù)中，僅當(dāng)n=2、3、5、7、13、17、19時(shí)，2n-1是素?cái)?shù)，并猜想n=31、67、127和257時(shí)，2n-1是素?cái)?shù);對(duì)于n<257的其他數(shù)值，2n-1都是合數(shù)?！?/p>

梅森提出的大膽猜想，可以大大縮短尋覓最大素?cái)?shù)的驗(yàn)證范圍。梅森素?cái)?shù)的驗(yàn)證工作是十分艱辛與繁重的，n=31、67、127和257時(shí)的幾個(gè)數(shù)比較龐大，其中最小的 231-1=2147483647也具有10位數(shù)字，是近20多億的大數(shù)，正如梅森推測(cè)：“一個(gè)人，使用一般的驗(yàn)證方法，要檢驗(yàn)一個(gè)15位或20位的數(shù)字是否為素?cái)?shù)，即使終生的時(shí)間也是不夠的！”是啊，枯燥、冗長(zhǎng)、單調(diào)、刻板的運(yùn)算會(huì)耗盡一個(gè)人的畢生精力，誰(shuí)愿讓生命的風(fēng)帆永遠(yuǎn)在黑暗中顛簸？

雖然人們非常想知道梅森猜想的根據(jù)和方法，然而年邁力衰的梅森來(lái)不及留下猜想過(guò)程，便在1648年去世了。人們的希望與梅森的生命一起泯滅在流逝的時(shí)光之中。梅森曾于1644年猜想：“267-1是個(gè)素?cái)?shù)?！碑?dāng)時(shí)，人們對(duì)其猜想深信不疑，連德國(guó)大數(shù)學(xué)家萊布尼茲和哥德巴赫都認(rèn)為他是對(duì)的。也許是因?yàn)槊飞拿麣馓罅?，因此，沒(méi)有人敢對(duì)其斷言表示懷疑。

不過(guò)，1930年在美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的年會(huì)上，數(shù)學(xué)家科爾做了一次精彩的演講，他提交的論文題目是“關(guān)于大數(shù)的因子分解”。在“演講”過(guò)程中，他始終一言不發(fā)，只是默默地在黑板上進(jìn)行計(jì)算。他先算出267-1的結(jié)果，再算出193707721×761838257287的結(jié)果，兩個(gè)結(jié)果完全一樣。科爾第一個(gè)否定了“267-1是個(gè)素?cái)?shù)”這一自梅森猜想以來(lái)一直被人們相信的結(jié)論，其“演講”贏得了全場(chǎng)聽(tīng)眾起立熱烈鼓掌和齊聲喝彩。這個(gè)“一言不發(fā)的演講”成了科學(xué)史上的佳話。會(huì)后，人們問(wèn)科爾：“你花費(fèi)多少時(shí)間來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題？”他靜靜地說(shuō)：“三年的全部星期天?！焙髞?lái)，這一傳奇的“演講”使他當(dāng)選為美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)。他去世后，該協(xié)會(huì)專門設(shè)立了“科爾獎(jiǎng)”，用于獎(jiǎng)勵(lì)做出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。

同時(shí)，科爾的這場(chǎng)無(wú)言的演講，為人們探索梅森素?cái)?shù)提供了有力的精神支持，解放了數(shù)學(xué)家的思想，并掀起了研究梅森素?cái)?shù)的熱潮。

梅森素?cái)?shù)的搜索歷程

在“筆算紙錄”的年代，人們歷盡艱辛，才找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)，而計(jì)算機(jī)的誕生加速了梅森素?cái)?shù)的探究進(jìn)程。1946年第一臺(tái)計(jì)算機(jī)誕生了，尋覓梅森素?cái)?shù)即最大素?cái)?shù)的工作從手工變?yōu)橛?jì)算機(jī)。1952年，數(shù)學(xué)家魯濱遜等人將魯卡斯-雷默方法編譯成計(jì)算機(jī)程序，使用SWAC型計(jì)算機(jī)在幾個(gè)月內(nèi)，就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)：M521、M607、M1279、M2203、M2281。

探究梅森素?cái)?shù)不僅極富挑戰(zhàn)性，而且對(duì)探究者來(lái)說(shuō)有一種巨大的自豪感。

1963年6月2日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)211213-1通過(guò)大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國(guó)廣播公司（ABC）中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息，《芝加哥論壇報(bào)》還把這一消息作為頭版頭條來(lái)報(bào)道。發(fā)現(xiàn)這個(gè)素?cái)?shù)的美國(guó)伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無(wú)比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發(fā)出的信封都蓋上了“211213-1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳，這一做法一直延續(xù)到1976年該系數(shù)學(xué)家證明著名的“四色定理”為止。endprint

1971年3月4日晚，塔可曼使用IBM360-91型計(jì)算機(jī)找到新的梅森素?cái)?shù)M19937。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機(jī)構(gòu)都報(bào)道了以下消息：兩名年僅18歲的美國(guó)高中生諾爾和尼科爾使用CYBER174型計(jì)算機(jī)找到了第25個(gè)梅森素?cái)?shù)：M21707。此后，數(shù)學(xué)家們利用各種最新的計(jì)算機(jī)產(chǎn)品，不知疲倦地在巨大的天文數(shù)字運(yùn)算中繼續(xù)尋覓梅森素?cái)?shù)。1983～1985年的兩年里，數(shù)學(xué)家史諾云斯基用當(dāng)時(shí)最快的計(jì)算機(jī)分別求得三個(gè)梅森素?cái)?shù)。1991年，有數(shù)學(xué)家又發(fā)現(xiàn)史諾云斯基漏掉的梅森素?cái)?shù)M110503。1992年3月，英國(guó)數(shù)學(xué)家宣布，在一臺(tái)巨型計(jì)算機(jī)CRAY-2上又發(fā)現(xiàn)一個(gè)梅森素?cái)?shù)M796839，它有227832位數(shù)字，是當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)的最大一個(gè)素?cái)?shù)。若把這些數(shù)字印成書，可達(dá)180頁(yè)左右，不過(guò)這將是一本十分枯燥的書。

“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)最大搜索”項(xiàng)目（GIMPS）是世界上第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計(jì)算項(xiàng)目，該項(xiàng)目希望聯(lián)合全球所有樂(lè)于奉獻(xiàn)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者們的計(jì)算機(jī)，使用Prime95或 MPrime軟件來(lái)尋找梅森素?cái)?shù)。為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)和促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國(guó)的電子新領(lǐng)域基金會(huì)（EFF）于1999年設(shè)立了專項(xiàng)獎(jiǎng)金懸賞參與GIMPS項(xiàng)目的梅森素?cái)?shù)發(fā)現(xiàn)者。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過(guò)100萬(wàn)位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)5萬(wàn)美元獎(jiǎng)金。后面的獎(jiǎng)金依次為：超過(guò)1000萬(wàn)位數(shù)，10萬(wàn)美元;超過(guò)1億位數(shù)，15萬(wàn)美元;超過(guò)10億位數(shù)，25萬(wàn)美元。不過(guò)，絕大多數(shù)人參與該項(xiàng)目并不是為了金錢，而是出于好奇心、求知欲和榮譽(yù)感。

2000年4月6日，住在美國(guó)密歇根州普利茅茨的那揚(yáng)·哈吉拉特瓦拉得到了一筆5萬(wàn)美元的懸賞獎(jiǎng)金，因?yàn)樗业搅水?dāng)時(shí)已知的最大素?cái)?shù)，這是一個(gè)梅森素?cái)?shù)：26972593-1?？墒牵赝呃壬⒉皇且粋€(gè)數(shù)學(xué)家，他甚至很可能對(duì)尋找素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)理論一無(wú)所知——雖然這使他贏得了這筆獎(jiǎng)金。他所做的一切，就是從互聯(lián)網(wǎng)上下載了一個(gè)程序。

目前，科學(xué)家的最新發(fā)現(xiàn)是第49個(gè)梅森素?cái)?shù)，它是由美國(guó)密蘇里大學(xué)的數(shù)學(xué)家?guī)扃暝贕IMPS項(xiàng)目中發(fā)現(xiàn)的。梅森素?cái)?shù)是否有無(wú)窮多個(gè)？數(shù)學(xué)家與計(jì)算機(jī)專家正在疾蹄奮進(jìn)地努力工作，去發(fā)現(xiàn)新的最大的梅森素?cái)?shù)，去攻克這一古老難題。

尋找梅森素?cái)?shù)的意義

為什么要尋找梅森素?cái)?shù)？作為人類智慧的結(jié)晶，梅森素?cái)?shù)的定義簡(jiǎn)單，卻又如此神秘莫測(cè)。多年來(lái)，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)代人的辛勤工作，我們一共只收集到49個(gè)梅森素?cái)?shù)，它們是非常稀少的，對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，收集梅森素?cái)?shù)和收集鉆石一樣富有樂(lè)趣。

梅森素?cái)?shù)的分布極不規(guī)則，在長(zhǎng)期的摸索中，數(shù)學(xué)家也提出了一些猜想。英國(guó)數(shù)學(xué)家香克斯、美國(guó)數(shù)學(xué)家吉里斯、法國(guó)數(shù)學(xué)家托洛塔和德國(guó)數(shù)學(xué)家伯利哈特曾分別給出過(guò)關(guān)于梅森素?cái)?shù)分布的猜測(cè)，但他們的猜測(cè)有一個(gè)共同點(diǎn)，以近似表達(dá)式給出，而與實(shí)際情況的接近程度均未盡如人意。

我國(guó)數(shù)學(xué)家周海中是這方面研究的領(lǐng)先者，他運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年2月首次給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式，為人們尋找這一素?cái)?shù)提供了方便;后來(lái)，這一重要成果被國(guó)際上命名為“周氏猜測(cè)”。美籍挪威裔數(shù)論大師、菲爾茨獎(jiǎng)得主阿特勒·塞爾伯格認(rèn)為：“周氏猜測(cè)具有創(chuàng)新性，開(kāi)創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法?！?/p>

梅森素?cái)?shù)的搜索與發(fā)現(xiàn)可以極大地推動(dòng)密碼學(xué)的研究與發(fā)展。梅森素?cái)?shù)的搜索是發(fā)現(xiàn)最大素?cái)?shù)的最有效的途徑，如由蘋果公司著名科學(xué)家克蘭多爾所發(fā)明的“快速橢圓加密系統(tǒng)”，就將梅森素?cái)?shù)應(yīng)用于快速加密和解密信息。梅森素?cái)?shù)的搜索，促進(jìn)了分布式計(jì)算與程序設(shè)計(jì)的發(fā)展。迄今，梅森素?cái)?shù)的搜索不僅僅需要設(shè)計(jì)良好的分布式體系結(jié)構(gòu)，還需要不斷改進(jìn)的數(shù)值計(jì)算方法和巧妙的算法設(shè)計(jì)藝術(shù)。

人類在不斷地挑戰(zhàn)和創(chuàng)造新記錄的過(guò)程中可以不斷地認(rèn)識(shí)自我，梅森素?cái)?shù)的搜索正好是對(duì)人類智力、意志的極限的一種挑戰(zhàn)。人類對(duì)真理的執(zhí)著追求，讓人想起國(guó)際著名數(shù)學(xué)家希爾伯特那句名言：“我們必須知道，我們必將知道?！?/p>

【責(zé)任編輯】張小萌endprint